1.1.4 两条直线的平行与垂直&1.1.5 两条直线的交点坐标-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

1在x轴上的截距为-子，在y轴上的截距为6， 2 由题意得-一3=-1，解得k=5 所以子0-6=16=号 ②直线1的方程可化为”3+之=1. 所以直线1的斜载式方程为y=子-子 。3 由题意得k-3+2=0,解得k=1. 对点训练3：-子 依题意可知k=tan45°=1， 第2课时直线方程的一般式和点法式 所以-207a+3=1,且42-9≠0. 必备知识探新知 a2-9 知识点11.二元一次方程 一条直线Ax+By+C=0 解得a=-子或a=3(含去)小 (其中A,B不全为0) 知识点21.垂直n·P=02.A(x-xo）+B(y-y0) H- 例4：(1)当截距为0时，直线1过点(0,0)，(2,3)， =0 关键能力攻重难 11111 所以直线1的斜率为k=?0=3 2-0-21 x,即3x-2y=0. 3 所以直线的方程为y= 例1：(1)由点斜式，得直线方程为y-3=√5(x-5),即3x -y-5√3+3=0. (2)当截距不为0时，可设直线1的方程为x+上=1. (2)由斜截式，得直线方程为y=4x-2, 即4x-y-2=0. 因为直线1过点P(2,3),所以2+3=1，得a=5 （3由两点式.得宜线方程为名)-二（二} 所以直线l的方程为x+y-5=0. 综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0. 即2x+y-3=0. 课堂检测固双基 (4)由裁距式，得直线方程为号+子=1 1.D令x=0,y=-1,令y=0,x=1,∴.所求三角形面积为S= 即x+3y+3=0 ×1x1-11=分 1 (5)y-2=0. i2.C.ac<0,bc<0, 对点训练1：(1)①x+2y+4=0②2x-y-3=0③x+y -1=0 .令y=0,x=-C>0, (2)A在直线'上任取一点(xy),此点关于直线x+y=0 的对称点A(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上， 令x=0,y=-6>0, .3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0, 1 ∴.直线ax+by+c=0在x轴y轴上的截距都为正数，故选C. 故选A. :3.D由题意得a-3m+2a=0,a=m. 例2：解法一：设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点， 又直线+3my+2a=0的斜率么=3品=分 1 则点P在直线1上的充要条件是AP与v=(3,-4)垂直. 又因为AP=(x-3,y-2),所以3×(x-3)+(-4)×(y- !4.3x+4y-2=0由直线的点法式方程可得直线1的方程为 2)=0,整理可得方程为3x-4y-1=0. -3(x-2)-4(y+1)=0,即3x+4y-2=0 解法二：因为=(3，-4)是直线1的一个法向量， 1.4两条直线的平行与垂直 所以可以设1的方程为3x-4y+C=0 代人点A(3,2),可求得C=-1,因此直线1的方程为3x- 1.5两条直线的交点坐标 4y-1=0. 对点训练2：(1)直线1过点P(1,2),其法向量是，=(3，必备知识探新知 -4), 知识点11.a1=a2k1=k2k1≠k22.(1)A1B2≠AB .直线l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理，得 (2)A1B2=A2B 3x-4y+5=0. 知识点21.kk2=-12.A1A2+B1B2=0 (2)直线1过点P(-1,2),其法向量是v=(3,4), 知识点32.相交重合平行 ∴.直线l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0, 关键能力攻重难 整理，得3x+4y-5=0. 例1：：直线1：x+y+6=0, 例3：(1)[1，+∞)把直线1化成斜截式，得y=（1-a)x 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, +a+2,因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于 .A=1,B=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m (1)若1与2相交，则A1B2-A2B1≠0，即1×3-m(m-2) 零，且直线在y轴上的截距大于等于零即-a≤0 a+2≥0 解得a≥≠0，即m2-2m-3≠0， 1.所以a的取值范围为[1，+∞). 