2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质（二）(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦椭圆的简单几何性质（二），核心内容为椭圆离心率的求法（定义法、构造齐次方程）、取值范围及实际应用。通过母题探究与一题多解，衔接椭圆基本性质与离心率综合应用，搭建从概念到解题的学习支架。 资料以“通性通法”总结为核心，结合嫦娥四号轨道等实际情境，培养学生用数学思维分析问题的推理能力，通过分层训练与变式探究，提升学生用数学语言表达现实世界的应用意识，助力学生掌握椭圆性质的解题逻辑与创新思维。

第二课时　椭圆的简单几何性质（二） 题型一　椭圆的离心率问题 角度1　定义法求离心率 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 　（变条件）〔一题多解〕若本例条件变为“已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆上有一点A满足△AOF2是等边三角形（O为坐标原点）”，则椭圆C的离心率为　　　　　. 角度2　构造齐次方程求离心率 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为直角，则该椭圆的离心率e的值为（　　） A.　　 B.　　 C.　　 D.－1 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度3　求离心率的取值范围 〔一题多解〕若椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率e的取值范围. 尝试解答 通性通法 求椭圆离心率及范围的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解； （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围. 1.〔一题多解〕（2026·广州质检）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，｜FA｜＝2｜FB｜，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 题型二　椭圆的实际应用问题 〔多选〕中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（　　） A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.＜ D.＞ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决椭圆的实际问题的基本步骤 （1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系； （2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系； （3）利用椭圆知识及其他相关知识求解. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知｜PA｜＝2｜AB｜，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（　　） A.　　　 B. C.　 　 D. 1.椭圆＋＝1的离心率是（　　） A.　　 B. C.　　 　 D. 2.已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点坐标是（2，0），过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的离心率为（　　） A.　　　 B. C.　　　 D. 3.（2026·徐州月考）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 4.〔一题多解〕如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为　　　　. 5.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　　m. 完成课后作业　第二章　§1　1.2　第二课时 答案 第二课时　椭圆的简单几何性质（二） 【典例研析】 【例1】　　解析：因为｜BF1｜＝｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，由题意知a＝2c，所以e＝＝. 母题探究 －1　解析：法一　由题意知F2（c，0），又△AOF2是等边三角形，所以A（，c），代入椭圆方程得＋＝1　①，又a2＝b2＋c2　②，联立①②得c2＝（4－2）a2，即c＝（－1）a，则椭圆C的离心率e＝＝－1. 法二　连接AF1，则∠AF1O＝∠OAF1＝，所以∠F1AF2＝，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＝c，又｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1. 【例2】　C　设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），F2（c，0）.由题意，得A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b），则＝（a，－b），＝（－c，－b）.因为∠B1PA2为直角，所以·＝0，所以b2－ac＝0.又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＝0，化简得1－e－e2＝0，解得e＝或e＝.又e∈（0，1），所以e＝，所以该椭圆的离心率e的值为. 【例3】　解：法一　设M（x0，y0），则｜x0｜＜a.∵F1（－c，0），F2（c，0）， ∴＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0）. ∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴＋＝c2. 又∵点M（x0，y0）在椭圆上，∴＝b2－， ∴＋＝b2＋∈[b2，a2），即c2∈[b2，a2），∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥. 又0＜e＜1，故椭圆的离心率e的取值范围是. 法二　设点M的坐标是（x0，y0），则｜x0｜＜a，由题意得消去y0，得＝. ∵0≤＜a2，∴ 由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2＝≥. 又0＜e＜1，∴e∈， 由②得c2－b2＜c2，此式恒成立. 综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是. 跟踪训练 1.B　法一　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以｜PF2｜＝.又由∠PF1F2＝30°，可得｜F1F2｜＝｜PF2｜，故2c＝，变形可得（a2－c2）＝2ac，等式两边同除以a2，得（1－e2）＝2e，解得e＝或e＝－（舍去）. 法二　由题意可设｜PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 2.B　如图所示，设椭圆的左焦点为E，连接AE，BE，因为点A，B关于原点对称，所以四边形EBFA为平行四边形，又｜BE｜＋｜BF｜＝2a，｜BE｜＝｜AF｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝a，｜BE｜＝a.在△EBF中，由余弦定理得cos∠EBF＝＝＝－e2，所以cos∠BFA＝－cos∠EBF＝e2－.由·≤a2，得｜｜｜｜·cos∠BFA＝a×a≤a2，整理得e2≤，又0＜e＜1，所以e∈. 【例4】　BD　由题图可知，a1＞a2，c1＞c2所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道Ⅱ中可得，｜PF｜＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1，所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，＞，所以2a1c2＜2a2c1，＜，所以C错误，D正确. 跟踪训练 D　由题意知PA与PB的长度不变，已知｜PA｜＝2｜AB｜，设｜AB｜＝x，则｜PA｜＝2x，当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b＝2x，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a＝3x，故离心率为＝＝.故选D. 随堂检测 1.C　由椭圆＋＝1可得a＝4，b＝，∴c＝＝3，∴椭圆的离心率e＝＝.故选C. 2.D　由题意知，a＝2，过焦点且垂直于长轴的弦长为＝1，则2b2＝a＝2，∴b2＝1，∴c＝＝＝，∴e＝＝.故选D. 3.［，1）　解析：依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是［，1）. 4.　解析：法一　设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则kAB＝－.∵OP∥AB，∴直线OP的方程为y＝－x.又PF⊥x轴，∴点P的坐标为（－c，）.而点P也在椭圆上，∴＋＝1，即2e2＝1，∴e＝. 法二　设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），点F（－c，0）.∵P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，∴易得点P的坐标为（－c，）.又OP∥AB，∴Rt△OPF∽Rt△ABO，∴＝，即＝，则＝，∴b＝c，∴a＝c，∴e＝＝. 5.32　解析：设椭圆方程为＋＝1，当点（4，4.5）在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32 m. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $