1.2.4 圆与圆的位置关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 圆与圆的方程 1 2.4 圆与圆的位置关系 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 两圆位置关系的判断 探究点二 已知位置关系求圆的方程 探究点三 已知两圆位置关系求参数或最值 探究点四 两圆公共弦问题 3 【学习目标】 1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系. 2.能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 4 知识点 圆与圆的位置关系 1.两圆的位置关系包括:外离、______、______、______和内含. 外切 相交 内切 课 前 预 习 5 2.两圆的位置关系的判断: （1）代数法:已知圆 ,圆 ,由 消元后得到一元二次方程（若得到的是一元一次 方程,则求出方程组的解进行判断）,计算判别式 的值,进而进行判断. （2）几何法:已知两圆的半径分别为,,计算两圆心连线的长 ,进而进行判断. 课 前 预 习 6 （3）判断标准: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 ______________________________ ______________________________ ______________________________ ____________________ _____________________ 公共点个数 0 1 2 1 0 的值 ______ ______ 与, 的 关系 ___________ __________ __________ ___________ _ 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交.( ) √ （2）若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.( ) × （3）若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点，反之也成立.( ) × （4）当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定内含.( ) × 课 前 预 习 8 探究点一 两圆位置关系的判断 例1（1） [2024·江苏淮安高二期中]已知圆 与圆 ，则两圆的位置关系为( ) D A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 [解析] 由圆，可得圆心的坐标为，半径 . 由圆，可得圆心的坐标为，半径 ， 则两圆心的距离， 又，所以 ，故两圆外离.故选D. 课 中 探 究 9 （2）若圆与圆 相切，则实数 的值为___________. 或 [解析] 圆的标准方程为，则圆的圆心为 ， 半径. 圆的标准方程为，则圆 的圆心为， 半径. 当圆与圆外切时， ， 即，解得； 当圆与圆 内切时，， 即 ，解得. 所以当圆与圆相切时，或 . 课 中 探 究 10 变式（1） （多选题） 已知，圆 ， ，则( ) ABC A.两圆可能外离 B.两圆可能外切 C.两圆可能相交 D.两圆可能内含 [解析] 圆的圆心为，半径 ， 圆的圆心为，半径，则 ， ,. 当时，，两圆外离； 当 时，，两圆相交； 当时， ，两圆内切； 当时， ，两圆外切. 综上所述，两圆可能外离，可能外切，可能相交，不能内含.故选 . 课 中 探 究 11 （2）已知圆 和圆 ，则这两个圆的公切线的条数为( ) B A.1或3 B.4 C.0 D.2 [解析] 因为圆，圆 ， 所以圆心距 ， 因为两圆半径之和为 ，所以两个圆外离， 则这两个圆的公切线有4条.故选B. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 判断两圆的位置关系的两种方法 （1）几何法：将两圆的圆心距 与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比 较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法. （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置 关系. 课 中 探 究 13 探究点二 已知位置关系求圆的方程 例2（1） 求与两坐标轴及圆 都相切且圆心在第 一象限的圆的标准方程； 课 中 探 究 14 解：设所求圆的圆心坐标为，半径为 ， 因为所求圆与两坐标轴相切，且圆心在第一象限，所以 ， 则所求圆的标准方程为. 圆的标准方程为 ，则圆的圆心坐标为，半径为1. 当所求圆与圆 外切时，可得，解得或 ， 此时所求圆的标准方程为或； 当所求圆与圆 内切时，可得，解得 ， 此时所求圆的标准方程为 . 综上可知，所求圆的标准方程为或 或 . 课 中 探 究 15 （2）求过圆和圆 的交点，且 圆心在直线 上的圆的方程. 解： 设所求圆的方程为 ， 则 ， 即， 所以所求圆的圆心坐标为, ，把,代入方程中， 得，解得 ， 所以所求圆的方程为 . 课 中 探 究 16 变式（1） [2024·江西九江高二期末] 经过点 ，且与圆 相切于原点的圆的方程为______________________. [解析] 由题意知，圆的标准方程为 ， 圆心为，半径. 因为所求圆与圆 相切于原点，所以两圆的圆心均在直线上， 设所求圆的圆心坐标为， 因为该圆过点 及原点，所以圆心在直线上，即， 可得所求圆的半径 ，所以所求圆的方程为 . 课 中 探 究 17 （2）[2024·江苏连云港高二期中] 圆心在直线上，且与直线 及圆 都相切的一个圆的方程为__________________________ _________________________________________. 或（写出其中一个即可） [解析] 设圆心坐标为，则所求圆的半径为 因为圆上的点都在第一象限，且所求圆与圆 相切， 所以. 若所求圆与圆外切，则 ，可得， 则所求圆的圆心为，半径为，方程为 . 若所求圆与圆内切，则，可得 ， 则所求圆的圆心为，半径为，方程为 . 综上，所求圆的方程为或 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 已知位置关系求圆的方程，先利用已知条件设出圆的标准方程或一般方程，再 根据直线与圆或者圆与圆的位置关系建立适当的方程，求出圆的方程中的参数， 进而写出圆的方程. 课 中 探 究 19 探究点三 已知两圆位置关系求参数或最值 例3（1） 已知圆 与圆 ，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数 等于 ( ) C A.7 B.3 C.3或7 D.5 [解析] 圆的圆心为，半径为 ， 圆的圆心为 ，半径为2， 所以. 因为圆与圆 有且仅有一个公共点，所以圆与圆内切或外切， 所以或，解得或 或 （舍）.故选C. 课 中 探 究 20 （2）已知是圆上一点，是圆 上一点， 则 的最小值为( ) B A.1 B. C.2 D. [解析] 由题意知，，，且圆C，圆D的半径分别为, , 所以，可得，所以两圆外离， 所以 的最小值为 .故选B. 课 中 探 究 21 变式 已知两圆，内切，且，的半径是方程 的两根， 两圆的圆心距为1，圆的半径为3，则 ( ) C A.2或4 B.4 C.1或5 D.5 [解析] 设圆的半径为，由题知因为两圆内切，所以 ， 所以或. 当时，,,满足，此时 ； 当时，,,满足，此时 . 故选C. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 利用两圆的位置关系求参数的值或范围问题有以下几个步骤： （1）化成圆的标准方程，写出圆心和半径； （2）计算两圆圆心之间的距离 ； （3）通过两圆的位置关系列出关于，， 的关系式，从而求得参 数的值或范围. 课 中 探 究 23 拓展 [2024·广东深圳高二期中] 月球背面指月球永远背对地球的那一面，从 地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点 射出的两条光线与圆分别相切于点， ，称两射线 的切点上方部分与优弧上方所夹的平面区域（含边界）为圆 的 “背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于圆的“背面”，则当 取 得最大值时， 的值为___________. 课 中 探 究 24 [解析] 易知切线斜率存在，设切线的方程为，即 ， 则圆心到切线的距离，解得. 不妨设切线 的方程为，令，得； 则切线的方程为 ，令，得. 因为圆处于圆的“背面”，所以 . 易知当圆与直线相切且与圆外切时半径最大，则 因为，所以，所以 ， 故，解得 （舍去负值）. 课 中 探 究 25 探究点四 两圆公共弦问题 例4 已知圆和圆 . （1）求两圆公共弦所在直线的方程； 解：设两圆的交点为，， 则， 两点的坐标是方程组的解 ，得， ， 两点的坐标都满足此方程， 即为两圆公共弦所在直线的方程. 课 中 探 究 26 （2）求经过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程. 解：方法一：解方程组得两圆的交点为 ,. 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线 上，所以. 由，解得 ，则, 故所求圆的圆心为,，半径为 . 故所求圆的方程为，即 . 方法二：设所求圆的方程为 ， 其圆心坐标为，，代入，解得 ， 故所求圆的方程为 . 课 中 探 究 27 变式（1） 若圆与圆 的 公共弦恰为圆的直径，则圆 的面积是( ) D A. B. C. D. [解析] 两圆方程相减得， 因为公共弦恰为圆 的直径， 所以圆的圆心在直线 上， 可得，解得，所以圆的面积为 . 故选D. 课 中 探 究 28 （2）（多选题）已知圆的方程为，圆 的方程为 ，则下列说法正确的是( ) AB A.若两圆外切，则 B.若两圆公共弦所在直线的方程为，则 C.若两圆的公共弦长为，则 D.若两圆在交点处的切线互相垂直，则 [解析] 由题意知，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为 ，半径，. 对于A选项，若两圆外切，则 ,即,可得 ，A选项正确. 课 中 探 究 29 对于B选项，两圆方程相减并化简得，则, 即,可得，此时 ,,所以 ， 满足两圆相交，B选项正确. 对于C选项，两圆方程相减并化简得， 则到直线 的距离， 所以,则,可得 ，则,即， 解得或 ，C选项错误. 对于D选项，设两圆的一个交点为D，连接，， 则根据圆的几何性质可知 ， 所以,则，D选项错误. 故选 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 解决两圆公共弦问题的方法如下: （1）当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程; （2）在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定 理可求弦长; （3）根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程. 课 中 探 究 31 $