即(m-3)(m+1)≠0，即m≠3且m≠-1. (2)①因为直线（的斜率存在，所以直线I的方程可化为 故当m≠3且m≠-1时，直线（与2相交， 2 [AB2-A2B1=0, y=k3+2. (2)若112，则有 B,C2-B2C1≠0， -295 即3-m(m-2)=0 「m2-2m-3=0, 垂直 即 12m2-18≠0， m2≠9 (2)若A为直角，则AC⊥AB,.kc·kAB=-1, 即m=3或m=-1, m≠3且m≠-3，m=-1. 即++-1，解得m=-7: 2-51-51 故当m=-1时，直线4与2平行 若B为直角，则AB⊥BC,.kAB·kc=-1, (3)若1与4重合，则有AB,-4,B,=0, 即5引-1，解得m=3: 1B1C2-B2C1=0, 即3-m(m-2)=0, 「m=3或m=-1, 若C为直角，则ACL BC,.kAc·kc=-1, 12m2-18=0, m=3或m=-3, .m=3. 吗岩号片-1，解得m=2 故当m=3时，直线1与2重合 综上所述，m=-7或m=3或m=±2 对点训练1：由题意知A1=9,B,=-1,C1=a+2,A2=a, 例3：(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解 B2=a-2,C2=1, (1)若11与12相交，则AB2-AB,≠0， 由1：3x+4y-20=0,得直线1的斜率6，=-子 即9(a-2)-ax(-10≠0a≠号 设过点A且平行于的直线为1， 故当a≠号时，直线1与儿相交 则直线，的斜末名=6=一子 者满防他品 所以1的方程为y-2=-子（x-2》, 即3x+4y-14=0. 即9(a-2)-a×(-1)=0, 解法二：利用直线系方程求解. 1-1-(a2-4)≠0， 设过点A且平行于直线1的直线1，的方程为3x+4y+m=0 9 a-5 (m≠-20). ! 由点A(2,2)在直线l1上，得3×2+4×2+m=0,解得m= la≠±5. -14. 六当a=号时，4与弘平行 故直线（的方程为3x+4y-14=0. (2)解法一：设过点A与垂直的直线为L,,直线1的斜率为 (3)若4与6重合，则有B-MB=0, B C2 -B C=0. ,直线马的斜率为因为=-1，所以=号， 9 由(2)知 a=5,不成立， 故直线6的方程为y-2=号（x-2). la=±3 即4x-3y-2=0. 直线4，与2不可能重合， 解法二：设过点A且垂直于直线1的直线，的方程为4x- 综上所述，当a≠号时，两直线相交：当a=号时，两直线平+m=0,因为经过点12,2)，所以4×2-3×2+m=0,解 得m=-2.故l2的方程为4x-3y-2=0. 行：不论a为何值两直线都不会重合. 例2：(1)直线1的斜率不存在，直线12的斜率为0，所以 对点训练3：B因为。=专，=号，4的中点坐标 11⊥l2. 为(-2,2)，所以所求直线方程为y-2=-3(x+2),化简为 (2)由题意，知直线12的斜率k2一定存在，直线l1的斜率3x+y+4=0. k可能不存在.当直线l,的斜率不存在时，3=a-2,即a=5,此 (2)由题意得3x+4y-2=0, ① 时k2=0,则l11b2,满足题意.当直线41的斜率k1存在时，a≠5， 2x+y+2=0, ② 由斜公式得2品号6” ②×4-①得5x+10=0,解得x=-2. -1-2 -3 将x=-2代入②得2×(-2)+y+2=0,所以y=2. 由414，知k=-1,号×()-1，解得a=0, 所以两直线的交点坐标为(-2,2). 综上所述，a的值为0或5. 设与直线5x+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c≠ (3):l1l2,∴.a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0, 0),代入(-2,2)得5×(-2)+4×2+c=0,所以c=2. 故所求直线方程为5x+4y+2=0. 即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3. 对点训练2：(1)ABDA中，山1与x轴垂直，2与x轴平行， 剑40方程70游为. 2x-y-7=0, 故两直线垂直B中，4过点P(1,),0(0.-）,0=号，有 因此直线1和2相交，交点坐标为(3，-1). r2x-6y+4=0, kw·k1=-1,故两条直线垂直.C中，kpo=5,kw·k1≠-1，故 (2)方程组r-12,+8-0有无数个解。 4不与4垂直D中，4过点n1,0,(4,-5)m=-号4 这表明直线，和2重合 过点P(-6,0,0(-1,3)0=号k·=-1放两条直线 (3)方程组4x+2)+4=0 ly=-2x+3 无解， -296 这表明直线1和2没有公共点，故4∥2 : 对点训练4：A过点A(-2,5)和B(1,-4)的直线方程为 1.6平面直角坐标系中的距离公式 3x+y+1=0, 必备知识探新知 故它与x轴的交点的坐标为(-号，0 知识点11.√(x2-x1)2+(y2-y)22.(1)√+y2 x=2a±3 (2)1x2-x11(3)y2-yI 例5：-2,2）由5x2a+1得 7 知识点21.垂线垂线段2.IAo+B。+C 12x+3y=a, a-2 VA2+B ly= 7 知识点31.公垂线段2.点直线 2a+3>0, 3 关键能力攻重难 7 由 得 a>-2' 例1：lAB1=√1-(-1)]+0=2 <0, la<2. -<a2.ae(号2 c=√3-+(9-o=1, 对点训练5：C由题可知k≠-1， ac=分-(-+(9-o=a 联立化红。解得-的： .·1AC12+1BCI2=1ABI2. lx+y-3=0, 1+k .△ABC为直角三角形 ·两直线的交点坐标为3+5,36- 1+k’1+k 对点训练1：号 直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),由 :两直线的交点在第一象限， !直线(2a-1)x+5ay-1=0可得a(2x+5y）-(x+1)=0, 将0 解得>9 令2x+5y=0, rx=-1, 解得{ 2 3k-5 lx+1=0, 1y=5 1+>0 放(-1，号】 又直线1的倾斜角为0，则an0> 30∈(30°，90). 例6：当a=-4时，l1:4x-3y+3=0与12：4x+2=0不平 所以181=√0+12+(-2-号)-号 行，.a≠-4 例2：(1)由点到直线的距离公式可得 4%专g4d4a-12=0 d=13×3-4×(-2)-Ⅱ_1 √32+(-4)2 5 .a=2或a=-6. (2)由直线y=6与x轴平行，得 当a=-6时，41：-6x+3y-3=0,即2x-y+1=0,l2:4x d=16-(-2)1=8. 2y+2=0,即2x-y+1=0,此时l1与l2重合，.a≠-6. 或将y=6变形为0·x+y-6=0, 当a=2时，12x+3y-3=0,l2:4x+6y+2=0,即2x+3y+ 1=0,.11∥2 d=10×3+-2）-61=8 02+1 综上可知，a=2. (3)d=131=3. 课堂检测固双基 对点训练2：(1)由点到直线距离公式d=5. 1.D由题意得3a-2=0a=3 2 (2)由点到直线的距离公式3a-4×6-2=4, 2.A直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程为-x-y+1 32+42 =0,即x+y-1=0. a=2或9 3.C解方程组：+2y-4=0,得=0， 12x-y+2=0w1y=2, (3)设所求直线：y-2=k(x+1),原点O(0,0)到此直线 即直线+2-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是(0，距离为得.可求得k=-1或-7。 2).故选C. 4.2x+y+5=0设所求直线方程为2x+y+m=0,又：直线过 .所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0. 例3：解法一：若在直线（上任取一点 y 点(-1，-3)， .-2-3+m=0,.m=5, A(2,1),则点A到直线2的距离，即是所求 故所求直线方程为2x+y+5=0. 的平行线间的距离.如图①所示， 5.因为A1B2-AB,=a(2a+3)-(a-1)(1-a)=3a2+a+1= 六d=13×2+4×1-151=1 3o+名+吕0所以两直线对任意aeR包相交不可能 32+4 解法二：设原点到直线4，、2的距离分 平行. 别为1OF1、IOE1, -297012 课堂检测 固双基 1.直线x-y-1=0与坐标轴所围成的三角形面3.直线ax+3my+2a=0(m≠0)过点(1，-1)， 积为 () 则直线的斜率k等于 () B.2 C.1 A.-3 B.3 2.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形 c n号 只能是 )4.直线1经过点P(2,-1),且它的一个法向量 n=(-3,-4),则直线l的方程为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合 1.以法向量为主线，学习 2.理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件 两条直线位置关系与方 3.会利用法向量推导出两条直线垂直的条件：AA2+BB2=0和 程系数的关系 2.通过判断两条直线的位 k,2=-1,并能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题， 置关系，培养数形结合 4.会求两条相交直线的交点坐标， 思想 必备知识探新知 知识点1两条直线平行 1.几何方法判断 对于两条不重合的直线11，l2,倾斜角分别为1,2，则 是11∥12的充要条件. 对于两条不重合的直线L1:y=kx+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥L2台 ;l1与l2 相交台 2.