2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 一、选择题 1.椭圆x2+3y2=9的短轴长为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3 B.6 C. D.2 2.已知椭圆C:+=1(m>0)的短轴长和焦距相等,则m的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B. C. D. 3.若点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则下列说法正确的是 (　 ) A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断上述点与椭圆的关系 4.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为 (　 ) A.-4 B. C.-4或- D.-4或 5.若椭圆上存在三个点,使得这三个点与椭圆的中心恰好是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率e= (　 ) A. B. C. D. 6.设F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,动点P在椭圆上,当△PF1F2的面积最大时,·的值等于 (　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 7.(多选题)已知椭圆x2+=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.焦点的坐标是(-2,0),(2,0) B.椭圆的长轴长为2 C.椭圆上的点的横坐标的取值范围是[-2,2] D.椭圆的离心率为 8.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,P,Q为C上的动点,|PF2|的最大值为6,则下列结论中正确的是 (　 ) A.椭圆C的短轴长为4 B.当P,Q分别在x轴的上方和下方时,四边形PF1QF2的周长的取值范围是(8,16] C.存在四个不同的点P,使得∠F1PF2=60° D.若△PF1F2为锐角三角形,则点P横坐标的取值范围是(-2,2) 二、填空题 9.已知椭圆C:+=1(m>0)的长轴长为4,则椭圆C的焦距为　　　　.  10.若椭圆的中心为原点,对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程为　　　　　　　　　　　.  11.已知椭圆+y2=1(a>1),若其左焦点到右顶点的距离为2,则a的值为　　　　.  12.设椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF1并延长,交椭圆C于点P,若|PA|=|PF2|,则该椭圆的离心率为　　　　.  三、解答题 13.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=. (1)求m的值; (2)求椭圆的焦点坐标、顶点坐标. 14.如图,点A是椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过A作斜率为的直线l,交椭圆于点B,已知点P的坐标为,且满足BP∥x轴,·=. (1)求椭圆C的方程; (2)椭圆C的左顶点为D,左焦点为F,点M为椭圆上任意一点,求·的取值范围. 15.[2024·河南周口高二期中] 如图,某颗人工智能卫星的运行轨道可近似看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为 (　 ) A.3r+2R B.2r+3R C.r+2R D.r+R 16.设点F1,F2分别为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,点P是椭圆C上任意一点,若使得·=m成立的点P恰好是4个,则实数m的一个取值可以为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 1.D　[解析] 由x2+3y2=9,得+=1,所以b=,故椭圆x2+3y2=9的短轴长为2.故选D. 2.A　[解析] 因为椭圆的短轴长和焦距相等,所以m2+1-m2=m2,可得m=1.故选A. 3.C　[解析] 点(-3,-2)与点(3,2)关于原点对称,点(3,-2)与点(3,2)关于x轴对称,点(-3,2)与点(3,2)关于y轴对称.若点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则根据椭圆的对称性可知(-3,-2),(3,-2),(-3,2)三点都在椭圆上.故选C. 4.C　[解析] 因为e2===1-=,所以=.若椭圆的焦点在x轴上,则0<4-k<9,即-5<k<4,又==,所以k=-4;若椭圆的焦点在y轴上,则4-k>9,即k<-5,又==,所以k=-.综上所述,k=-4或k=-.故选C. 5.C　[解析] 不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意知,当椭圆的右顶点B(或左顶点)与坐标原点O均为正方形的顶点,且OB为正方形的对角线时,正方形符合题意.不妨令正方形的顶点A在第一象限,顶点C在第四象限,则由正方形和椭圆的对称性可得正方形的四个顶点及坐标分别为O(0,0),B(a,0),C,A,将点A的坐标代入椭圆方程得+=1,所以a2=3b2,故离心率e====.故选C. 6.B　[解析] 根据对称性,可设点P(x,y),y>0,则△PF1F2的面积S=×|F1F2|×y=cy,则当△PF1F2的面积最大时,y最大,此时P为椭圆的上顶点,坐标为(0,).因为c==2,所以F1(-2,0),F2(2,0),则=(-2,-),=(2,-),所以·=-4+3=-1.故选B. 7.BD　[解析] 由椭圆x2+=1,得a=,b=1,c=2.对于A选项,椭圆的焦点的坐标为(0,-2),(0,2),A选项错误;对于B选项,椭圆的长轴长为2,B选项正确;对于C选项,椭圆上的点的横坐标的取值范围是[-1,1],C选项错误;对于D选项,椭圆的离心率e===,D选项正确.故选BD. 8.AD　[解析] 由题意得解得则b==2,则椭圆C的标准方程为+=1,设椭圆C的上顶点为B1,坐标原点为O.对于选项A,椭圆C的短轴长为4,A正确.对于选项B,当P,Q分别在x轴的上方和下方时,四边形PF1QF2的周长为4a=16,B错误.对于选项C,连接B1F1,B1F2,在Rt△OB1F1中,∠B1OF1=90°,|OF1|=2,|OB1|=2,则∠OB1F1=30°,则∠F1B1F2=60°.因为当P为短轴端点时∠F1PF2取得最大值,所以存在2个不同的点P,使得∠F1PF2=60°,C错误.对于选项D,由∠F1B1F2=60°,可得∠F1PF2≤60°,因为椭圆C的半焦距为2,所以由△PF1F2为锐角三角形,可得点P横坐标的取值范围是(-2,2),D正确.故选AD. 9.2　[解析] 因为椭圆C:+=1的长轴长为4,所以2=4,解得m=4,所以c2=4-3=1,即c=1,故椭圆C的焦距为2. 10.+=1或+=1　[解析] 当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意得b=c,a-c=,所以a===2c,则可得c=,a=2,b=3,所以椭圆方程为+=1.当椭圆的焦点在y轴上时,同理可得椭圆方程为+=1. 11.　[解析] 由已知得c2=a2-1(a>1),所以该椭圆的左焦点的坐标为(-,0),右顶点的坐标为(a,0),其左焦点到右顶点的距离为+a=2,解得a=. 12.　[解析] 如图,依题意得|AF1|=a,由|PA|=|PF2|,得|PF2|-|PF1|=|AF1|=a,因为|PF2|+|PF1|=2a,所以|PF1|=a,|PF2|=a.令椭圆的半焦距为c,则cos∠AF1F2=.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2,即=+(2c)2-2×a×2c×,整理得a2=5c2,因此e2=,可得e=,即椭圆的离心率为. 13.解:(1)由题意,椭圆x2+(m+3)y2=m的标准方程为+=1(m>0),因为m>0,所以m>,即椭圆的焦点在x轴上,所以a2=m,b2=,由题意可知e2===1-=1-=,即=m,且m>0,解得m=1. (2)由(1)知椭圆的方程为x2+=1,故a2=1,b2=,c2=1-=,故椭圆的焦点坐标为,,顶点坐标为(1,0),(-1,0),,. 14.解:由题意得A(0,-b),则直线l的方程为y=x-b,由P,BP∥x轴,得B,所以=,=,由·=,得·==,可得b=,所以B. 又B在椭圆上,所以+=1,解得a2=4, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)由椭圆方程得c==1,则F(-1,0),D(-2,0).设M(x0,y0),则+=1,所以=3-,且-2≤x0≤2,则·=(x0+2,y0)·(-1-x0,-y0)=--3x0-2-=--3x0-5=-(x0+6)2+4.因为-2≤x0≤2,所以·∈[-12,0], 即·的取值范围为[-12,0]. 15.A　[解析] 不妨以椭圆中心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则e==,且a-c=r+R,解得a=2(r+R),c=r+R,故该卫星远地点离地面的距离为a+c-R=2(r+R)+(r+R)-R=3r+2R.故选A. 16.0(答案不唯一)　[解析] 因为点F1,F2分别为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,所以a2=3,b2=1,c2=2,则F1(-,0),F2(,0).设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),由·=m,可得+=m+2.因为点P在椭圆上,所以+ =1,所以=.要使得·=m成立的点P恰好是4个,则需满足0<<3,解得-1<m<1,所以m的值可以是区间(-1,1)内的任意一个值. 学科网（北京）股份有限公司 $