1.2.3 直线与圆的位置关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

025 课堂检测 固双基 1.圆x2+y2-4x+2y=0的圆心和半径分别为 D.2+y-3x-y-与=0 2 A.(2,-1),W5 B.(2,-1),5 :3.圆x2+y2-2y-1=0关于直线y=x对称的圆 C.(-2,1),W5 D.(-2,1),5 的方程是 () 2.以(1,1)和(2，-2)为一条直径的两个端点的 A.(x-1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=2 圆的方程为 ( C.(x-1)2+y2=4D.(x+1)2+y2=4 A.x2+y2+3x-y=0 4.若圆x2+y2-2x+4y+m=0与x轴相切，则m的 值为 B+y-3xy3-0 夯基提能作业 C.x2+y2-3x+y=0 请同学们认真完成练案[7] 2.3直线与圆的位置关系 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能熟练地解二元方程组，并能运用解方程或方 1.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置 程组来解决直线与圆的位置关系问题， 关系.就单纯判断直线与圆的位置关系来 2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和 说，几何法优于代数法，如果用到根与系数 的关系，则用代数法 几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系 2.结合所学，提高直观想象（如运用数形结合 3.掌握求圆的切线方程的方法，并会求与圆有关 的最值问题. 处理最值问题，弦长问题)，逻辑推理（处理 综合问题)以及数学运算等素养 必备知识探新知 知识点直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，(1)直线与圆相交，有两个公共点，如图1； (2)直线与圆相切，只有一个公共点，如图2； (3)直线与圆相离，没有公共点，如图3. 图1 图2 图3 2.判断直线与圆的位置关系的两种方法 方法1（代数法）：判断直线1的方程与圆C的方程组成的方程组是否有实数解.如果有实数解， 那么直线1与圆C有公共点：如果没有实数解，那么直线1与圆C没有公共点 当有两组不同的实数解时，直线1与圆C相交； 当只有一组实数解时，直线1与圆C相切； 当无实数解时，直线1与圆C相离. 026 方法2（几何法）：判断圆C的圆心到直线1的距离d与圆C的半径r的大小关系 直线1与圆C相交一d<r; 直线1与圆C相切→d=r; 直线1与圆C相离台d>r. 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一直线与圆的位置关系 1.几何法：由圆 例.已知直线1：3x+y-6=0和圆C:+y2-2y-4=0,判断直线1与圆c 心到直线的距离d与 圆的半径r的大小关 的位置关系 系判断. 2.代数法：根据 直线方程与圆的方程 组成的方程组解的个 裁来判断. 3.直线系法：岩 直线恒过定点，可通过 判断定点与圆的位置关 ·[规律方法] 系来判断直线与圆的位 置关系.但有一定的局 对点训练1 限性，必须是过定点的 求实数m的取值范围，使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别 直线系 满足：①相交；②相切：③相离. 规律方法： 1.几何法：设出 切线方程，利用圆心 到直线的距离等于半 径，求出未知量，此 种方法需要注意斜率 不存在的情况，要单 题型二求切线方程 独验证，若符合题 例2)由直线=*+1上任一点向圆(x-3)+y-1引切线，则该切线 意，则直接写出切线 方程 长的最小值为 2.代数法：设出 A.1 B.2√2 C.7 D.3 切线方程后与圆的方程 (2)过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线，求切线的方程. 联立消元，利用判别式 等于零，求出未知量， 若消元后的方程为一元 一次方程，则说明要求 的切线中，有一条切线 的斜率不存在，可直接 写出切线方程 3.设切点坐标： 先利用切线的性质解 出切点坐标，再利用 一[规律方法]直线的两点式写出切 线方程 ●027 )对点训练2 若直线1过点P(2,3),且与圆C:(x-1)2+(y+2)2=1相切，求直线1规律方法： 的方程 1.与圆有关的最 [分析]先确定点P在圆C外，再对切线1的斜率是否存在进行分类讨位问题，可借助几何 论，利用待定系数法求直线方程. 特征及几何法先确定 达到最值的位置，再 进行计算.有些与圆 有关的最值问题涉及 是否过圆心，有时注 意考虑表达式中字母 的几何意义，如两点 题型三与圆有关的最值问题 间距离公式、斜率公 例3卫知实数xy满足y=5-子，求m=中及6=2x+y的取值范周 式、在y轴上的裁 距等. 2.对于本题而 言，解决的关键是理 解m和b的几何意 义，同时要借助分界 线探求参数的取值 范围。 [规律方法] 》对点训练3 直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小 值为 A.22 B.√2-1 C.2√2-1 D.1 ●易错警示 忽略直线斜率是否存在导致漏解 例4.已知直线！经过点P(-4,3,且被圆(x+1)2+(y+2)=25截得 的弦长为8，则直线1的方程为 [错解]圆心坐标为(-1，-2)，半径为5，弦长为8， 设弦心距为d,∴.d=3, 设直线1斜率为k,则直线1的方程为y+3=k(x+4),即x-y+4k-3 =0. d==k+2+4-31=3,得k=-号 1+ 3 ∴.1的方程为4x+3y+25=0. [辨析]误认为直线斜率一定存在，直接设为k. [正解] 028 课堂检测 固双基 1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y 系为 2)2=4交于A,B两点，过A,B分别作1的垂线 A.相切 B.相交 与x轴交于C,D两点，若1AB1=4,则1CDI C.相离 D.相离或相切 2.对任意的实数k,直线y=x+1与圆x2+y2=5.已知圆C:x2+y2-2x-4y=0,若过点P(4, 2的位置关系一定是 -4)的直线1被圆C截得的弦长为√2，求直线 A.相离 1的方程. B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 3.已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2 相切，则b= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8 A.-3 B.1 c D.-3或1 2.4 圆与圆的位置关系 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与1.优先用几何法判断圆与圆的位置关系，精简 几何判断方法. 运算 2.能够利用上述方法判断两圆的位置关系. 2.注意圆与圆相切的两种情况，必要时分类讨论 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法3.提高直观想象、逻辑推理（如判断圆与圆的位置 和它的优越性 关系等)，以及数学运算等核心素养。 必备知识 探新知 知识点1圆与圆的位置关系及判定 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为1,2，两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法 如下： 位置关系 图示 d与r,r2的关系 外离 62® 外切 628 相交 In-r2l <d<例3：(1)设线段AP的中点为M(x,y), 对点训练1：圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4, 由中点公式，得点P的坐标为(2x-2,2y). 6 故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离为d= 点P在圆x2+y2=4上， /m2+1 (2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1. 圆的半径为r=2 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1 ①若相交，则d<r,即6 <2,所以m<-22或m> (2)设线段PQ的中点为N(x,y), m2+1 在Rt△PBQ中，IPWI=IBNI 2√2，故m的取值范围为(-0，-22)U(22,+0); 设O为坐标原点，连接ON, :1OPI=10QI,N为PQ的中点，.OW⊥PQ, ②若相切，则d=r,即一6 =2，所以m=±22； m+1 .I0PI2=10NI2+1PW2=0N12+IBW2, x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的 ③若相离，则d>r,即6>2，所以-22<m<2万， 轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. m2+1 对点训练3：设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(xo, 故m的取值范围为(-22,22). y0, 例2：(1)C 圆心C(3,0)到y=x+1的距离d=3-0+1山 由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点， 2 因为点A在圆？