1.2.4 圆与圆的位置关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

可知kB≤m≤kAc.B点坐标为(5,0)， -1或k=-7.因此过点P(4,-4)且被圆C截得的弦长为2 所以6=0--》=3-E,由图1可知，4C斜率存在， 的直线l的方程为y+4=-(x-4)或y+4=-7(x-4).即x 3-(-3)6 +y=0或7x+y-24=0. 设直线AC的方程为y+1=kc(x+3),即kACx-y+3kAc-1=0, 2.4圆与圆的位置关系 因为AC与半圆x2+y2=3(y≥0)相切 所以3kc-1 必备知识探新知 √1+c =5,所以kc=3+四 6 知识点11.外离外切相交内切内含2.(1)d> 1+2d=1+211+2d=1n1-r2(2)相交外切或内 所以m的取值范围是3-E,3+2 166 :切外离或内含 由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截距， 关键能力攻重难 如图2所示. 例1：(1)B两圆的标准方程为(x-1)2+y2=1和x+ 可知直线6=2x+y一定位于两直线(，与2之间.由直线人-1)°=1，对应圆心坐标为0(1,0)，半径为1，和圆心坐标 与半圆相切，得b=√15，由直线l1过D(-3,0),得b=-2√3. 02(0,1),半径为1，则圆心距离101021=2，则0<101,02I<2, 即两圆相交，故选B. 故b的取值范围是[-2√3，√15]. (2)外切两圆的圆心分别为01(-2,2)，02(2,5)，半径 对点训练3：C圆2+y2+4x-2y+4=0的圆心为(-2,1)， 半径为1，圆心到直线y=x-1的距离为d=1-2-1-山 分别为1=1,2=4，所以10,0,1=-2-2)2+(2-5)=5 2 =11+2,所以两圆相外切. 22,所以直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的 对点训练1：B圆x2+y2-2x=0的圆心为C1(1,0),半径 点的距离的最小值为22-1. r1=1,圆x2+y2+4y=0的圆心为C2(0,-2),半径r2=2,则两 例4：x=-4或4x+3y+25=0圆心坐标为(-1，-2)，半圆的圆心距d=1C,C21=√(1-0)2+(0+2)=5， 径为5，弦长为8. .2-11<1CC21<2+m, 设弦心距为d,解得d=3. .两圆相交 当直线斜率不存在时，直线！的方程为x=-4,圆心到直线 例2：设两圆交点为A(x1,y),B(,2),则A、B两点坐标 的距离是3，满足题意 是方程组 当直线斜率存在时，设直线l的方程为y+3=k(x+4),即 「x2+y2+2x-6y+1=0, ① kx-y+4k-3=0, x2+y2-4x+2y-11=0 ② 则d=-6+2+4-3=3,解得k=-4 的解，①-②得3x-4y+6=0. /k2+1 3 ,A,B两点坐标都满足此方程 即l的方程为4x+3y+25=0. .3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程 直线l的方程为x=-4或4x+3y+25=0. 易知圆C的圆心(-1,3)，半径r=3. 课堂检测固双基 又G到直线4B的距离为d=-1x3-4×3+61= 1.C √3+4 5 2.C直线y=kx+1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2+y =2内，知直线y=x+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线 -2P--2√2-()- y=kx+1不过圆心(0,0)，则位置关系是相交但直线不过圆 心，故选C 即两圆的公共弦长为学 3.D由题得圆(x-1)2+(y-b)2=2的圆心坐标为(1，b),半 对点训练2：B由两圆方程x2+y2+2x+8y-8=0和x2+ 径为2根据题意，得1+1=厄，即1+61=2，解得6=1-4k-4,-2-0相减得+20 2+1F 例3：圆0的圆心为O(0,0),半径1=6，圆M的圆心为M(0, 或b=-3.故选D. 5),半径r,=3,两圆心的距离IOM1=5,由Ir1-r,I<5<r+r,知两 442圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)，半径r=2, 圆相交，.存在两条公切线。 1AB1=4,.直线1：mx+y-3=0过圆心(1,2)， 解法一：由题意可知公切线的斜率存在，设其方程为y=kx .m+2-3=0,.m=1, +b. .直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°， 则由圆心到切线的距离等于相应圆的半径得 :过A,B分别作I的垂线与x轴交于C,D两点， 161 =6 4 六1CD1=4B=4=4V万 /2+1 4 k= sin45°2 解得 k=-3' 3'或 1-5+b1 =3 Lb=101b=10. /k2+1 5.当直线1的斜率不存在时，直线方程为x=4,直线1与圆相离， 不合题意.当直线斜率存在时，设直线方程为y+4=k(x- 故两圆的公切线方程为y=号：+10或y=-号x+10,即 4),即kx-y-4k-4=0.圆心C(1,2)到直线的距离d= 4x-3y+30=0或4x+3y-30=0. : 解法二：设两圆的公切线切圆O于点B(x。,y),则公切线 「-2-4h-46+125-=万，解得k方程为+y=36 √2+1√限+1 k2+1 —301 由点M到公切线的距离等于3，得 √(7-3)2+[1-（-2)]=5=6-1=r1-12,所以两圆内切. 1x0·0+5·y0-361 =3 2.CAB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，-3)代入，即 √后+后 1 可排除A,B,D. 又x+y=36①，代人上式得15y。-361=18②， 3.2或-5两圆的圆心坐标分别为(-2，m),(m,-1), 24 24 两圆的半径分别为3,2 5 联立①②解得 或 由题意得√(m+2)2+(-1-m)2=-3+2, 8 8 yo=5 y%=5 解得m=2或-5. 所以公切线方程为学+号-36=0或-告+-36= 4.2万由圆C,与圆C2的公共弦所在的直线1的方程为x-y+1 =0,得点C,（1,0)到直线1的距离为d=1-0+=万，圆 0,即4x+3y-30=0或4x-3y+30=0. √2+(-1)月 解法三：两圆的连心线方程为x C的半径为m1=3,所以圆C与圆C2的公共弦长为2√-= =0(即y轴)，设两圆的连心线与其 Q 2√32-(2)2=27. 公切线交于点N,如图所示. 5.把圆M的方程化为标准方程为x2+(y-a)2=a2, 其中一条公切线与两圆相切于 所以圆心M(0,a),圆M的半径r1=a. 点P,Q,连接OP,MQ,则OP⊥PN MQ LPN..由△PNO∽△QNM得 所以点M到直线x+y=0的距离d=a INOI =是=分，即M为0的中点，所以 由题意可得（合） +(2)2=a2,所以a=2,所以M(0,2),51=2. 点N的坐标为(0,10).于是两圆的公 又圆心N(1,1),圆N的半径2=1， 切线即为过点V的圆O的两条切线，易知切线斜率存在，设切 所以1MW1=2,所以Ir1-2I<1MWI<r1+r2,即两圆相交 线斜率为k,则切线方程为y=x+10,即-y+10=0.由圆心 1 章末知识梳理 0到切线的距离等于圆0的半径1得10=6，解得k= /k2+1 要点专项突破 1-1 ±号放两条公切线方程为y=±学+10，即4红+3y-30=0或 例1：(1)由斜率公式，得ks=1-（-=0, 4x-3y+30=0. =5=5,c=2品-号 5+1-1-5 2-1 对点训练3：D将点到直线 的距离问题转化为圆的切线问 .tan0°=0， R=2 题.若点A(0,1)到某一直线的距 ∴.AB的倾斜角为0°； B(4,5) 离为1，则该直线可以看作以点A 因为tanm60°=5，所以BC的倾斜角为60°； 为圆心，1为半径的圆的切线，同 因为tan30°= 理，若点B(4,5)到某一直线的距 号，所以AC的倾斜角为30° 离为2，则该直线可以看作以点B (2)如图所示，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，在直 为圆心，2为半径的圆的切线，故符合条件的直线即为两圆的公切 线CD由CA逆时针转到CB过程中，直线CD与边AB恒有交 线由A(0,1)和B(4,5)可得1AB1=V√42+(5-1)2=4√2，且4√2 点，即D在△ABC的边AB上，此时k由k增大到kB,所以k的 >1+2,所以两圆外离，而外离两圆的公切线有4条，即符合条取值范图为[ 件的直线1有4条，如图所示. 例4：圆C的圆心C,(0,0),半径11=2，圆C2的圆心 G(2,-受）半径 假设存在实数a,使得两圆相外切，则GC,1=1+r2, D -1012 2+(-=2+， 4+2 4++21al, 4 例2：解法一：由直线1与直线了=号+号垂直，可设直线 .lal=0,∴.a=0. 3 方程为y=-4x+6,则直线1在x轴√轴上的截距分别为0= 风9-号0a0,放不布在实数a使得C+奶业 4与圆C2:x2+y2-4x+ay+4=0相外切. 课堂检测固双基 又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24， 1.B圆x2+y2-14x-2y+14=0变形为(x-7)2+(y-1)2=36, 所以S=号1l1=24, 圆心坐标为(7,1)，半径为1=6，圆(x-3)2+(y+2)2=1的圆心 坐标为(3，-2)，半径为？=1，所以圆心距d= 即时号61=24，=36，解得6-6或6=-6 —302028 课堂检测 固双基 1.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y 系为 2)2=4交于A,B两点，过A,B分别作1的垂线 A.相切 B.相交 与x轴交于C,D两点，若1AB1=4,则1CDI C.相离 D.相离或相切 2.对任意的实数k,直线y=x+1与圆x2+y2=5.已知圆C:x2+y2-2x-4y=0,若过点P(4, 2的位置关系一定是 -4)的直线1被圆C截得的弦长为√2，求直线 A.相离 1的方程. B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 3.已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2 相切，则b= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8 A.-3 B.1 c D.-3或1 2.4 圆与圆的位置关系 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与1.优先用几何法判断圆与圆的位置关系，精简 几何判断方法. 运算 2.能够利用上述方法判断两圆的位置关系. 2.注意圆与圆相切的两种情况，必要时分类讨论 3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法3.提高直观想象、逻辑推理（如判断圆与圆的位置 和它的优越性 关系等)，以及数学运算等核心素养。 必备知识 探新知 知识点1圆与圆的位置关系及判定 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为1,2，两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法 如下： 位置关系 图示 d与r,r2的关系 外离 62® 外切 628 相交 In-r2l <d< ●029 内切 内含 d<In-r2l (2)代数法 已知两圆C1:x2+y2+Dx+E1y+F1=0(D+E-4F1>0),C2:x2+y2+Dx+E2y+F2=0(D +E-4F2>0),将方程联立 x2+y+D1x+Ey+F,=0, x2+y2+Dx+E2y+F2=0, 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程， 则①判别式A>0时，C,与C2 ②判别式△=0时，C,与C2 ③判别式4<0时，C,与C2 知识点2圆与圆的公共弦 1.圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦 2.公共弦方程 将两个相交圆的方程相减，即得两圆的公共弦所在直线的方程.即由x2+y2+D,x+Ey+F,- (x2+y2+Dx+E2y+F2)=0得公共弦所在直线方程为D,x+Ey+F1-(Dx+E2y+F2)=0.简记 为“两圆相减公共弦” 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长， (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，在圆的半径、半弦、弦心距构成的直角三角形中，根据 勾股定理求出半弦长，进而求出弦长， 知识点3两圆的公切线 1.两圆的位置关系与公切线条数的关系 同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线.当两圆的位置关系不同时，公切线的条数也不 同.具体情况如下表： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 切线图示 c Cc. 切线条数 4 3 2 1 0 2.两圆的公切线方程的确定 (1)当公切线的斜率存在时，可设公切线的方程为y=x+b,由公切线的意义（两圆公共的切 线)可知，两圆心到直线y=x+b的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于k和b的方程组，解这 个方程组得到k,b的值，即可写出公切线的方程. (2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程. 030 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一圆与圆的位置关系的判断 几何法和代裁 例1.)圆0，：+-2x=0与圆0：+y2-2=0的位置关系是 法，但一般情况下用 几何法，即用两圆半 ( 径和圆心距之间的关 A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 系来刻画，此种方法 (2)圆01：(x+2)2+(y-2)2=1与圆02：(x-2)2+(y-5)2=16的位 形象直观，关键是明 置关系为 确圆心和半径，再套 ●[规律方法] 用圆与圆位置关系的 关系式进行求解或 》对点训练1 判断. 圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是 ( 规律方法： A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 1.相交两圆连心 题型二相交两圆的公共弦问题 线垂直平分公共弦： 例2，已知圆G:x++2x-6y+T三0，圆C:x+y-4x+2y-1=0求 2.相切两圆连心 两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。 线经过切点： [分析]因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x项、 3.当相交两圆方 y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程利用勾股定理可求出两圆公共弦长 程二次项系裁相同 时，两圆方程相咸得 到一次方程为公共弦 所在直线方程 规律方法： 求两圆公切线方 程的一般方法 首先应判断两圆 的位置关系，从而确 定公切线的条裁，以 防止漏解 方法一：待定系 >[规律方法] 数法，即设出公切线 的方程，利用圆心到 )对点训练2 公切线的距离等于相 已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交， 应圆的半径构建变量 则两圆的公共弦所在直线的方程为 的方程组求解 A.x+2y+1=0 B.x+2y-1=0 方法二：求出两 C.x-2y+1=0 D.x-2y-1=0 圆的连心线与公切线 题型三两圆的公切线问题 交点的坐标，将问题 例分实入调方礼的陕雀的 化归为过点的圆的切 线问题. 注意：无论使用 取值；解法二：将求公切线的方程问题转化为求过定点的圆的切线问题 何种方法，都要关注 公切线的斜率不存在 的情况，以免造成 漏解 ·[规律方法] 031 )对点训练3 平面直角坐标系中，点A(0,1)和点B(4,5)到直线1的距离分别为1和2，则符合条件的直线1 的条数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 ●易错警示 忽略方程表示圆的条件致误 例4.是五任在实数0.使得圈C:+y=4与圆C:+2-4+a旷+4=0相外切，若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由， [错解】圆G的圆心C,(0.0),辛径=2，圆C的圆心c2,-》,半径= 假设存在实数a,使得两圆相外切，则IC,C2=r1+r2, 2+--2+4+ 4 4+21al, ∴.|al=0,∴a=0. 故存在a=0使得圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-4x+ay+4=0相外切. [辨标】错解中忽略了圆G,表示圆的条件，即半径%=分>0，a≠0， [正解] 课堂检测 固双基 1.圆(x-3)2+(y+2)2=1与圆x2+y2-14x-5.已知圆M:x2+y2-2y=0(a>0)截直线x+y 2y+14=0的位置关系是 =0所得线段的长度是2√2，判断圆M与圆 A.外切 B.内切 N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系 C.相交 D.外离 2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交 于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是 ( A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 3.若圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2 +(y+1)2=4外切，则m的值为 4.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y+2x 夯基提能作业 -4y-4=0的公共弦长为 请同学们认真完成练案[9]