3.1 空间直角坐标系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

●069 第三章空间向量与立体儿何 §1空间直角坐标系 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.通过实例，感受建立空间直角坐标系的必 1.了解空间直角坐标系的建系方式，能在空间直角 要性 坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点， 2.类比平面直角坐标系，经历空间直角坐标 2.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法. 系的建立、点的坐标的确定及用代数方法 3.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两，点 刻画几何位置的过程，体会类比的意义及 间距离公式解决简单的问题 数学在确定空间方位中的作用. 必备知识探新知 知识点1空间直角坐标系的建立 过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和 z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系0-.点O叫作坐标原点，x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖 轴)叫作 定义 通过每两条坐标轴的平面叫作 ,分别称为 一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面.它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出 右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此 时大拇指的指向即为z轴正方向，我们也称这样的坐标系为 画法 在平面上画空间直角坐标系0-yz时，一般使∠xOy= ∠yOz= 图示 知识点2空间中一点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表 示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,).都可以确定空间中的一个点P. 叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x,y,z),其中x叫作点P的 y叫作点P的 ,z叫作点P的 070 知识点3空间两点间的距离公式 1.在空间中，点P(x,y,z)到坐标原点0的距离1P01=√x2+y2+2. 2.已知空间中P(x,y,),Q(:,,名)两点，则P,Q两点间的距离为1Q1= √(：-x)+(y2-y)+(名2-).这就是空间两点间的距离公式. 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一空间中点的坐标的确定 例L.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，点E,F分别是D,D,BD的 规律方法： 确定点的坐标的 中点，点G在棱CD上，且CG=4CD,点H为CC的中点，试建立适当 方法 1.建立空间直角 的空间直角坐标系，写出E,F,G,H的坐标 坐标系的原则 （1)让尽可能多 的点落在坐标轴上或 坐标平面内： （2)充分利用几 何图形的对称性。 2.求某点的坐标 时，一般先我出这一 点在某一坐标平面上 的射影，确定其两个 坐标，再找出它在另 ·[规律方法] 一轴上的射影（或者 对点训练1 通过它到这个坐标平 面的距离加上正负 长方体ABCD-A'B'C'D'如图所示，长，宽，高分别为IAB1=4cm,IAD1= 号)，确定第三个 3cm,|AA'I=5cm,点N是线段CC'的中点.分别以AB,AD,AA'所在的直线为 坐标. 规律方法： x轴、y轴、z轴，以1cm为单位长，建立空间直角坐标系. 空间点的对称 (1)求A,B,C,D,A',B',C',D'的坐标； 规律 (2)求N的坐标. 1.口诀：求对称 点的问题可以用“关 于谁对称，谁保持不 变，其余坐标相反” 的口诀来记忆. 2.任意一点P(x, B y,),关于原点对称 的点是P(-x,-y, -z)：关于x轴（横 题型二求空间对称点的坐标 轴)对称的点是 例2在空间直角坐标系中，已知点P(-2,14)。 P2(x,-y,-z)关于 y轴（纵轴）对称的 (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； 点是P3(-x,y, (2)求点P关于xOy平面对称的，点的坐标； -x):关于z轴（竖 轴)对称的点是 (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标. P4(-x-y,z)；关于 xOy平面对称的点是 P(x,y,-z):关于yOz 平面对称的点是 P6(-x,y,z):关于z0x 平面对称的点是P(x, -y2). ·[规律方法] 071 )对点训练2 (1)点(1,1，-2)关于y0z平面的对称点的坐标是 规律方法： (2)在空间直角坐标系中，点M(-2,4,-3)在z0x平面上的射影为M' 利用空间两点间 点，则M关于原点对称点的坐标是 的距离公式求线段长 题型三空间两点间的距离 度问题的步骤 例3.如图所示，在长方体ABCD-4,BCD中，1AB1=1AD1=3,1AM1=2, 建立拾当的 点M在AC,上，IMCI=21AMI,点N在DC上且为DC的中点，求 建系一空间直角坐 标系 线段MN的长度. 确定点 确定出所需 的坐标 点的坐标 利用空间画 应用 点间的距离 公式 公式求得所 求线段的长 [规律方法] )对点训练3 如图所示，在直三棱柱ABC-AB,C1中，IC1C1=ICB1=ICA1=2,AC⊥ CB,D,E分别是棱AB,B,C1的中点，F是AC的中点，求DE,EF的长度. A ●易错警示 混淆平面直角坐标系与空间直角坐标系 例 4.已知空间中两点A(-3,-1,1),B(-2,2,3),在z轴上有一点C,它 到A,B两点的距离相等，求点C的坐标 [错解】由已如得B的中点坐标为-3？2小，且B所在直线的斜 1 率为3，故B的垂直平分线的斜率为-3，则垂直平分线的方程为：-2= -x+2》--2) 当x=y=0时，a=手，故点C的坐标为(0.0，》 [辨析]上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误.以目前 所学知识只能用两点间的距离公式求解 [正解] 072 课堂检测 固双基 1.点P(-1,2,0)位于 ( )4.在空间直角坐标系中，A(-1,2,3),B(2,1, A.y轴上 B.z轴上 m),若1AB1=√110，则m的值为 C.xOy平面上 D.xOz平面上 5.如图所示，在正三棱柱ABC-AB,C1中，底边 2.在空间直角坐标系0-yz中，点(3,4，-5)关 长为2，高为4，试建立适当的空间直角坐标 于：轴对称的点的坐标是 () 系，并写出各顶点的坐标 A.(-3,-4,5) B.(-3,-4,-5) C.(-3,4,5) D.(3,4,5) 3.空间直角坐标系中，点M(2,5,8)关于xOy平 面对称的点N的坐标为 A.（-2,5,8) B.(2,-5,8) C.(2,5,-8) D.(-2,-5,8) 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18】 §2空间向量与向量运算 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.了解空间向量的概念 1.本节内容是在平面向量的基础上，把平面向量的概念及 2.经历由平面向量的运算及其法则推广 线性运算、数量积推广到空间，因此要学会运用类比的 到空间向量的过程 方法，把有关概念、运算等由平面推广到空间. 3.掌握空间向量线性运算的法则和运 2.重点理解向量共线、向量共面、向量与向量垂直的条 算律 件，它们是将几何问题转化为向量问题，并使用代数 4.理解空间两个向量夹角的定义. 的方法解决立体几何问题的基础. 5.掌握空间向量数量积的定义、性质、运 3.经历用向量的数量积解决某些简单几何问题的过 算律，会求空间向量的数量积， 程，继续体会向量在处理几何问题中的工具性作用. 必备知识探新知 知识点1空间向量的定义及相关概念 1.定义 在空间中，我们把具有 和 的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的 2.空间向量及其模的表示方法 空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量 ,其模用Ia|或IAB1表示.的倾斜角是45°，故斜率k=1,.1的方程为y=x+3.将直线 方程代入椭圆方程，整理得23x2+96x+32=0,x1+2 化每得4点的尘标为刻归 同理，可得B点的坐标为(4ak2,-4ak), 4a(+个 =器，B1=√1+1)×[(--4×]2 从而知当k≠±1时，kB 1 设点R,到直线1的距离为d,则d=3-0+3!=32 2 故得直线AB的方程为y+4ak= 1-(x-4ak), 1112 23 ×32=1682 23 即（石-k少y+4a=x①， 章末知识梳理 要点专项突破 直线0P的方程为y=-(大-纱②， 例1：由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF,所以 则点P的坐标同时满足①②， 直线RQ为线段PF的中垂线，连接QF,则IQPI=IQF1, 又PQL1,即，点Q到点F的距离和到直线I的距离相等 ②得-k=之代入①，得-少+4a=, 设Q(x,y),则1x+1「=√(x-1)2+y,化简得y2=4x i 即(x-2a)2+y2=4a2(x≠0) 故动点Q的轨迹方程E为y2=4x. 当k=±1时，容易验证P点的坐标仍适合上述方程 例2：(1)由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r,=1:圆 故点P的轨迹方程为(x-2a)2+y2=4a2(x≠0)，它表示以 点(2a,0)为圆心，以2a为半径的圆除去坐标原点后的部分 N的圆心为N(1,0),半径2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R 第三章空间向量与立体几何 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以IPMI+IPWI=(R+r)+(r2-R)=r1+r2=4>IMWI §1空间直角坐标系 由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长轴长 必备知识探新知 知识点1坐标轴坐标平面x0y平面y0z平面0x 为4的椭圆（左顶点除外），即a=2.由c=1得b=√3，所以C的 平面右手系135°90° 方程为号+兮=1(x≠-2). 知识点2三元有序实数组(x,y,z)横坐标纵坐标竖 (2)如图，以00，的中点0 坐标 为原点，O1O,所在直线为x轴建 关键能力攻重难 立平面直角坐标系。 : 例1：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的 由101021=4， x坐标、y坐标均为O,而E为DD的中点，故其坐标 得点01(-2,0)，02(2,0) 为(0.0，) 设动圆M的半径为，则由 动圆M与圆O1内切，有1MOI=r-1: 由动圆M与圆O2外切，有1M021=r+2. 所以IM02I-1M01I=3<10102I=4: 即点M的轨迹是以O,,O,为焦点，实轴长为3的双曲线的 左支 N℃ 由a=号c=2,得=2-d=子 由点F作FM⊥AD,FN1DC,由平面几何知FM=交，FN= 放点型的镇迹方程为号-兰=(：≤一) 44 2,则F点坐标为（分30 例3：依题意知点F(-1,0),F2(1,0),设点 点G在)轴上，其x,:坐标均为0，又60=子，放G点坐标 P(xo,Yo),G(x,y). x- xo-1+1 为(0，子0由点H作K1CG于点K,由于H为CG的中点，。 由三角形重心坐标关系可得 即∫3x 代 Yo y%=3y, 故K=子，OK=g所以k=冬放H点坐标为(0，日) 对点训练1：(1)A,B,C,D都在平面xOy内，点的竖坐标都 1 +号=1，得△PFB,的重心G的轨迹方程为 2 3 4 -+3y2=1为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0， 0),(4,0),(4,3),(0,3),因此空间坐标分别是A(0,0,0),B(4, (y≠0). 0,0),C(4,3,0),D(0,3,0) 例4：设点P的坐标为(x,y),直线OA的方程为y=kx,显然 A',B',C,D'同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z k≠0.则直线0B的方程为y=一名 :轴的交点A'在z轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.从 —316 这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A,B,C,D四点，故A',课堂检测固双基 B',C,D'的x,y坐标分别与A,B,C,D相同，由此可知它们的空1.C点P(-1,2,0)在xOy平面上，故选C. 间坐标分别是A'(0,0,5),B'(4,0,5),C(4,3,5),D(0,3,5).2.B点(3,4，-5)关于z轴对称的点的坐标是(-3，-4，-5)， (2)点N是线段CC'的中点，有向线段CV的方向与z轴正故选B. 方向相同，ICW1=2.5,因此N的z坐标为2.5，C在x0y平面内3.C点M(2,5,8)关于xOy平面对称的点V的坐标为(2,5，-8). 的平面坐标为(4,3)，这就是N的x,y坐标，故N的空间坐标为4.-7或1314B1=√(-1-2)2+(2-1)2+(3-m)=√10， (4,3,2.5). 所以(3-m)2=100,3-m=±10，所以m=-7或13. 例2：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变， ;5.取BC的中点O,连接OA,过OA作OD⊥BC交B,C,于点D, 在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标 则OA⊥BC,ODL平面ABC,所以OA,OB,OD两两垂直，以点 为P(-2,-1,-4). 0为坐标原点，OA,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量 立空间直角坐标系，如图所示 不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点坐标为P2(-2,1,-4). (3)设对称点为P(x,y,z),则点M为线段PP的中点，由 中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6 y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12 所以P,的坐标为(6，-3，-12). 对点训练2：(1)(-1,1，-2)点(1,1，-2)关于y0z平面 的对称点的坐标是(-1,1，-2) 由题意，得IAO1= (2)(2,0,3)M在z0x平面上的射影为M'(-2,0,-3), 5×2=厅，从而可知各顶点的坐标分别为 所以M'关于原点对称点的坐标为(2,0,3). A(5,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1(3,0,4),B1(0,1, 例3：如图所示，分别以AB,AD,A4,所在的直线为x轴，y 4),C(0,-1,4) 轴，z轴建立空间直角坐标系。 A忆 1 §2空间向量与向量运算 必备知识探新知 知识点11.大小方向长度或模2.A正3.相同相 等相反相等 知识点21入11a1相同相反0 由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0), 知识点4非零∠AOB(a,b〉[0，π]垂直 因为IDD,I=ICC,I=IAA,I=2, 关键能力攻重难 所以C1(3,3,2),D1(0,3,2), 例1：B①中al=Ib1,只能说明向量a,b的模相等，但方 因为N为CD的中点， 向不一定相同； 所以子3，)M是么G的三等分点且靠近4点，所以 ②两个空间向量相等，只需方向相同且模相等，与起点位置 无关； M(1,1,2).由两点间的距离公式，得IMWI= ③任意两个单位向量的模均为1，但方向不确定； √3-+(3-1)2+(1-22= 2 ④⑤正确. 对点训练3：以点C为坐标原点，CA,CB,CC,所在直线为x 对点训练1：ABC选项A中，向量的模可以比较大小，但向 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 量不能比较大小；选项B中，应为a+b=0;选项C中，单位向量 的模都是1；选项D中，由向量的线性运算可知正确。 例2：(1)如图所示，00=0+P,由向量加法运算的平行 四边形法则可得PG=(P心+pi,故O币=-2P元-2Pi, o0=0+P0=0-2P元-2pi 0 A 因为1CC1=1CB1=ICAI=2, 所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2), (2)PA=PD+DA=PD+200=PD 由中点坐标公式可得，D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所+2(Pd-P0)=Pi+2Pd-2P, 以1DE1=√(1-0)2+(1-1)2+(0-2)7=5， .x=2,y=-2 1EF1=√(0-1)2+(1-0)2+(2-0)2=√6 对点训练2：-a+b-cA,B=C正-C4=C-(C+CC 例4：设点C的坐标为(0,0，z),则√32+12+(z-1)尸= =-a+b-c. 22+(-2)2+(z-3)7,即10+(z-1)2=8+(z-3)2,解得 例3：证明：设A正=a,Ad=b,AA=c a=号，所以点C的坐标为0,0，)】 因为店=2D,4广=子元，所以店=子4D,4户 -317