2.3.2 抛物线的简单几何性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

055 3.2抛物线的简单几何性质 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.类比研究椭圆、双曲线的几何性质的方法学习 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.了解抛物线几何性质的简单应用， 抛物线的几何性质， 2.进一步掌握抛物线的定义，利用定义及焦半径 3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几 解决与抛物线的焦点弦有关的问题. 何性质的异同. 3.用抛物线的方程和性质解决问题时，注意数形 4.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、 结合思想、方程思想及转化思想的应用，恰当地 弦中点等问题 选择抛物线的性质能够简化运算 必备知识探新知 知识点1抛物线的几何性质 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), ① 其性质有如下几个方面： (1)范围 因为p>0,由方程①可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线 在y轴的右侧；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右 (2)对称性 以-y代y,方程①不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的 抛物线的对称轴叫 作抛物线的轴. (3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的 在方程①中，当y=0时，x=0,因此这条抛物 线的顶点就是坐标原点. (4)离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的 ,用e表示，由抛物 线的定义知e= 知识点2 抛物线四种形式的标准方程及其性质 图形 标准方程 y2=2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)） 焦点坐标 (皆 (- (0,-) 准线方程 2 x=5 y=- 2 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 e=1 参数p的几何意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越开阔 056 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一由抛物线几何性质求标准方程 规律方法： 例·抛物线的顶点在原点，对称辅重合于椭圆9+4，-36短轴所在的直 若已知焦点在x 线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程. 轴，则抛物线可设为 y2=ax(a≠0)，且注 [分析]先确定椭圆短轴所在的坐标轴，再利用抛物线的几何性质 意焦点到顶点的距离 可求 与x系数的关系式 ·[规律方法] 》对点训练1 分别求适合下列条件的抛物线方程. (1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2,3); (2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为习 规律方法： 解决抛物线的焦 点弦问题时，要注意 抛物线定义在其中的 应用，通过定义将焦 点弦长度转化为端点 的坐标问题，从而可 题型二抛物线焦点弦的性质 借助根与系数的关系 例2斜率为2的直线经过抛物线少=4红的焦点，与抛物线相交于两点A, 进行求解 B,求线段AB的长. [规律方法] 0S7 )对点训练2 过抛物线y2=mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点，若线段PQ 规律方法： 中点的横坐标为3，P01=子m,则m “中点弦“问题 ( 的两种解题策略 A.4 B.6 C.8 D.10 (1)点差法：将两 题型三与抛物线有关的中点弦问题 个交点的坐标代入抛物 例3已知1，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线 线的方程，作差由k= 段AB恰被M(2,1)所平分. -2求科率，再由点 x1-X2 (1)求抛物线E的方程； 斜式求解 (2)求直线AB的方程. (2)传统法：设 直线方程，并与抛物 线的方程联立，消去 x(或y)得关于y(或 x)的一元二次方程， [规律方法] 由根与系裁的关系， 对点训练3 得两根之和即为中点 纵（或横)坐标的2 若本例中条件“线段AB恰被M(2,1)所平分”改为“线段AB恰被M(1, 倍，从而求斜率 1)所平分”，问这样的直线AB是否存在？若存在，求出直线AB的方程，若不 存在，说明理由。 ●易错警示 因不理解抛物线的标准方程的形式而致错 例 4.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3，求抛物线的 标准方程， [错解]由y=m(m≠0)可知其准线方程为y=- 49 由题意知-”=-2，解得m=8, 4 故所求抛物线的标准方程为y=8x2. [辨析]本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物 线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线 方程为了=一军：二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另 一种情况，只得到一个解 [正解] 058 课堂检测 固双基 1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,5.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶 则m= () 点在抛物线y=2px(p>0)上，求这个正三角形 A.-4 B子 C.-1 D.±4 1 的边长 2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为 1,则点P的纵坐标为 C.1o D.1 16 3.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆M:(x- 3)2+y2=1上，则1PQ1的最小值是() A.3-1 B.0-1 2 C.2 0T, 4.(2023·全国乙理，13)已知点A(1,√5)在抛物 夯基提能作业 线C:y2=2px上，则A到C的准线的距离为 请同学们认真完成练案[15 §4直线与圆锥曲线的位置关系 4.1直线与圆锥曲线的交点 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.掌握直线与圆锥曲线交点 1.类比两直线、直线与圆的交点、理解两曲线的交点，即以两曲线 个数与位置关系之间的联 方程组的实数解为坐标的点. 系（相交，相切，相离）. 2.曲线的位置关系有多种，在初学阶段应当打好基础，学会研究的 2.会求直线与圆锥曲线的 方法.本节主要讲最基本的、最有代表性的关系一直线与圆锥 交点 曲线的位置关系， 3.通过交点个数会求参数3.类比直线与圆的位置关系及其判定，把握直线与圆锥曲线的位 问题 置关系，特别是直线与抛物线、双曲线的位置关系 必备知识 探新知 知识点 直线与圆锥曲线交点 相交一交于两点(4>0) 直线与椭圆的位置关系 相切 只有一个公共点（△=0） 相离 没有公共点（△<0）=1相切，所以IPA1=1+1PD x轴，设抛物线方程为y2=ax(a≠0)，又抛物线焦点到顶，点的距离 即点P到点A的距离比它到直线l:x=1的距离大1. 故点P到点A的距离与它到直线'：x=2的距离相等，即 为3，则有 =3,.a=±12，故所求抛物线方程为y2=12x或y2 IPAI =IPD'I, =-12x. 根据抛物线的定义知，点P的轨迹是以点A为焦点，以直线 对点训练1：(1)由题意，方程可设为y2=mx或x2=y,将点 ':x=2为准线的抛物线，其方程为y2=-8x A(2,3)的坐标代人，得32=m×2或2=n×3, 对点训练4：如图所示，以边AB的中点O为原点，AB边所在直！ m=号或 线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0,-2) 31 ·所求的抛物线方程为y=9、 或=4 (2)由熊点到准线的距离为，可知p=多 .所求抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2= 连接BT,由题意可知IBTI=1B'TI,B'T⊥AD,根据抛物线 -5y 的定义，点T的轨迹是以点B为焦点，以AD为准线的抛物线的 例2：如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0),准线方 一部分. 程x=-1. 设T(x,y),又1ABI=4, 由题设，直线AB的方程为：y= 即定点B到定直线AD的距离为4，.抛物线方程为x'=2x一2. -8y. 代入抛物线方程y2=4x,整理 由题意可知，线段AB'的长度1AB'1在区间[0,4]内变化，而得：x-3x+1=0. x=1AB1,.0≤x≤4. 设A(x1,y1),B(x2,y2）,由抛物 故点T的轨迹方程为x=-8y(0≤x≤4) 线定义可知，IAFI等于点A到准线x 例5：当m>0时，准线方程为x=-公，由条件知1- =-1的距离1A4'1, 即1AF1=1AA'1=x1+1,同理 (-婴）=3，所以m=8 1BFI=x2+1, .'IABI =IAFI +IBF=x+x,+2=3+2=5. 此时抛物线方程为y2=8x: 对点训练2：C设P,Q的坐标分别为(x1,y),(x2,2),由 当m<0时，准线方程为x=-罕，由条件知-朵-1=3，所线段PQ中点的横坐标为3，得=3， 2 以m=-16,此时抛物线方程为y2=-16x. m 5 所以所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x, IPQ1=,+%+p=6+2=4m,由此解得m=8. 课堂检测固双基 例3：(1)由于抛物线的焦点为(1,0)， 1.C抛物线y=8x的准线方程为x=-2,故选C 所以号=1p=2,所求抛物线方程为了=4x 2.A动点P的条件满足抛物线的定义. 3.C因为动圆过点(0,1)且与定直线1相切，所以动圆圆心到点 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), (0,1)的距离与到定直线（的距离相等，又因为动圆圆心在抛物 则y斤=4x1①，y2=4x2②， 线x2=4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以1为抛物线的淮准线， 且x1+x2=4,少1+y2=2, 所以l:y=-1. 