2.2.1 双曲线及其标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

044 §2双曲线 2.1双曲线及其标准方程 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图1.在学习双曲线时，要注意定义中“常数要大于0 形和标准方程的推导过程， 且小于1F,F2”这一限制条件的几何意义， 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 2.焦点F1,F,的位置是双曲线的定位条件，它决定 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单 着双曲线标准方程的形式；参数a,b确定了双曲 实际问题 线的形状和大小，是双曲线的定形条件. 4.与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分 3.对比椭圆的定义学习，了解其区别和联系。 必备知识探新知 知识点1双曲线的定义 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F,,F,的距离的差的绝对值等于 的点的集合（或轨迹） 叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距 (2)双曲线定义的集合语言表示 设双曲线上任一点M与两焦点距离之差的绝对值为常数2a,则M所满足的集合是P= 知识点2双曲线的标准方程 (1)双曲线标准方程的比较 类型 焦点在x轴上 焦点在y轴上 个g 图形 标准方程 焦点坐标 F(-c,0),F2(c,0) F(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 c2=a2+62 (2)由标准方程判断焦点位置的方法 焦点F,F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项 走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y项的系数为正，则焦点在y轴上. ●045 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一双曲线的概念 规律方法： 例1设平面上的点到两个定点F,(5,0),5(-5,0)的距离之差的绝对值 双曲线是到两个 分别等于(1)6：(2)10：(3)12.满足条件的曲线若存在，是什么样的曲 定点F,F2的距离之 线？若不存在，请说明理由. 差的绝对值等于常裁 (大于零且小于 1F,F2I)的点的集合 (或轨迹)，要注意条 件“常数（大于零且 小于IFF2)”. [规律方法] )对点训练1 已知A(0,-5),B(0,5),IPA|-1PB1=2a,当a=3或5时，P点的轨迹 为 () A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 题型二求双曲线的标准方程 规律方法： 例2火适合下列条件的双曲线的标准方程 求双曲线的标准 (1)焦点在x轴上，a=25,经过点A(-5,2); 方程与求椭圆的标准 方程的方法相似，可 (2)经过两点A(-7,-62),B(2√7,3). 以先根据其焦点位置 设出标准方程，然后 用待定系裁法求出 a,b的值.若焦点位 置不确定，可按焦点 在x轴和y轴上两种 [规律方法] 情况讨论求解，此方 )对点训练2 法思路清晰，但过程 复杂.若双曲线过两 根据下列条件，求双曲线的标准方程. 定点，可设其方程为 (1)焦点在x轴上，经过点P(4,-2)和点Q(2V6,2√2)； mx2+ny2 =1(mn (2)过点P3,),Q(-,5列且焦点在坐标轴上. 0),通过解方程组即 可确定m,n,避免了 讨论，从而简化求解 过程 046 题型三 双曲线定义的应用 规律方法： 例3.已知双曲线-y=1的左右焦点分别为下，R,P为双曲线右支上一 1.求双曲线中距 离的范围和焦点三角 点，点Q的坐标为(-2,3)，则IPQ1+PFI的最小值为 形面积的策略 (1)数形结合 P[规律方法] 利用双曲线的定 )对点训练3 义，弄清IPF,I, 2024·天津卷)双曲线艺-=1(@>0，b>0)的左右焦点分别为F IPF2I,IFF2l三者 之间满足的关系式， F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF,F2是面积为8的 一般常用到三角变换 直角三角形，则双曲线的方程为 ( 和解三角形的知识。 A “82=1 B.2 “841 (2)化归思想 将原问题等价转 D.y "48=1 化为易解决的问题， 在双曲线中，尤其要 ●易错警示 注意特殊图形的性质 忽略双曲线方程中含有的字母的符号 和双曲线的定义，如 例4.已知双曲线8kx-y=8的一个焦点为(0,3)，求k的值， 例3中将IPQ1+ [错解】将双曲线方程化为标准方程为-。 IPF,I进行等价转化 181. 是问题的核心 hh (3)求三角形的 由宽表知焦点在y错上，所以。-受名，斯以c=V后-万-、食日 面积还可以利用公式 1 SaFR=2×IFF, =3,即天9，所以k=了 7 xlypl(yp为P点的 [辨析】上述解法有两处指误：一足，确定错误，应该是。一受。 纵坐标). 2.求解与双曲线 左；二是a,6,e的关系式用错了，在双曲线中应为c2=4+2. 有关的点的轨迹问 题，常见的方法有 [正解] 两种： (1)列出等量关 系，化简得到方程： (2)寻我几何关 系，由双曲线的定 义，得出对应的方程 求解双曲线的轨 迹问题时要特别 注意： （1)双曲线的焦 点所在的坐标轴： (2)检验所求的 轨迹对应的是双曲线 的一支还是两支 047 课堂检测 固双基 1.已知点P(x,y)的坐标满足√(x-1)2+- 等于8； √(x+1)2+y2=±√2，则动点P的轨迹是 (2)以韬圆 8+5=1长轴的端点为焦点，且 经过点(3，√10)； A.椭圆 B.双曲线 (3)a=b,经过点(3，-1). C.两条射线 D.双曲线的一支 2已知双曲线1(a>0,b>0),A,F,为 其两个焦点，若过焦点F,的直线与双曲线的 同一支相交，且所得弦长IAB1=m,则△ABF 的周长为 A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 3.已知方程1+m+m21表示双曲线，则m 的取值范围是 A.(-1,+∞)》 B.(2,+∞) C.(-∞，-1)U(2,+∞) D.(-1,2) 4.经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2，-7)，且焦点在 y轴上的双曲线的标准方程是 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)两个焦点的坐标分别是(-5,0)，(5,0)， 夯基提能作亚 双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值 请同学们认真完成练案[12] 2.2双曲线的简单几何性质 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.掌握双曲线的简单几何1.学习双曲线的几何性质时，要对比椭圆的几何性质来加深印 性质. 象，同时要注意利用数形结合帮助理解双曲线的几何性质。 2.理解双曲线离心率的定义、2.注意渐近线是双曲线特有的性质，椭圆是封闭曲线，没有渐近 取值范围和渐近线方程. 线，而双曲线有两条渐近线.利用渐近线来画双曲线特别方 3.通过具体实例初步了解直线 便，且较为精确，作出双曲线的渐近线就完全掌握了双曲线的 与双曲线相交的相关问题， 变化趋势.课堂检测固双基 1D椭圆方程16成+4y=1化为标准方程为片+ 知识点2（号-若茶=1(a>0,6>0) 1 =1,焦点 0,b>0) 164 关键能力攻重难 在y轴上，所以a= 1 2,6= 1 3 4,c 例1：(1)存在.1FF21=10,而6<10 4 ,所以长轴长为2a=1,焦距 .满足条件的曲线是双曲线。 为2=,熊点坐标为0， ,离心率为e= ,故选D. (2)存在..1FF1=10,而10=10. a 2 .满足条件的是以F,F为端点的两条射线。 2B因为箱圆c:号+号=1(。>3)的离心率为 2 (3)不存在..·1FF2「=10，而12>10， ∴.满足该条件的曲线不存在 所以(-1是所以。=6故选 对点训练1：D当a=3时，2a=6,此时IAB1=10, .点P的轨迹为双曲线的一支（靠近点B). 3.A不妨设椭圆的左、右焦点分别为F, 当a=5时，2a=10,此时|AB1=10, F2,B为椭圆的上顶点。 :111 ∴·点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线。 依题意可知，△BFF2是正三角形 在Rt△OBF2中，IOFI=c, 例2：()设双线方程为号卡-1u>0,6>0. 1BF2I=a,∠OF2B=60°， .c0s60°==1 厕a-25,空-年三1，解得6=16， a a=21 -1 即椭圆的离心率e=2,故选A 则双简线的标准方程为号后-山 (2)设双曲线方程为mx2-ny2-1, 4.22根据题意，设四边形B,F,B,F2 y 1 的面积为S, 则有 r49m-72m=l解得 m=25' 稀圆的标准方程为号+号-1，其中 28m-9n=1, 1 =75' a=5,b=2, 则双曲线的标准方程为方1， 则c=3-2=1, 对点训练2：(1)因为焦点在x轴上， 则F(-1,0),F2(1,0),B(0,2), 可设双曲线方程为二-发 B2(0,-2), FF=1(a>0,b>0), IOFI=10F2I=1,10B,I =10B,1=2 164 则S=4×5am=4x(分×10B,1×0r）=22 将，点(4，-2)和(26,2√2)代入方程得 5椭圆方程可化为兰+ .a -=1(m>0), m 解得a2=8,b2=4, m+3 .m--m 所议以双葡线的标准方程为片苦-1 m+3 -m(m+22>0m>m m+3 +3 (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. ∴.a2=m,8=m +3c=-6- /m(m+2) 因为点P,Q在双曲线上 m+3 1+8=1. 