+子+2x-3=0上运动，所以点A的坐标：=2反.所以切线长的最小值为√(22)2-P=√7 满足方程x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,把x0=8-x, (2)由于(2-1)2+(4+3)2=50>1，故点M在圆外 %=6-y代人上式，得(8-x+1)2+(6-y)2=4, 当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=k(x-2),即x 整理，得(x-9)2+(y-6)2=4. y+4-2k=0, 所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4. 例4：(-0，-2)U(2,3)若x2+y2-ax-2y+2=0表 由于直线与圆相切，故+34一二21=1，解得6=头。 k2+1 示圆， 所以切线方程为24x-7y-20=0. 则(-a)2+(-2)2-4×2>0,解得a<-2或a>2. 又当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切. 若点(1,2)在圆x2+y2-ax-2y+2=0外， 综上所述，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 则12+2-a-2×2+2>0,解得a<3, 对点训练2：解法一：由题意，得点P在圆C外. 所以实数a的取值范围为(-∞，-2)U(2,3) 若直线I的斜率存在，设I:y-3=(x-2),即kx-y+3 课堂检测固双基 i2k=0. 1.A圆x2+y2-4x+2y=0化为标准方程为(x-2)2+(y+ :直线1与圆C:(x-1)2+(y+2)2=1相切， 1)2=5,故选A 圆心坐标为(，)，半径= 5=1,解得= 2.C √2+1 5 二，故所求圆的方程为 (-3++=3,即2+-3+=0 5 直线1的方程为y-3=号(x-2),即12：-5)-9=-0 3.A圆x2+y2-2y-1=0的圆心坐标为(0,1)，半径r=2,圆 若直线的斜率不存在，则直线：x=2也符合要求. 综上，直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2. 心(0,1)关于直线y=x对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的 解法二：若直线l的斜率存在，设L:y-3=k(x-2),即y= 方程为(x-1)2+y2=2. k(x-2)+3.代人圆C的方程，整理，得(k2+1)x2-(42-10k 4.1方程x2+y2-2x+4y+m=0表示圆， .(-2)2+42-4m>0, +2)x+42-20k+25=0. :直线1与圆C相切，∴.4=(42-10k+2)2-4(2+1)· .m<5 又“圆与轴相切，-2)+44m-2, (4-20k+25)=0,解得k=号 2 ..m=1. ·直线1的方程为y-3=2 x-2), 2.3 直线与圆的位置关系 即12x-5y-9=0. 若直线1的斜率不存在，则直线：x=2也符合要求 关键能力攻重难 综上，直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2. 例1：解法一（代数法）：将直线方程和圆的方程联立 得3x+y-6=0, 例3：y=√3-x表示以原点为圆心，半径为5的上半圆，m 1x2+y2-2y-4=0. -号表示过点4(-3，-1)和(x,)的直线的斜率，如图1 消去y,得x2-3x+2=0. 所示. 因为4=(-3)2-4×1×2=1>0，所以直线1与圆C相交. 解法二（几何法）：将圆C:x2+y2-2y-4=0化为标准方 程，得x2+(y-1)2=5,所以圆心坐标为(0,1)，半径为5. 所以圆心(0,1)到直线l:3x+y-6=0的距离为d= 10+1-61-<5,故直线1与圆C相交 w/32+12 2 300 可知kB≤m≤kAc.B点坐标为(5,0)， -1或k=-7.因此过点P(4,-4)且被圆C截得的弦长为2 所以6=0--》=3-E,由图1可知，4C斜率存在， 的直线l的方程为y+4=-(x-4)或y+4=-7(x-4).即x 3-(-3)6 +y=0或7x+y-24=0. 设直线AC的方程为y+1=kc(x+3),即kACx-y+3kAc-1=0, 2.4圆与圆的位置关系 因为AC与半圆x2+y2=3(y≥0)相切 所以3kc-1 必备知识探新知 √1+c =5,所以kc=3+四 6 知识点11.外离外切相交内切内含2.(1)d> 1+2d=1+211+2d=1n1-r2(2)相交外切或内 所以m的取值范围是3-E,3+2 166 :切外离或内含 由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截距， 关键能力攻重难 如图2所示. 例1：(1)B两圆的标准方程为(x-1)2+y2=1和x+ 可知直线6=2x+y一定位于两直线(，与2之间.由直线人-1)°=1，对应圆心坐标为0(1,0)，半径为1，和圆心坐标 与半圆相切，得b=√15，由直线l1过D(-3,0),得b=-2√3. 02(0,1),半径为1，则圆心距离101021=2，则0<101,02I<2, 即两圆相交，故选B. 故b的取值范围是[-2√3，√15]. (2)外切两圆的圆心分别为01(-2,2)，02(2,5)，半径 对点训练3：C圆2+y2+4x-2y+4=0的圆心为(-2,1)， 半径为1，圆心到直线y=x-1的距离为d=1-2-1-山 分别为1=1,2=4，所以10,0,1=-2-2)2+(2-5)=5 2 =11+2,所以两圆相外切. 22,所以直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的 对点训练1：B圆x2+y2-2x=0的圆心为C1(1,0),半径 点的距离的最小值为22-1. r1=1,圆x2+y2+4y=0的圆心为C2(0,-2),半径r2=2,则两 例4：x=-4或4x+3y+25=0圆心坐标为(-1，-2)，半圆的圆心距d=1C,C21=√(1-0)2+(0+2)=5， 径为5，弦长为8. .2-11<1CC21<2+m, 设弦心距为d,解得d=3. .两圆相交 当直线斜率不存在时，直线！的方程为x=-4,圆心到直线 例2：设两圆交点为A(x1,y),B(,2),则A、B两点坐标 的距离是3，满足题意 是方程组 当直线斜率存在时，设直线l的方程为y+3=k(x+4),即 「x2+y2+2x-6y+1=0, ① kx-y+4k-3=0, x2+y2-4x+2y-11=0 ② 则d=-6+2+4-3=3,解得k=-4 的解，①-②得3x-4y+6=0. /k2+1 3 ,A,B两点坐标都满足此方程 即l的方程为4x+3y+25=0. .3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程 直线l的方程为x=-4或4x+3y+25=0. 易知圆C的圆心(-1,3)，半径r=3. 课堂检测固双基 又G到直线4B的距离为d=-1x3-4×3+61= 1.C √3+4 5 2.C直线y=kx+1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2+y =2内，知直线y=x+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线 -2P--2√2-()- y=kx+1不过圆心(0,0)，则位置关系是相交但直线不过圆 心，故选C 即两圆的公共弦长为学 3.D由题得圆(x-1)2+(y-b)2=2的圆心坐标为(1，b),半 对点训练2：B由两圆方程x2+y2+2x+8y-8=0和x2+ 径为2根据题意，得1+1=厄，即1+61=2，解得6=1-4k-4,-2-0相减得+20 2+1F 例3：圆0的圆心为O(0,0),半径1=6，圆M的圆心为M(0, 或b=-3.故选D. 5),半径r,=3,两圆心的距离IOM1=5,由Ir1-r,I<5<r+r,知两 442圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)，半径r=2, 圆相交，.存在两条公切线。 1AB1=4,.直线1：mx+y-3=0过圆心(1,2)， 解法一：由题意可知公切线的斜率存在，设其方程为y=kx .m+2-3=0,.m=1, +b. .直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°， 则由圆心到切线的距离等于相应圆的半径得 :过A,B分别作I的垂线与x轴交于C,D两点， 161 =6 4 六1CD1=4B=4=4V万 /2+1 4 k= sin45°2 解得 k=-3' 3'或 1-5+b1 =3 Lb=101b=10. /k2+1 5.当直线1的斜率不存在时，直线方程为x=4,直线1与圆相离， 不合题意.当直线斜率存在时，设直线方程为y+4=k(x- 故两圆的公切线方程为y=号：+10或y=-号x+10,即 4),即kx-y-4k-4=0.圆心C(1,2)到直线的距离d= 4x-3y+30=0或4x+3y-30=0. : 解法二：设两圆的公切线切圆O于点B(x。,y),则公切线 「-2-4h-46+125-=万，解得k方程为+y=36 √2+1√限+1 k2+1 —301