1.2.4 圆与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆与圆的位置关系”，引导学生掌握五种位置关系及几何判定方法。通过“温故”回顾直线与圆的位置关系判定，搭建知识支架，实现从直线与圆到圆与圆的认知迁移。 资料特色突出知识衔接与素养培养，“课前自测”设计多样题型强化判定逻辑，培养数学思维。“拓展”联系工程、航天等领域应用，引导用数学眼光观察现实，助力学生构建知识体系，发展理性精神与应用意识。

1.2.4 圆与圆的位置关系 预习提要 1.回顾直线与圆位置关系的判定方法、圆的标准方程，感悟利用距离判断图形位置的数形结合思路，做好知识铺垫. 2.研读课本，探究两圆的五种位置关系，掌握通过圆心距与半径和、差比较进行判定，尝试联立方程分析两圆交点情况. 【温故】 直线与圆的位置关系的判断： （1）几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小关系判断：当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 ；当时，直线与圆 ． （2）代数法：由方程组解的情况判断：当方程组有两组不同的实数解时，直线与圆 ；当方程组只有一组实数解（两组相等的实数解）时，直线与圆 ；当方程组没有实数解时，直线与圆 ． 【知新】 1.圆与圆的位置关系：平面内两个不等的圆之间有下列5种位置关系： （1）两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆 ． （2）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆 ．这个唯一的公共点叫作两个圆的 ． （3）两个圆有 公共点，此时叫作这两个圆相交． （4）两个圆有 的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的 ，此时叫作这两个圆内切．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点．两个圆外切和内切统称两个圆 ． （5）两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆 ． 2.圆心距：如果两个圆不是 ，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 ．两个圆心之间的线段长叫作圆心距． 3.圆与圆位置关系的几何判断：两个圆的圆心距、两个圆的半径的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系：两个圆外离 ；两个圆外切；两个圆相交 ；两个圆内切；两个圆内含 ． 课前自测 1.圆与圆外切，则( ) A.2 B. C.2或 D.不确定 2.圆与圆的位置关系是( ) A.相交 B.外切 C.内切 D.相离 3.已知圆与圆有3条公切线，则实数a的值为( ) A.0或4 B.1或3 C.或 D.或 4.（多选）圆与圆的位置关系可能是( ) A.内含 B.相交 C.外切 D.内切 5.若，则圆与的位置关系是___________. 反思 【拓展】 圆与圆共有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含. 核心判定依据为圆心距与两圆半径和、差的大小关系. 外离无公共点，外切、内切有唯一公共点，相交有两个公共点，内含无公共点. 其中外切与内切为临界位置，是解题重点，可通过几何法快速判定，无需复杂联立运算. 圆与圆的位置关系广泛应用于工程设计与科技领域. 齿轮咬合、环形零件嵌套、双轨圆弧设计依托相切、相交规律；卫星双轨道布局、雷达多区域覆盖、天文星体轨道判定，均依靠两圆位置关系测算，是机械制造、航天测绘、图形设计的基础数学模型. 【思考】 1.圆与圆五种位置关系的判定临界条件分别是什么，如何快速区分？ 2.两圆外切与内切、外离与内含的核心判定区别是什么？ 答案及解析 【温故】 相交 相切 相离 相交 相切 相离 【知新】 1.外离 外切 切点 两个 唯一 内部 相切 内含 2.同心圆 连心线 3. 课前自测 1.答案：C 解析：圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为，半径为2.依题意有，即，解得或.故选C. 2.答案：B 解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，所以圆与圆的位置关系是外切.故选B. 3.答案：D 解析：因为圆与圆有3条公切线，所以圆与圆外切， 则，解得或。故选D。 4.答案：ABD 解析：由圆C的方程可得圆心，，圆心在圆D的内部，两圆的位置关系可能是内含、相交或内切.故选ABD. 5.答案：外切 解析：易知，，，两圆圆心的距离，故两圆外切. 学科网（北京）股份有限公司 $