「A=-16 则 解得 1256 1 19 A+25B=1, B=9 六椭圆的标准方程为+兰=1，a=1,6= 1 2,c 2 放双周线的标准方程为号-。-1 ∴.椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 例3：5+25如图， 两焦点坐标分别为-0小（气，0小：四个顶点坐标分别为 由双曲线号-子=1，得a=3,6=1, (-1,0.1,0)(0,-20,2} .c2=a2+62=4,则c=2 则F2(2,0), §2双曲线 .IPFI-IPF2I=23,∴.IPFI=2√3+IPF,I IPQI +IPF I=IPQI+IPF21+23, 2.1双曲线及其标准方程 连接QF,交双曲线右支于P, 必备知识探新知 则此时IPQ1+1PF2I最小等于IQF2I, 知识点1(1)常数（小于1FF2I且不等于零） Q的坐标为(-2,3)，F(2,0), (2)MIIIMFI -IMF2II =2a(0<2a<IF F21) .1QF21=√/(-2-2)2+(3-0)2-5， 307 IPQI+IPFI的最小值为5+23 所以双准线的标准方型为后-号=士 对点训练3：C如图所示，点P必落在第四象限，∠F,PF, =90°，设IPF2「=m, (2)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c=2瓦 ∠PF2F=0,∠PFF2=02,由kp2=tan01=2,求得sin01 设双曲线的标准方程为。_二 =1(a>0,b>0), 5 则有a2+62=c2=8 90-1, 因为∠F,PF2=90°，所以km· 解得a2=3,b2=5. 1 kp,=-1,求得pA=-2,即m& 放所求双葡线的标准方程为号号-1 (3)当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为x-y2=a,将点 (3,-1)代人，得32-（-1)2=a2,所以a2=62=8.因此，所求 sin02=三，由正弦定理可得： 的双面线的标准方程为号苦=1， IPF I I PF2 I I F F2 I sin 0 sin 0 sin 90 当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3， 2:1:5 -1)代入，得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能，所以焦点不 则由1PF2I=m得1PFI=2m,1F,F2I=2c=-5m, 可能在y轴上 m IPFI=m2m=8 综上，所求双截线的标准方程为号专-1 得m=2√2， 2.2双曲线的简单几何性质 则IPF2I=22,IPF,=42,IF,F2l=2c=210,c=√10， 必备知识探新知 由双曲线第一定义可得：lPFI-1PF2I=2a=22,a=2, 知识点x≤-a或x≥ay≤-a或y≥aA1A22a b=c2-a=8, B B2 2b a b a+b2 所以双前线的方程为号- =1.故选C. 关键能力攻重难 例4：双曲线8k2-62=8化为。-是 例1：将9y-4=-36化为标准方程形式：。-号 81=1, 94=1, -k 所以a=3,b=2,c=√13. k 因此顶点坐标为(-3,0)，(3,0)， 则-是-名=3k=-1 焦点坐标为(-√3,0)，（√3,0）， 课堂检测固双基 1.B设A(1,0),B(-1,0),则题中等式等价于IIPA1-IPB11 实轴长2a=6,虚轴长20=4，高心*6=台=写，新近线 二万，即动点P到两个定点A,B的距离之老的绝对值等于常方程为y=士合=±子 数2，又1AB1=2,且万<2，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线. 对点训练1：B双曲线号-石=1的顶点在x轴上，而双 2 y2 2.C不妨设1AF21>IAF1,由双曲线的定义， AF,I -IAF I =2a,IBF,I-IBF I=2a, 黄线名号=1的顶点在)第上，因化A错误： 两双曲线中都有c=5,故焦距相同，B正确； 所以1AF2I+IBF2I=(IAFI+IBFI)+4a=m+4a,于是 △ABF2的周长I=IAF2I+IBF2I+IABI=4a+2m.故选C. 双尚线号后-1的蒲近线方程为=±合=±亭，双 3D方程，千n+二21， 曲线之一。三1的渐近线方程为y=±6x=±3x,故渐近线 ..(m-2)(m+1)<0, 方程相同，C错误； 解得-1<m<2,.m的取值范围是(-1,2) 9+16-5 42x2 2575=1设双曲线的方程为m2+y2=1(mn<0), 双前线号-名=1的离心率6，=√月)6 916 ,而双曲线 =-75 花号-1的离心率。=√君-子，各+：因成D错误 则9nm+28n=1,解得 72m+49n=1, 1 例2：()设双曲线方程为。-若=1(a>0,6>0),由题意 n=25, 46 故双储线的标准方程为号一芳-1 知 6=3 又：双曲线过点P(6,2)心-1， a 2 5.(1)由双曲线的定义知，2a=8,所以a=4, b =3’ 依题意可得 a2=3 4 又知焦点在x轴上，且c=5, 解得 所以62=c2-a2=25-16=9, 6=1,62=3. 6 -308