由②-①得(y1+y2)(5-y1)=4(x2-x1), 442由y2=4x知抛物线的准线方程为x=-1,设点P(x,yo), 所以二1=2， x2-x1 由题意得xo+1=9,解得x=8, 所以所求直线AB的方程为y-1=2(x-2), 代入抛物线方程y2=4x,得=32，解得y。=±42， 即2x-y-3=0 则点P到x轴的距离为42 对点训练3：存在 5双面线方程可化为号。-1，左顶点为-3,0)。 设A(x1y),B(2,2), 则y异=4x1① 由题意设抛物线方程为)y=-2r(p>0)且-号=-3， 2=4x2② 且y1+y2=2 .p=6,∴.抛物线的方程为y2=-12x ②-①得y2-y=4(x2-x1) 3.2抛物线的简单几何性质 、点-i=2,直线AB的方程为y-1=2(x-1), x2-x1 必备知识探新知 即2x-y-1=0. 知识点1(2)轴对称图形(3)顶点(4)离心率1 例4：y=mx2(m≠0)可化为x2= 知识点2y2=-2x(p>0) my,其准线方程为y 关键能力攻重难 由意知-2或4， 例1：椭圆9x+4少=36可化为+)=1，则抛物线对称轴为 解得m=g或m=6 -311 故所求抛物线的标准方程是x2=8y或x2=-16y ∴.k>1或k<-1,即k的取值范围为(-∞，-1)U(1,+∞). 课堂检测固双基 对点训练1：因为直线y=kx+1过定点A(0,1), 1.D抛物线x=-m2的标准方程为y2=-x,焦点到准线 m 由题查，点A在椭圆号+云1内或圆上， 的距离为 1 1 2m ,由已知得 2m =2,解得m=±4 所吗+ -≤1，即m≥1. 2C根据抛物线方程可水得焦点坐标为(0,6)，准线方程为y 又椭圆焦点在x轴上，所以m<5, 故m的取值范围为[1,5). 15 =-16,根据抛物线定义心p+6=1,解得p=16 例2：把y=kx+1代人3x2-y2=1整理得(3-2)x2-2kx 3.D将本题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离.设 -2=0,当k≠±5时，4=24-42，由4>0得-6<k<6且 P(06,6),由(x-3)2+y=1可知圆心坐标为M(3,0),半径r=1,k≠±时， 则1PM1=√(%-3)+%=√(6)-5%+9 方程有两个不相等的解，直线与双曲线有两个交点.设 A(x1y1),B(x2）, √(-引+平因光N1的最小值为从面1PO1的 2 若A,B在双曲线的同一支，需名=二3>0，所以k< 最小值为T-1,故选D 2 -3或k>√3. 9 4. 由题意可得：(5)2=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为同一支上； 故当-6<k<-3或5<k<√6时，A,B两点在双曲线的 y2=5x, 当-5<k<3时，A,B两点在双曲线的两支上 雅线方程为x=上子，点A到C的准线的距离为1- 对点训练2：若直线的斜率不存在，则x=√万，此时仅有一个 (-)=号放答案为程 交点（√7,0），满足条件， 若直线的斜率存在，设直线的方程为y-5=(x-√7)， 5.如图，设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线 y2=2x(p>0)上，且坐标分别为(x,y), 则y=+5-,号-+52 25 =1 (x2,y2),则y斤=2x1,y2=2px2 所以25x2-7(kx+5-7k)2=7×25,(25-72)2-14h(5- 又因为IOAI=IOB1, √7k)x-7(5-√7)2-7×25=0， 所以号+y斤=x+2,即x号-号+2x1-2px2 =0. 当-5时，方程无解，不满足条件： 所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x1>0,x2>0,2印>0，所以x1+:+2印≠0，x1=为2， 当：5时，方程有一解，满足条件： 7 即A,B两点关于x轴对称，则∠AOx=30 所以上轴，所以方=6m30P= 当≠时，令4=[146(5-k万]2-4(25-7)[-7(5 -k7)2-175]=0,化简后得k无解 又因为名=2p ，所以y=25m 所以不满足条件。 所以1AB1=2y1=45p,即为所求正三角形的边长. 所以满足条件的直线有两条：=万和y=-5气+10。 7 §4直线与圆锥曲线的位置关系 例3：由题意，设直线l的方程为y-1=k(x+2), 由方程组1=(x+2)《。) 4.1直线与圆锥曲线的交点 y2=4x, 消去x,可得2-4y+4(2k+1)=0. ① 关键能力攻重难 (1)当k=0时，由方程①得y=1.把y=1代人y2=4x,得 c=1, ix= 1 例1：(1)依题意得 c= 5 a 5, a2=b2+c2, 这时，直线1与抛物线只有一个公共点（行，） 解得a=5,b=2,c=1. (2)当k≠0时，方程①的判别式为4=-16(22+k-1). :椭圆方程为兮+芹-1 1由4-0，即2+k-1-0,解得6=-1，或4=宁 (2)将直线与椭圆方程联立， +=1消去x,整理得 于是，当k=-1,或k=2时，方程①只有一个解，从而方程 Lx=ky+3, 组(*)只有一个解 (4k2+5)y2+24y+16=0, 这时，直线1与抛物线只有一个公共点， :直线与椭圆C交于相异两点，即4=(24k)2-64(42+ 5)>0, b.由4>0，即22+k-1<0,解得-1<k<2 一312