第2章 圆锥曲线章末知识梳理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

066 章末知识梳理 知识体系构建 定义：MIIMF,I+IMF2I=2a(2a>IFF2I) 「焦点在x轴上： +方=1(a>b>0),=2-c2 x2 标准方程 统一形式：Ax2+B2=1(A>0,B>0,A≠B) 焦点在y轴上：二 =1(a>b>0),2=a2-2 、方程 x2 椭圆 性质 京=1(u>b>0) 京=1(a>b>0 范围 lxl≤a,lyl≤b lxl≤b,lyl≤a 简单几何性质 对称性 图形关于x轴、y轴及原点对称 焦点 (±c,0) (0,±c) 顶点 (±a0),(0,±b) (±b,0),(0,±a) 离心率 -( es、 ∈(0,1) 定义：MIIIMF1I-lMF2II=2a(0<2a<IFF2I) ∫焦点在x轴上： 2 =1(a>0,b>0),b2=c2-a21 标准方程 统一形式：Ax2+By2=1(AB<0) 焦点在y轴上： x2 =1(a>0,b>0),b2=2 -a2 a2 62 方程 性质 a2-京=1(a>0,b>0) 京=1(a>0,b>0) 双曲线 范围 lxl≥a,yeR lyl≥a,x∈R 对称性 图形关于x轴y轴及原点对称 (±c.0) (0,±c) 圆 简单几何性质 焦点 顶点 (±a,0) (0,±a) 渐近线方程 y=±名 离心率 e=合-√1+（合）∈1，+) 定义：MIIMFI=d,其中d表示点M到定直线l的距离，FEl 「开口向右：y2=2px(p>0) ”焦点在x轴上 1开口向左：y2=-2px(p>0) }统-形式：y2=mx(m≠0) 标准方程 「开口向上：x2=2py(p>0) 焦点在y轴上开日向下：2=-2pp>0) 统一形式：x2=四y(n≠0)》 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2y(p>0)》 性质 x2=-2py(p>0) 抛物线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称性 图形关于x轴对称 图形关于y轴对称 简单几何性质 焦点 (5.） (-) (0,2）) (0-) 准线方程 当 x=号 y号 y=分 顶点 原点(0,0) 离心率 e-1 直线与 直线与圆锥曲线的交点 广交点：即以方程组直线的方程， 1圆锥曲线的方程 的解为坐标的点 圆锥曲 直线与圆锥曲线的交点个数 线的位 置关系 直线与圆锥曲线的综合问题一弦长公式1B1=√+)[(+)2-4=√(1+)[(+)2-41](k≠0) 067 要点专项突破 要点一直接法求动点的轨迹方程的方法 要点二定义法 求动点的轨迹方程，实质是建立动点的坐标 当动点所满足的条件恰符合某曲线的定义 (x,y)间的关系f(x,y)=0,解题的关键是认真时，如到定点的距离等于定长，或到两定点距离 分析形成轨迹的动点与已知条件的内在联系，选 之和等于定值（且大于两定点之距），或到两定 择恰当的方法构建动点的轨迹方程.探求动点轨 点距离之差的绝对值等于定值（且小于两定点之 迹问题的常用方法有：直接法、定义法、相关点 距)等，常利用定义法确定动点的轨迹，结合已知 法、交轨法 条件求出基本量即得动点的轨迹方程， 例1在平面直角坐标系x0中，已知点F(1,0, 例2求解下列问题， 直线1：x=-1,点P在直线1上移动，R (1)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N: 是线段PF与y轴的交点，动点Q满足 (x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并 RQ⊥PF,PQ⊥1.求动点Q的轨迹方 且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C, 程E. 求C的方程. (2)已知两个定圆01和02，它们的半径 分别是1和2，且10,02I=4,动圆M与圆 0,内切，且与圆02外切，建立适当的坐 标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明 轨迹是何种曲线， 068 要点三 相关点法 要点四交轨法 当动点与已知曲线C上的某个动点是一对 当动点是两动曲线的交点时，常采用交轨法 相关点（即两点的坐标可以相互转化）时，常采求动点轨迹方程，即引入变量表示两条动曲线的 用相关点法求动点的轨迹方程，其基本步骤为： 方程，将两曲线方程联立为方程组并消去变量， (1)设点：设动点坐标为(x,y),已知曲线C所得x,y的方程即为动点的轨迹方程 上的动点坐标为(xo,y); 例4A,B是抛物线y=4ax(a>0)上的两动 (2)列式：建立两动点坐标的关 点，且OA⊥OB,OP⊥AB,垂足为点P,求 系，)， 动点P的轨迹 lyo=g(x,y); (3)代入：将上述关系式代人已知曲线C的 方程，即得动点的轨迹方程 相关点法也称为代入法或转移法 例 3卫知RR分别为横圆C:聋+苦=1的 左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求 △PF,F,的重心G的轨迹方程 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）的倾斜角是45°，故斜率k=1,.1的方程为y=x+3.