向量方法判断 对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B,不全为0)，l2;A2x+B2y+C2=0(A2,B2不 全为0)， 它们的法向量分别是n1=（A1,B1),2=(A2,B2), (1)l,与l2相交（即只有一个交点）的充要条件是n1与2不共线，即 (2)l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线，即 ●013 知识点2两条直线垂直 1.对于两条不重合的直线1：y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则11⊥12台 2.设直线11，l2的方程分别为Ax+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)， Ax+B2y+C2=0(42,B2不全为0)，则111→一· 知识点3两条直线的交点 1.已知两条直线的方程是11：A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)，L2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全 为0)，设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l上，也在直线2上.所以点P的坐标既满足直线， 的方程A1x+By+C1=0,也满足直线2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组 [Ax+By+C=0, 的解 LA2x+B2y+C2=0 2. Ax+By+C1=0 方程组 的解 一组 无数组 无解 LA,x+Bay+C:=0 直线，和2公共点的个数 1 无数 0 直线和2的位置关系 名师点睛如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方 程所组成方程组的解. 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一两条直线平行的判定 规律方法： 例.已两直线x++6=04:(m-2)x+3y+2m-0,求m为何值时，直 判断两条直线是 线1与12：(1)相交；(2)平行；(3)重合 否平行的步骤 [规律方法] )对点训练1 已知两直线(1：9x-y+a+2=0;l2:ax+(a-2)y+1=0.求a为何值时， 直线1与12：(1)相交；(2)平行；(3)重合. 014 题型二 两条直线垂直的判定 规律方法： 例2①经过点43,2).B(3,-1),6经过点M1,1),N2,1,判断1与， ，、判定两直线垂直 的步骤 是否垂直； (1)一看：就是看 (2)已知直线11经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3), 每条直线所给两点的 D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值； 横坐标是否相等，若 (3)已知直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂 相等，则直线的斜率 直，求a的值. 不存在；若不相等，则 进行下一步 (2)二代：就是将 点的坐标代入斜率 公式. (3)求值：计算斜 率的值，进行判断. 注意：若已知点 的坐标中含有参数， 利用两直线的垂直关 系求参数值时，要注 意讨论斜率不存在的 情况. 规律方法： ·[规律方法] (1)求与直线y= x+b平行的直线的 )对点训练2 方程时，根据两直线 (1)(多选题)下列各对直线互相垂直的是 平行的条件可设为y A.11过点M(1,1),N(1,2),2过点P(1,5),Q(3,5) =hx+m(m≠b),然 B.4的斜率为-子，4过点P(1,),Q0,- 后通过待定系数法 求参数m的值. C.11的倾斜角为30°，l2过点P(3,√3)，Q(4,23) (2)求与直线Ax D.1过点M(1,0),N(4,-5),l2过点P(-6,0),Q(-1,3) +By+C=0平行的直 (2)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角 线方程时，可设方程 三角形，求m的值. 为Ax+By+m=0(m ≠C),代入已知条件 求出m即可. (3)求与直线y= x+b(k≠0)垂直的直 线方程时，根据两直线 垂直的条件可设为y= 、1 题型三求与已知直线平行或垂直的直线方程 x+m(k≠0)，然 例3.已知点4(22)和直线1：3x+4-20=0.