3.1.1 点在空间直角坐标系中的坐标&3.1.2 空间两点间的距离公式(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦空间直角坐标系中点的坐标及两点间距离公式，通过房间示意图中板凳和气球位置的问题导入，引导学生从平面直角坐标系类比迁移，构建空间坐标系的认知支架，衔接前后知识脉络。 资料以数学抽象为核心，结合生活情境引导学生建立空间坐标系概念，通过类比平面对称点培养逻辑推理能力，题型设计含通性通法总结与分层训练，助力学生掌握数学运算技能，既便于自主学习又利于教师教学评估，提升数学核心素养。

1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1.2　空间两点间的距离公式 课标 要求 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标（数学抽象）. 2.掌握空间两点间的距离公式，并会利用该公式求空间两点间的距离（数学运算）. 　　 　　如图是一个房间的示意图. 【问题】　我们如何表示板凳和气球的位置？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点　　叫作坐标原点，x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为　　　平面、　　　平面、　　　平面. 提醒：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90°. 2.右手系 伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向　　轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转　　　指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向，称这样的坐标系为右手系. 3.空间直角坐标系中点的坐标 三元有序实数组　　　　叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P（x，y，z），其中x叫作点P的　　坐标，y叫作点P的　　坐标，z叫作点P的　　坐标. 知识点二　空间两点间的距离公式 已知空间中P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）两点，则P，Q两点间的距离为｜PQ｜＝　　　　　　. 【想一想】 1.在平面直角坐标系中，设P（x，y），则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 2.类比在平面直角坐标系中P（x，y）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标的特点，你认为空间点P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 3.若P是坐标原点，且Q（x，y，z），则P，Q两点间距离公式是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在空间中，过x轴，y轴的平面叫作xOy平面.（　　） （2）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式.（　　） （3）空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式.（　　） （4）空间直角坐标系中，点（1，，2）关于yOz平面的对称点为（－1，，2）.（　　） 2.〔多选〕在空间直角坐标系O-xyz中，以下结论正确的是（　　） A.点A（1，3，－4）关于x轴的对称点的坐标是（－1，－3，4） B.点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（－1，2，－3） C.已知点A（－3，1，5）与点B（4，3，1），则AB的中点坐标是（，2，3） D.两点M（－1，1，2），N（1，3，3）间的距离为3 3.在空间直角坐标系中，点A（2，1，－2）在坐标平面xOy内的投影坐标为　　　　. 　　 题型一　求空间点的坐标 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. （1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； （2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 尝试解答 通性通法 空间中点P坐标的确定方法 （1）过点P分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是（x，y，z）； （2）若题目所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题. 　〔一题多解〕如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，建立适当的空间直角坐标系，求顶点A，B，C，A1，B1，C1的坐标及棱B1C1的中点的坐标. 题型二　空间点的对称问题 在空间直角坐标系中，已知点P（3，－2，1）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）求点P关于xOy平面对称的点的坐标； （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. 尝试解答 通性通法 空间点对称问题的解题策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解； （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 已知点P（2，3，－1）关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　. 题型三　空间两点间的距离公式及应用 已知A（3，2，1），B（1，0，4），求： （1）线段AB的长度及其中点坐标； （2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件. 尝试解答 通性通法 利用空间两点间距离公式求线段长的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用两点间的距离公式求出线段的长. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且｜CG｜＝｜CD｜，H为C1G的中点，建立适当的坐标系. （1）写出E，F，G，H的坐标； （2）求G与H两点间的距离. 1.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，点P的坐标为（　　） A.（4，－3，2） B.（－3，4，2） C.（4，2，－3） D.（4，3，2） 2.在空间直角坐标系中，点P（3，－4，－5）与Q（3，－4，5）两点的位置关系是（　　） A.关于x轴对称 B.关于xOy平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 3.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，｜OA｜＝3，｜OC｜＝5，｜OO1｜＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为（　　） A.（3，5，4） B. C. D. 4.〔多选〕关于空间直角坐标系O-xyz中的一点P（1，2，3），下列说法正确的是（　　） A.OP的中点坐标为 B.点P关于x轴对称的点的坐标为（－1，2，3） C.点P关于原点对称的点的坐标为（－1，－2，－3） D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为（1，2，－3） 5.已知A（3，5，－7），B（－2，4，3），则线段AB在yOz平面上的射影长为　　　　. 完成课后作业　第三章　§1　1.1　1.2 答案 1.1　点在空间直角坐标系中的坐标 1.2　空间两点间的距离公式 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.O　xOy　yOz　zOx 2.x　90° 3.（x，y，z）　横　纵　竖 知识点二 想一想 1.提示：分别为（x，－y），（－x，y），（－x，－y）. 2.提示：P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是分别为（x，－y，－z），（－x，y， －z），（－x，－y，－z）. 3.提示：｜PQ｜＝. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）√ 2.BCD　点A（1，3，－4）关于x轴的对称点的坐标为（1，－3，4），A错误；点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标为（－1，2，－3），B正确；A（－3，1，5）与B（4，3，1）的中点坐标为（，，）＝，C正确；M（－1，1，2），N（1，3，3）两点间的距离为＝3，D正确.故选B、C、D. 3.（2，1，0） 【典例研析】 【例1】　解：（1）在正方形ABCD中，AB＝6， ∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3. ∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），C1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）. （2）同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）. 跟踪训练 解：法一 以点A为原点，AC，AA1所在直线分别为y轴、z轴建立如图1所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（，1，2），C1（0，2，2），棱B1C1的中点的坐标为. 法二 设棱AC，A1C1的中点分别为D，D1，连接DB，DD1. 以点D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图2所示的空间直角坐标系， 则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，－1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2），棱B1C1的中点的坐标为.（注：建立其他适当的空间直角坐标系均可，当建立坐标系不同时，点的坐标就不同.） 【例2】　解：（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（3，2，－1）. （2）由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（3，－2，－1）. （3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－3＝1，y＝2×（－1）＋2＝0，z＝2×（－4）－1＝－9， 所以P3的坐标为（1，0，－9）. 跟踪训练 （2，－3，1）　解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. 【例3】　解：（1）由题意，A（3，2，1），B（1，0，4），所以｜AB｜＝＝. 设点C（x0，y0，z0）是线段AB的中点，则x0＝＝2，y0＝＝1，z0＝＝，所以AB的中点C的坐标是. （2）由题意得，｜PA｜＝｜PB｜， 即 ＝，化简得4x＋4y－6z＋3＝0. 跟踪训练 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x轴坐标、y轴坐标均为0，而E为DD1的中点， 故其坐标为. 由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知｜FM｜＝，｜FN｜＝， 故F点坐标为. 点G在y轴上，其x、z轴坐标均为0， 又｜GD｜＝，故G点坐标为. 由H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点. 故｜HK｜＝，｜CK｜＝，∴｜DK｜＝， 故H点坐标为. （2）｜GH｜＝＝. 随堂检测 1.A　由题图可知点P的坐标为（4，－3，2）. 2.B　点P（3，－4，－5）与Q（3，－4，5）两点的横、纵坐标相同，而竖坐标互为相反数，所以两点关于xOy平面对称. 3.C　由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的投影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是. 4.ACD　点P关于x轴对称的点的坐标为（1，－2，－3）. 5.　解析：点A（3，5，－7），B（－2，4，3）在yOz平面上的射影分别为A'（0，5，－7），B'（0，4，3），∴线段AB在yOz平面上的射影长｜A'B'｜＝＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $