1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

016 课堂检测 固双基 1.若直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0垂4.过点(-1，-3)且与直线2x+y-1=0平行的 直，那么实数a等 直线方程为 A.-3 B.-6 c.-2 5.a为何值时，直线ax+(1-a)y+3=0与 (a-1)x+(2a+3)y-2=0相交？平行？ 2.直线1：x-y+1=0关于y轴对称的直线方程 为 A.x+y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0 D.x-y-1=0 3.直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点 坐标是 A.(2,0) B.(2,1) 夯基提能作业 C.(0,2) D.(1,2) 请同学们认真完成练案[4] 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.两，点间的距离公式与点到直线的距离公式是解析几何 1.掌握平面上两点间的距离公式 中的两个基本公式，学习中不仅要能熟练地运用各公 2.掌握点到直线的距离公式 式求距离，同时还要把握公式的推证过程， 3.会求两条平行直线间的距离 2.学会用化归的思想方法分析问题，如将点到直线的距 4.会运用坐标法证明简单的平面几何 离转化为两点间的距离，将两条平行直线间的距离转 问题 化为点到直线的距离等. 必备知识探新知 知识点1两点间的距离公式 1.平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式|AB1= 2.两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0,0)与任一点A(x,y)的距离10A1= (2)当AB∥x轴(y1=y2)时，IAB|= (3)当AB∥y轴(x1=x2)时，AB1= 知识点2点到直线的距离公式 1.平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的 所得 的长度 2.点P(xo,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= (其中A,B不全为0) 知识点3两条平行直线间的距离公式 1.概念：夹在两条平行直线间的 的长度就是两条平行直线间的距离， 2.求法：两条平行直线间的距离转化为 到 的距离 3.公式：两条平行直线14：++G,=0与，：+B+C,=0之间的距离d=1C-C(其中 √A+B A,B不全为0，且C1≠C2). 017 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一两点间的距离公式 1.利用两点间距 离公式1ABI= 例1.已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),d} ,试判断△ABC √(x2-x)+(2-y)月 的形状 时，此公式与两点的先 [分析]先计算出三边的长，再判断三角形的形状. 后顺序无关，也就是说 公式也可写成IAB|= √(x1-)2+-2). 2.此题也可利用 直线AC、直线BC的 斜率的乘积为-1，得 两直线垂直，进而得 出△ABC是直角三 角形 规律方法： 1.求点到直线的 ·[规律方法] 距离，首先要把直线方 对点训练1 程化成一般式方程，然 两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则IAB1的值 后再套用点到直线的距 为 离公式 2.当点与直线有 题型二点到直线的距离公式 例2求点P(3,-2)到下列直线的距离： 特殊位置关系时，也 可以用公式求解，但 (1)3x-4y-1=0;(2)y=6;(3)y轴. 是这样会把问题变复 [分析]本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线 杂了，要注意数形 的距离公式即可. 结合 3.几种特殊情况 的点到直线的距离： (1)点P(x,y) 到直线x=a的距离d= x0-u; (2)点P(xo,yo) 到直线y=b的距离 d=lyo-b1. ●[规律方法] 018 〉对点训练2 (1)求点P(-1,2)到直线2x+y-5=0的距离； (2)点A(a,6)到直线3x-4y=2距离等于4，求a的值； (3)求过点1(-1,2)且与原点面离等于子的直线方程 规律方法： 1.求两平行直线 间距离的两种思路： (1)转化为求其 题型三两条平行线间的距离 中一条直线上任意一 点到另一条直线的 例 .求两平行线l1:3x+4y=10和l2:3x+4y=15的距离. 距离。 分析]由题目可获取以下主要信息： (2)利用两条平 ①直线1，与12的方程已知； 行直线间距离公式 ②L1与l2平行 IC:-C21 解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式 d= √+B 或利用原点到两平行线距离的差，从而求解 2.当两直线都与 x轴（或y轴)垂直 时，可利用数形结合 来解决 (1)两直线都与x 轴垂直时，1：x=x1, >[规律方法] l2:x=X2, 则d=lx2-x1; 》对点训练3 直线2x+3y+1=0与4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（ (2)两直线都与y 轴垂直时，1：y=y, A.4 B.23 l2:y=y2, 13 c.53 D.70 则d=ly2-y. 规律方法： 26 20 利用对称化为两 题型四距离公式的综合应用 与距离 点之间的距离 例4在直线13-1=0上求一点P,使得点P到A(4,1)和B(0,4)的 有关的 利用所求式子的 距离之差最大 最值问 几何意义转化为 题的常 点到直线的距离 用方法 利用距离公式转 化为一无二次正 最的最值问题. ·[规律方法] ●019 )对点训练4 (1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O为原点，求当1OPI最小时，P点的坐标； (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程 ●易错警示 因对斜率的情况考虑不全面而致错 例 .求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线1的方程. 错解]设所求直线方程为y-5=k(x+3), 整理，得x-y+3k+5=0. 所以厚点到该直线的距离d=3k+5=3. √R+1 所以15k+8=0.所以k=-8 15 故直线1的方程为-骨-y+3×-8)+5=0, 即8x+15y-51=0. [辨析]本题出错的根本原因在于思维不严密，求直线的方程时直接设为点斜式，没有考虑斜 率不存在的情况 [正解] 课堂检测 固双基 1.已知4(-1.0.B5,6),c3,4).则g的直为 之间的距离为 5.如图，已知△ABC的三顶点A(-3,1),B(3, ( -3),C(1,7). A号 B片 (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积. C.3 D.2 2.点(1，-1)到直线y=1的距离是 A.√2 B号 C.3 D.2 3.已知直线(：x+y+1=0,☑2：x+y-1=0,则 与2之间的距离为 () A.1 B.2 C.3 D.2 夯基提能作业 4.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+ 请同学们认真完成练案[5] 2m=0互相平行，则m的值为 ,它们这表明直线1和2没有公共点，故4∥2 : 对点训练4：A过点A(-2,5)和B(1,-4)的直线方程为 1.6平面直角坐标系中的距离公式 3x+y+1=0, 必备知识探新知 故它与x轴的交点的坐标为(-号，0 知识点11.√(x2-x1)2+(y2-y)22.(1)√+y2 x=2a±3 (2)1x2-x11(3)y2-yI 例5：-2,2）由5x2a+1得 7 知识点21.垂线垂线段2.IAo+B。+C 12x+3y=a, a-2 VA2+B ly= 7 知识点31.公垂线段2.点直线 2a+3>0, 3 关键能力攻重难 7 由 得 a>-2' 例1：lAB1=√1-(-1)]+0=2 <0, la<2. -<a2.ae(号2 c=√3-+(9-o=1, 对点训练5：C由题可知k≠-1， ac=分-(-+(9-o=a 联立化红。解得-的： .·1AC12+1BCI2=1ABI2. lx+y-3=0, 1+k .△ABC为直角三角形 ·两直线的交点坐标为3+5,36- 1+k’1+k 对点训练1：号 直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),由 :两直线的交点在第一象限， !直线(2a-1)x+5ay-1=0可得a(2x+5y）-(x+1)=0, 将0 解得>9 令2x+5y=0, rx=-1, 解得{ 2 3k-5 lx+1=0, 1y=5 1+>0 放(-1，号】 又直线1的倾斜角为0，则an0> 30∈(30°，90). 例6：当a=-4时，l1:4x-3y+3=0与12：4x+2=0不平 所以181=√0+12+(-2-号)-号 行，.a≠-4 例2：(1)由点到直线的距离公式可得 4%专g4d4a-12=0 d=13×3-4×(-2)-Ⅱ_1 √32+(-4)2 5 .a=2或a=-6. (2)由直线y=6与x轴平行，得 当a=-6时，41：-6x+3y-3=0,即2x-y+1=0,l2:4x d=16-(-2)1=8. 2y+2=0,即2x-y+1=0,此时l1与l2重合，.a≠-6. 或将y=6变形为0·x+y-6=0, 当a=2时，12x+3y-3=0,l2:4x+6y+2=0,即2x+3y+ 1=0,.11∥2 d=10×3+-2）-61=8 02+1 综上可知，a=2. (3)d=131=3. 课堂检测固双基 对点训练2：(1)由点到直线距离公式d=5. 