3.2.1&3.2.2 第2课时 空间向量的数量积(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦空间向量的数量积，涵盖定义、性质、运算律及投影向量与投影数量等核心知识点。课堂导入从物理“功”的实例出发，衔接平面向量数量积，通过“想一想”问题和自我诊断题搭建学习支架，引导学生逐步理解向量夹角、数量积几何意义等概念。 资料突出数学抽象与数学运算核心素养，题型设计从基础运算到综合应用分层递进，总结通性通法帮助学生掌握解题思路。结合正方体、正四面体等模型，培养学生空间观念，习题设置兼顾概念辨析与实际应用，助力提升逻辑推理能力和知识迁移能力。

第二课时　空间向量的数量积 课标 要求 1.掌握空间向量的数量积（数学抽象）. 2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行（数学运算）. 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F·S＝｜F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念. 【问题】　在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两个向量的夹角 1.如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　　　　叫作向量a，b的夹角，记作　　　　　　. 2.向量a，b的夹角＜a，b＞的范围是　　　　，当＜a，b＞＝时，称向量a，b互相　　 　，记作　　　　. 规定：零向量与任意向量　　　　. 【想一想】 1.当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？ 2.＜a，b＞，＜－a，b＞，＜a，－b＞，＜－a，－b＞，它们有什么关系？ 知识点二　两个向量的数量积 1.数量积的定义 已知两个空间向量a，b，把　　　　　　叫作a与b的数量积，记作a·b.即a·b＝　　　　　　. 2.数量积的性质 （1）cos＜a，b＞＝（a≠0，b≠0）； （2）｜a｜＝； （3）a⊥b⇔　　　　　　. 3.数量积的运算律 （1）交换律：a·b＝　　　　　　； （2）分配律：a·（b＋c）＝　　　　　　； （3）（λa）·b＝　　　　　　（λ∈R）. 提醒：向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab. 【想一想】 1.向量的数量积运算是否满足结合律？ 2.两个向量a与b的数量积a·b还是向量吗？ 3.对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝（或b＝）？ 知识点三　投影向量与投影数量 1.投影向量 （1）定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于｜｜b｜cos＜a，b＞｜. （2）代数式表示：用a0表示与向量a（a≠0）同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为　　　　　　. 2.投影数量 向量b在向量a方向上的投影数量为　　　　　　＝　　　　　　＝　　　　　　（其中a0为与a同方向的单位向量）. 【想一想】 1.向量a在向量b方向上的投影数量与向量b在向量a方向上的投影数量一样吗？ 2.和向量（b＋c）在向量a方向上的投影数量等于b，c在向量a方向上的投影数量之和吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量的数量积为0.（　　） （2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.（　　） （3）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.（　　） （4）向量a在向量b上的投影向量c＝｜a｜cos＜a，b＞·.（　　） 2.已知空间向量｜a｜＝，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为（　　） A.－b B.b C.b D.－b 3.已知空间向量a，b，｜a｜＝2，｜b｜＝，a·b＝－2，则＜a，b＞＝　　　　. 　　 题型一　空间向量数量积的运算 如图所示，在棱长为1的正四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： （1）·； （2）·； （3）·； （4）·. 尝试解答 通性通法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 1.（2026·扬州月考）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（　　） A.2　　　 B.1 C.2　　　 D. 2.若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝　　　　. 题型二　投影数量与投影向量 已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C'CB＝∠C'CD＝∠BCD＝，DD'＝2. （1）求向量在方向上的投影向量； （2）求在－方向上的投影数量. 尝试解答 通性通法 求向量a在向量b方向上的投影数量（向量）的步骤 （1）先求向量a与b的夹角＜a，b＞； （2）再求向量a的模｜a｜； （3）则a在b方向上的投影数量为｜a｜·cos＜a，b＞； （4）若b0为b方向上的单位向量，则a在b方向上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞·b0. 　棱长为1的正四面体ABCD中， （1）求向量在方向上的投影向量； （2）求在方向上的投影数量. 题型三　空间向量数量积的应用 角度1　利用数量积证明垂直问题 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 尝试解答 通性通法 用向量法证明空间线线、线面垂直的思路 （1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可； （2）证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 角度2　用数量积求解夹角和模 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点. （1）求的模； （2）求cos＜，＞的值. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）本例中条件不变，求与夹角的余弦值. 2.（变条件、变设问）本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的大小. 通性通法 求向量的夹角和模 （1）求两个向量的夹角：利用公式cos＜a，b＞＝求cos＜a，b＞，进而确定＜a，b＞（注意向量的夹角与两向量所在直线夹角的区别）； （2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用已知夹角和模的向量表示该向量；③利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求长度（距离）. 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜，＞＝（　　） A.30° B.60° C.90° D.120° 2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 3.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此间的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c. （1）求对角线AC1的长； （2）求cos＜，＞. 1.〔多选〕已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是（　　） A.2· B.2· C.2· D.2· 2.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 3.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　　） A.6　　　 B. C.3　　　 D. 4.已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则　　　.（填“⊥”“∥”或“＝”）. 5.（2026·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，则a在b上的投影向量为　　　　　　，b在a上的投影向量为　　　　. 完成课后作业 第三章 §2 2.1 2.2 第二课时 答案 第二课时　空间向量的数量积 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.∠AOB　＜a，b＞ 2.[0，π]　垂直　a⊥b　垂直 想一想 1.提示：当＜a，b＞＝0时，a与b同向；当＜a，b＞＝π时，a与b反向. 2.提示：＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b＞. 知识点二 1.｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ 2.（3）a·b＝0 3.（1）b·a　（2）a·b＋a·c　（3）λ（a·b） 想一想 1.提示：不满足. 2.提示：不是.任意两向量的数量积都是数量. 3.提示：不能.向量没有除法运算. 知识点三 1.（2）｜b｜cos＜a，b＞·a0 2.｜b｜cos＜a，b＞　　a0·b 想一想 1.提示：不一样. 2.提示：等于. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 2.D　a在b上的投影向量为·＝·＝－·＝－b. 3.　解析：cos＜a，b＞＝＝－，∴＜a，b＞＝. 【典例研析】 【例1】　解：（1）·＝·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝cos 60°＝. （2）·＝·＝｜｜2＝. （3）·＝· ＝｜｜·｜｜cos＜，＞ ＝cos 120°＝－. （4）·＝·（－） ＝·－· ＝｜｜｜｜cos＜，＞－｜｜｜｜cos＜，＞ ＝cos 60°－cos 60°＝0. 跟踪训练 1.A　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥AD1，所以·＝（＋）·＝（＋）·＝·＋·＝0＋×2×cos 45°＝2.故选A. 2.－1　解析：由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos＝，则·＝2（a－b）·（b－c）＝2（a·b－a·c－b2＋b·c）＝2×（－－1＋）＝－1. 【例2】　解：（1）∵CC'∥DD'，CB∥DA， ∴∠D'DA＝∠C'CB＝， ∴向量在方向上的投影数量为 ｜｜·cos∠D'DA＝2×cos ＝1， 又为单位向量， ∴向量在方向上的投影向量为. （2）∵·（－）＝·－· ＝｜｜·｜｜·cos －｜｜·｜｜·cos ＝2×1×－2×1×＝0. ∴向量与向量－的夹角为90°， ∴向量在－方向上的投影数量为｜｜·cos 90°＝0. 跟踪训练 解：（1）∵四面体ABCD是棱长为1的正四面体， ∴∠ABC＝，∴＜，＞＝π－∠ABC＝， ∴在方向上的投影向量为｜｜cos＜，＞·＝1×cos·＝－. （2）∵·＝·（－）＝·－·＝｜｜·｜｜cos（π－∠ABD）－｜｜·｜｜·cos（π－∠ABC）＝1×1×cos －1×1×cos ＝0， ∴＜，＞＝， ∴在方向上的投影数量为｜｜cos＜，＞＝0. 【例3】　证明：由题意可知，｜｜＝｜｜＝｜｜＝a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则＝－＝（＋）－， 所以·＝（·＋·－）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°－a2）＝0， 所以⊥，即MN⊥AB. 【例4】　解：由已知得｜｜＝｜｜＝1，｜｜＝｜｜＝2，＝＝. ＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝90°， 所以·＝·＝·＝0. （1）因为＝－＝＋－＝＋－， 所以｜｜2＝＝（＋－）2 ＝＋＋＝12＋×22＋12＝3， 所以｜｜＝＝. （2）因为＝－＝＋－，＝＋， 所以｜｜2＝＝（＋－）2＝＋＋＝12＋22＋12＝6，｜｜＝， ｜｜2＝＝（＋）2＝＋＝12＋22＝5，｜｜＝， ·＝（＋－）·（＋）＝－＝22 －12＝3， 所以cos＜，＞＝＝＝. 母题探究 1.解：由例题知，｜｜＝，｜｜＝， ·＝·（＋） ＝－＝×22 －12＝1. 所以cos＜，＞＝＝＝. 所以与夹角的余弦值为. 2.解：由已知得｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，·＝·＝·＝0， 因为｜｜2＝＝（＋）2＝＋＝12＋12＝2， 所以｜｜＝， 因为｜｜2＝＝（－）2＝＋＝12＋12＝2， 所以｜｜＝， 又因为·＝（＋）·（－）＝－＝－1. 所以cos＜，＞＝＝＝－. 所以＜，＞＝120°， 所以异面直线CA1与AB夹角的大小为60°. 跟踪训练 1.B　不妨设正方体的棱长为1，则·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（＋）＝·＋＋·＋·＝0＋＋0＋0＝＝1，又∵｜｜＝，｜｜＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴＜，＞＝60°. 2.证明：在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 由余弦定理得，BD＝AD，所以AD2＋BD2＝AB2， 所以DA⊥BD，则·＝0. 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0. 又＝＋， 所以·＝（＋）·＝·＋·＝0，即PA⊥BD. 3.解：连接A1B，AC，如图. （1）因为以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此间的夹角都是60°， 所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝， a·c＝｜a｜｜c｜cos 60°＝， b·c＝｜b｜｜c｜cos 60°＝， 可知＝a＋b，所以在平行四边形AA1C1C中 ＝＋＝a＋b＋c， ｜｜2＝＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c ＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6， 所以｜｜＝，即对角线AC1的长为. （2）因为＝a＋b＋c，＝a， 所以cos＜，＞＝＝＝＝＝＝. 随堂检测 1.AC　作出图形，如图所示. 对于A，2·＝2｜｜｜｜cos 120°＝2a·acos 120°＝－a2；对于B，2·＝2｜｜｜｜cos 60°＝2a·acos 60°＝a2；对于C，2·＝2｜｜·｜｜cos 180°＝2··acos 180°＝－a2；对于D，2·＝2｜｜｜｜cos 120°＝2··acos 120°＝－. 2.C　＝＋＝＋（＋）＝＋（＋），＝＋，则·＝（｜｜2＋｜｜2）＝1，故选C. 3.B　设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝.由＝a＋b＋c，得｜｜2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以｜｜＝. 4.⊥　解析：∵·＝·，∴·（－）＝·＝0.∴⊥. 5.－b　－a　解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为，，由｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a在b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝＝－b，b在a上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－a. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $