2.1.1 椭圆及其标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

●035 第二章圆锥曲线 §1椭圆 1.1椭圆及其标准方程 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.通过对椭圆方程的推导，学习求曲线方程的一 1.掌握椭圆的定义 般方法。 2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导2.注意焦点在x轴、y轴上时对应的椭圆方程的区 过程. 别和联系 3.能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握待3.注意椭圆与三角形等结合的相关问题，利用好 定系数法求椭圆的标准方程 待定系数法，数形结合与化归思想方法，提高逻 辑思维能力和数学运算等核心素养， 必备知识 探新知 知识点1椭圆的定义 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F,F2的距离的和等于 的点的集合（或轨迹）叫作椭圆. 这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点的距离叫作椭圆的 2.椭圆定义的集合语言表示 设椭圆上任一点M到两焦点距离之和为常数2a,则，点M所满足的集合为P= 3.对椭圆定义的理解 (1)要注意椭圆定义中的限制条件：到两定点距离之和大于两定点的距离1F,F,1. (2)两种特殊情况：当2a=IF,F,I时轨迹是 ;当2a<IF,F1时 知识点2椭圆的标准方程 (1)椭圆标准方程的比较 类型 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 036 标准方程 a2+=1(a>6>0) 2x2 焦点坐标 F(-c,0),F2(c,0) a,b,c的关系 (2)由标准方程判断焦点的位置的方法 看x2,y2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上. (3)a,b,c关系的再认识 标准方程中涉及三个常数α，b,c,它们是确定椭圆特征的重要元素，不随方程形式的改变而改 变，它们之间的关系为a2=b2+c2. 关键能力、 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一求椭圆的标准方程 求椭圆标准方程 的方法 例1求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)定义法·根 (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 据椭圆定义，确定 a2,b2的值，结合焦 (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0,2)，并且椭圆经过 点位置写出椭圆的标 威3引： 准方程. (2)待定系数法： 先判断焦点位置，设出 3)经过点P行号).0,2引 标准方程形式，最后由 条件确定待定系裁即 可.即“先定位，后定 量”. 当所求椭圆的焦 点位置不能确定时， 应按焦点在x轴上和 焦点在y轴上进行分 [规律方法] 类讨论，但要注意a> b>0这一条件. 》对点训练1 (3)当已和椭圆 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 经过两点，求椭圆的 标准方程时，把椭圆 (1)两个焦点分别为(0，-2)，(0,2)，经过点(4,3√2)： 的方程设成mx2+m2 (2)经过两点2，-2)，-1， =1(m>0,n>0且m ≠n)的形式有两个优 点：①列出的方程组 中分母不含字母： ②不用讨论焦点所在 的位置，从而和简化求 解过程. ●037 题型二利用椭圆定义求标准方程 例2肉圆前t圆4内定应30).国P过B且国 规律方法： 在运用椭圆定义 [分析]利用两圆相内切的性质可得1PA1+IPB1=10,从而确定P点的轨 求其方程时，关键是 迹为椭圆。 看如何转化成椭圆的 定义以及如何去求定 值，并且无坐标系 时，要先建系，并注 意排除特殊点. [规律方法] 》对点训练2 已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点，AQ的垂直平分 线交CQ于M,求，点M的轨迹方程. [分析]利用垂直平分线的性质及椭圆的定义解题. 