1.D由题意得3a-2=0a=3 2 (2)由点到直线的距离公式3a-4×6-2=4, 2.A直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为-x-y+1 32+42 =0,即x+y-1=0. a=2或9 3.C解方程组：+2y-4=0,得=0， 12x-y+2=0w1y=2, (3)设所求直线：y-2=k(x+1),原点O(0,0)到此直线 即直线+2-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是(0，距离为得.可求得k=-1或-7。 2).故选C. 4.2x+y+5=0设所求直线方程为2x+y+m=0,又：直线过 .所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0. 例3：解法一：若在直线（上任取一点 y 点(-1，-3)， .-2-3+m=0,.m=5, A(2,1),则点A到直线2的距离，即是所求 故所求直线方程为2x+y+5=0. 的平行线间的距离.如图①所示， 5.因为A1B2-AB,=a(2a+3)-(a-1)(1-a)=3a2+a+1= 六d=13×2+4×1-151=1 3o+名+吕0所以两直线对任意aeR包相交不可能 32+4 解法二：设原点到直线4，、2的距离分 平行. 别为1OF1、IOE1, -297 所以156+8=0所以长=-音 故所求直线方程为y-5=一号(x+3), 即8x+15y-51=0. 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-3也满足题意。 (2 故满足题意的直线l的方程为8.x+15y-51=0或x=-3. 则由图②可知，1OE1-1OF1即为所求 ! ÷10E1-10F1=-15L-1-10L 课堂检测固双基 /32+4F√32+4 =1,即两平行线间1.D1AC1=3-(-1)]+(4-0)7=42, 的距离为1. 1CB1=/(5-3)2+(6-4)2=22, 解法三：直线1、42的方程可化为 4C-42-2 3x+4y-10=0,3x+4y-15=0. ·1CB122 则两平行线间的距离为 2.Dd=I-1-1u =2,故选D. 4-0-号-1 √1+0 32+4 3.Bd=1--1=2 对点训练3：C由题意得m=6,.∴.直线4x+y+7=0化为 2+12 7 4.-1 82 由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1. 2x+3y+2=0,故两平行直线之间的距离 1-25E 3 22+3 26 经过验证，m=3时两条直线重合，舍去..m=-1. 例4：如图所示，点A,B在直线1两侧： 直线(1：x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0,分别化为 设点B关于直线I的对称点B的坐 2 标为(a,b),则ks·k1=-1,即3.6-4 x-y+6=0,x-y+=0 B =-1. .它们之间的距离为 6- 所以a+3b-12=0. ① 2 3 又由于线段BB'的中点坐标为234x5.(1)解法一：：1AB1=√(3+3)+(-3-1)了=2 (受，生)且在直线1上，所以3×受 =213, b+4-1=0,即3a-b-6=0, 1AC1=√(1+3)2+(7-1)2=√52=213， ② 2 又IBC1=√(1-3)2+(7+3)=√104=2√26 解①②得a=3,b=3,所以B'(3,3), .IABI2+IACI2=IBCI2,ABI IACI, 于是B所在直线的方程为二引专即2x+y-9=0 ·.△ABC是等腰直角三角形. 解法=c7名63=子 7-1 -3-1 由8x-y-=0解得=2， 2x+y-9=0, Ly=5, kc·kB=-1,AC⊥AB. 即直线l与直线AB'的交点坐标为(2,5) 又4C1=√(1+3)2+(7-1)7=52=23， 该交点即为点P,此时PAI与IPB1差值最大，所以点P(2, 1AB1=√(3+3)2+(-3-1)7=√52=2/3， 5)为所求. .IAC1=IAB1,△ABC是等腰直角三角形. 对点训练4：(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点 到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kop=1, (2)S%w=214C·MB1=x(V5@2-26, ∴.OP所在直线方程为y=x. .△ABC的面积为26 由0解得= 1x+y-4=0, ly=2. §2圆与圆的方程 P点坐标为(2,2) 2.1圆的标准方程 (2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离 最大， 必备知识探新知 :6=2所求直线方程为y-2=(x-10,即x+2 知识点1定长圆心半径圆心半径(x-a)2+ (y-b)2=2(r>0) -5=0. 知识点31.Ix1≤r2.x轴y轴原点 例5：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y-5=(x+关键能力攻重难 3),整理，得kx-y+3h+5=0. 例1：(1)(x-2)2+(y-1)2=3(2)(x-8)2+(y+3) 所以原点到该直线的距离d=13+5=3, =25 k2+1 (3)(x-1)2+(y+2)2=5A(-1,-3),B(3,a),则以 -298