将直线 方程代入椭圆方程，整理得23x2+96x+32=0,x1+2 化每得4点的尘标为刻归 同理，可得B点的坐标为(4ak2,-4ak), 4a(+个 =器，B1=√1+1)×[(--4×]2 从而知当k≠±1时，kB 1 设点R,到直线1的距离为d,则d=3-0+3!=32 2 故得直线AB的方程为y+4ak= 1-(x-4ak), 1112 23 ×32=1682 23 即（石-k少y+4a=x①， 章末知识梳理 要点专项突破 直线0P的方程为y=-(大-纱②， 例1：由题意可知R是线段PF的中点，因为RQ⊥PF,所以 则点P的坐标同时满足①②， 直线RQ为线段PF的中垂线，连接QF,则IQPI=IQF1, 又PQL1,即，点Q到点F的距离和到直线I的距离相等 ②得-k=之代入①，得-少+4a=, 设Q(x,y),则1x+1「=√(x-1)2+y,化简得y2=4x i 即(x-2a)2+y2=4a2(x≠0) 故动点Q的轨迹方程E为y2=4x. 当k=±1时，容易验证P点的坐标仍适合上述方程 例2：(1)由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r,=1:圆 故点P的轨迹方程为(x-2a)2+y2=4a2(x≠0)，它表示以 点(2a,0)为圆心，以2a为半径的圆除去坐标原点后的部分 N的圆心为N(1,0),半径2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R 第三章空间向量与立体几何 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以IPMI+IPWI=(R+r)+(r2-R)=r1+r2=4>IMWI §1空间直角坐标系 由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左、右焦点，长轴长 必备知识探新知 知识点1坐标轴坐标平面x0y平面y0z平面0x 为4的椭圆（左顶点除外），即a=2.由c=1得b=√3，所以C的 平面右手系135°90° 方程为号+兮=1(x≠-2). 知识点2三元有序实数组(x,y,z)横坐标纵坐标竖 (2)如图，以00，的中点0 坐标 为原点，O1O,所在直线为x轴建 关键能力攻重难 立平面直角坐标系。 : 例1：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的 由101021=4， x坐标、y坐标均为O,而E为DD的中点，故其坐标 得点01(-2,0)，02(2,0) 为(0.0，) 设动圆M的半径为，则由 动圆M与圆O1内切，有1MOI=r-1: 由动圆M与圆O2外切，有1M021=r+2. 所以IM02I-1M01I=3<10102I=4: 即点M的轨迹是以O,,O,为焦点，实轴长为3的双曲线的 左支 N℃ 由a=号c=2,得=2-d=子 由点F作FM⊥AD,FN1DC,由平面几何知FM=交，FN= 放点型的镇迹方程为号-兰=(：≤一) 44 2,则F点坐标为（分30 例3：依题意知点F(-1,0),F2(1,0),设点 点G在)轴上，其x,:坐标均为0，又60=子，放G点坐标 P(xo,Yo),G(x,y). x- xo-1+1 为(0，子0由点H作K1CG于点K,由于H为CG的中点，。 由三角形重心坐标关系可得 即∫3x 代 Yo y%=3y, 故K=子，OK=g所以k=冬放H点坐标为(0，日) 对点训练1：(1)A,B,C,D都在平面xOy内，点的竖坐标都 1 +号=1，得△PFB,的重心G的轨迹方程为 2 3 4 -+3y2=1为0，它们在x轴、y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0， 0),(4,0),(4,3),(0,3),因此空间坐标分别是A(0,0,0),B(4, (y≠0). 0,0),C(4,3,0),D(0,3,0) 例4：设点P的坐标为(x,y),直线OA的方程为y=kx,显然 A',B',C,D'同在一个垂直于z轴的平面内，这个平面与z k≠0.则直线0B的方程为y=一名 :轴的交点A'在z轴上的坐标是5，故这四点的z的坐标都是5.从 —316