求： 后通过待定系数法，求 (1)过点A和直线1平行的直线方程； 参数m的值 (4)求与直线Ax (2)过点A和直线1垂直的直线方程， +B+C=0(A,B不 同时为零)垂直的直线 时，可巧设方程为Bx -Ay+m=0(A,B不同 时为零)，然后用待定 系数法，求出m. >[规律方法] 015 )对点训练3 规律方法： (1)以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是 求两相交直线的 A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 交点坐标 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 (1)求两相交直 (2)求过直线l1:3x+4y-2=0与直线L2:2x+y+2=0的交点且平行于 线的交点坐标，关键 是解方程组. 直线5x+4y=0的直线方程. (2)解二元一次 方程组的常用方法有 代入消元法和加减消 元法. 题型四两条直线的交点问题 例4分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点 (1)11:2x-y-7=0和l2:3x+2y-7=0; (2)l2:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l4:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. [规律方法] )对点训练4 规律方法： 经过两点A(-2,5),B(1,-4)的直线1与x轴的交点的坐标是() 解决此类问题的 关健是先利用方程组 A.(.0) B.（-3,0)〉 的思想，联立两方 程，求出交点坐标： c台oj D.(3,0) 再由点在某个象限时 坐标的符号特征，列 题型五根据交点求参数的值或取值范围 例5已知直线5x+4=2a+1与直线2+3y=a的交点位于第四象限，则 出不等式组而求得参 数的取值范围. a的取值范围是 ·[规律方法] 对点训练5 若直线l:y=kx-√3与直线x+y-3=0相交，且交点在第一象限，则直线 1的倾斜角0的取值范围是 A.(0°，60°) B.(30°，60°) C.(30°，90°) D.(60°，90°) ●易错警示 条件转化中不等价致误 例 .已知两直线1：ax+3y-3=0,l2:4x+（a+4)y+2=0,若11∥l2,求a 的值 [指解13。日+4a-12=0a=2或a-6 [辨析] 错解中忽略了两直线重合这一情况， [正解] 016 课堂检测 固双基 1.若直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0垂4.过点(-1，-3)且与直线2x+y-1=0平行的 直，那么实数a等 直线方程为 A.-3 B.-6 c.-2 5.a为何值时，直线ax+(1-a)y+3=0与 (a-1)x+(2a+3)y-2=0相交？平行？ 2.直线1：x-y+1=0关于y轴对称的直线方程 为 A.x+y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0 D.x-y-1=0 3.直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点 坐标是 A.(2,0) B.(2,1) 夯基提能作业 C.(0,2) D.(1,2) 请同学们认真完成练案[4] 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.两，点间的距离公式与点到直线的距离公式是解析几何 1.掌握平面上两点间的距离公式 中的两个基本公式，学习中不仅要能熟练地运用各公 2.掌握点到直线的距离公式 式求距离，同时还要把握公式的推证过程， 3.会求两条平行直线间的距离 2.学会用化归的思想方法分析问题，如将点到直线的距 4.会运用坐标法证明简单的平面几何 离转化为两点间的距离，将两条平行直线间的距离转 问题 化为点到直线的距离等. 必备知识探新知 知识点1两点间的距离公式 1.平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式|AB1= 2.两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0,0)与任一点A(x,y)的距离10A1= (2)当AB∥x轴(y1=y2)时，IAB|= (3)当AB∥y轴(x1=x2)时，AB1= 知识点2点到直线的距离公式 1.平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的 所得 的长度 2.点P(xo,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= (其中A,B不全为0) 知识点3两条平行直线间的距离公式 1.概念：夹在两条平行直线间的 的长度就是两条平行直线间的距离， 2.求法：两条平行直线间的距离转化为 到 的距离 3.公式：两条平行直线14：++G,=0与，：+B+C,=0之间的距离d=1C-C(其中 √A+B A,B不全为0，且C1≠C2).