规律方法： 有关焦半径（连 接椭圆上一点与椭圆 焦点的线段)、焦点 弦（连接椭圆上两点 并过椭圆焦点的线 段)的问题注意应用 题型三椭圆中的焦点三角形 椭圆的定义.注意整 例3.已知人，5是椭圆高+后-1的两个焦点，P是椭圆上任一点 体思想在解决问題中 的运用. ()若∠F,PF,=霄，求△FPP,的面积； (2)求PF UPF,I的最大值， [分析](1)在△F,P℉，中利用余弦定理及椭圆的定义整体求出 IPF,IIPE,I的值，然后利用Sa,=2PF,IPE,1·sin∠FPF,即可得出结果. (2)利用均值不等式结合椭圆的定义即可求出IPF,IPF2I的最大值. ·[规律方法] 038 )对点训练3 设P是椭圆嗒+芳=1上一点，R,F是椭圆的焦点，若∠FPR,=60,求△FPR,的面积 .4y2 ●易错警示 因对椭圆的标准方程认识不清而致错 例4若方程+产。=1表示椭圆，求4的取值范同 [错解] 眼58得3<5 [辨析]错解中没有注意到椭圆方程中a>b>0这一条件，当a=b时，方程并不表示椭圆。 [正解] 课堂检测 固双基 1.已知A(-5,0),B(5,0),动点C满足1AC1+5.已知两圆C:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2 IBC1=10,则，点C的轨迹是 () +y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切， A.椭圆B.直线C.线段D.点 和圆C,相外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0)，点P(2, 0)在椭圆上，则椭圆的方程为 A+-1 B. 4+y2=1 c.+ 4+3=1 D4+=1 3.若方程x2+y2=2表示焦点在y轴上的椭圆， 那么实数k的取值范围是 () A.(0,+0) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 4.椭圆x2+y2=1的焦距为√2，则k的值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[10].1QRlm=21253-rl,1 ORI=2(2√53+r）. 例8：以台风中心为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立 a 平面直角坐标系（如图），则受台风影响的圆形区域的边界的方 依题意，有 解得 程为x2+y2=30,港口所对应的点的坐标为(0,40)，轮船的初 始位置所对应的点的坐标为(70,0)，则轮船航线所在直线1的 o. 方程为0+6=1，即4+7y-280=0,圆心0(0,0)到直线： 由a>b>0,知不合题意，故舍去 x2 4r+7y-280=0的距离d=280 =280,因为280 >30,所 ②当椭圆焦点在)轴上时，可设椭圆的标准方程为 +76丽 京+ √65 =1(a>b>0) 以直线！与圆相离.故轮船返回港口的途中不会受到台风的 影响. 二1 1 [a2 北 a 4 依题意，有 解得 港口 2 -+0=1, 轮船 a" 所以所求椭圆的标准方程为片 1 45 第二章圆锥曲线 解法二：设椭圆的方程为mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n), 9m+ 9n=1 §1椭圆 则 解得，∫m5, 1 4n=1, n=4. 1.1 椭圆及其标准方程 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,故椭圆的标准方程为 必备知识探新知 x 1 知识点11.常数（大于1F,F21)焦点焦距 4 2.{M1IMFI+IMF,I=2a(2a>IFF,I)}3.(2)线段FF 对点训练1：(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 无轨迹 知识点2(1) 所以可设它的标准方程为片+方=11a>6公0小 3=1(a>b>0)F(0,-c),E c）a2=62+c2 由椭圆的定义知2a=√(4-0)2+(32+2)2+ 关键能力攻重难 √(4-0)2+(32-2)2=12， 例1：(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以a=6. 所以设标准方程为。+是三1(0>6>0). 又c=2.所以b=√a-c=42. x2 又椭圆经过点(0,2)和(1,0). 所以精圆的标准方程为站·荒-1 +1 (2)若椭圆的焦点在x轴上 设椭圆的标准方程为号+ 9a+京=1(a>6>0). .4.2 解得04 +京=1， fa2=8, 解得 62=1. 所以所求的椭圆的标准方程子+2=1 由已知条件得 1 14 1b2=4. (2)因为椭圆的焦点在y轴上 a +46=1, 所以设标准方程为二 2-三14>b0 所以所求椅同的标准方程为号+子引 同理可得，焦点在y轴上的椭圆不存在. 由椭圆的定义知，2a=√(-+(3+2 综上，所求精圆的际准方程为后◆号1 √-+(3-2=2而 例2：如图，设圆P的半径为r, 即a=√10，又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求桶周的标准方程为6+名-山 (3)解法一：①当椭圆焦点在x轴上时 可设椭圆的标准方程为。+京=1(4>6>0) —304 又圆P过点B,.IPBI=T, 1 又·圆P与圆A内切，圆A的半径为10. =2×25× .两圆的圆心距1PA1=10-T, =255 即IPAI+IPBI=1O(大于IABI) 4 ∴.点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆。 r5-k>0, rk<5. .2a=10,2c=1AB1=6, 例4：由题意，得{k-3>0,解得{k>3, a=5,c=3..b2=a2-e2=25-9=16 (5-k≠k-3, 【k≠4. 六点P的抗凌方程为塔+后= 所以k的取值范围是(3,4)U(4,5). 课堂检测固双基 对点训练2：如图所示，M是AQ的垂直平分线与CQ的交1.C因为A(-5,0),B(5,0), 点，连接MA,则IMQI=IMAI, 所以IAC1+IBCI=10=IABI,知点C的轨迹是线段AB.故 选C. 2.Ac=1,由点P(2,0)在椭圆上，可得a=2, 六韩圆的方程为子+兮=1 3 3D~方程+6-2，吃+兰=1表示焦点在了销上的防 k .IMCI +IMAI IMCI IMQI ICQI =5,ACI =2, 圆，：2>2，故0<h<1.故选D. ·动点M的轨迹是椭圆，且其焦点为C,A, 5 易知2a=5,2c=2,a=2,c=1, 4.2或号 椭圆+y=1转换为标准形式是 =1 1 6=a02-c2=25-1=21」 4 4 当焦点在轴上时2=1-大，即2c=2√-冬=2解得 动点M的轨迹方程为25+21=1. 44 k=-2,当焦点在)轴上时e2=-1,即2c=2√公-1=反， 例3：(1)设1PF1=m,1PF21=n, 由题意知a2=100,62=64, 解得子 则c2=a2-b2=36,故a=10,c=6. 5.设动圆圆心M的坐标为(x,y),动圆M的半径为r,由题意得 根据椭圆的定义，有m+n=20, IMC,I+1MC21=(13-r）+(3+r)=16>8=1CC21, 由椭圆的定义可知，圆心M的轨迹是以C,C2为焦点的椭 在△FPE,中，由余弦定理，得m2+n2-2 ncos=144. 3 圆，2a=16,2c=8 ∴.m2+n2-mn=144. a=8,6=4b=4所求的轨迹方程为后+有=1 .∴.(m+n)2-3mn=144 400-3mn=14.m=256 1.2椭圆的简单几何性质 :必备知识探新知 3 2 知识点1。(1)x=±a,y=±b(2)①源点xy②椭 =645 圆的中心(3)①顶点②长轴和短轴长半轴长短半轴长 3 (4)②圆扁程度扁圆 (2)a=10,根据椭圆的定义，有1P℉1+1PF,=20 知识点2兰 RI除(P1-3-m 22k=1(a>b>O) -a≤x≤a,-b≤y≤b (a,0)(0,-b)(0,-a)(b,0)2a2bx轴，y轴 当且仅当1PF,1=IPE,I时“=”号成立. 原点 a .IPF,IIPF21的最大值是100. 对点训练3：由余弦定理得 关键能力攻重难 cs 60=IPF+PF1-4 例1：由已知得千+千=1(m>0), 2IPF IIPF2I =1P+1PE-25 m24m2 2IPF IIPEI 因为0<m2<4m2,所以>1 m24m2 .IPF I.IPF,I =IPF 12+IPF,12-25 =(IPF I+IPF21)2-21PF IIPFI -25 所以圆的焦点在：上并且0小 31PFI·1PF2I=(2×5)2-25=75, 所以椭圆的长轴长2a=2,短轴长2b=,焦点坐标为 IPFI·IPF2I=25, m m SA听与=之1P,IPE,1sim600 (-川 305