1.2.2 圆的一般方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

线段为直径的圆的圆心c1.“2) 故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1. 5.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 半径r=141-3+1)+3+a 16+(3+a)2 根据已知条件可得 2 2 r(1-a)2+(-1-b)2=r2 a=1, 故圆的方程为x-)+(-2)-16+经+少 (-1-a)2+(1-b)2=r2,解此方程组得b=1, 4 ① a+b-2=0. (r=2. 因为以线段AB为直径的圆经过原点， 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 故(0,0)代人①成立，解得a=-1. 故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5. 2.2圆的一般方程 对点训练1：(1)D:AB为直径AB的中点(1,2)为圆心， 必备知识探新知 B1=35+3)+(5+=5为半径， 知识点1（号.-5）子D+E-4F .该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 知识点21.> <2.等量关系式 (2)(x+5)2+(y+3)2=25:圆心坐标为(-5，-3)，又 关键能力攻重难 与y轴相切， 例1：由表示圆的条件，得(2m)2+（-2)2-4(m2+5m)> .该圆的半径为5， ·该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. 0,解得m<5,即实数m的取值范围为(-女，号} 例2：由已知条件可得圆心坐标为C(5,6),半径为r= 圆心坐标为(-m,1),半径为√1-5m. 之PP,1=√而，则由圆的标准方程得以PP,为直径的圆的方 对点训练1：(1)A因为x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆， 则16+4-4×5k>0,所以k<1. 程为(x-5)2+(y-6)2=10,易判断点M在圆上，点Q在圆内. (2)D.圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0, 对点训练2：C.(0.0)在(x-m)2+(y+m)2=4的内部，则有 .圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从 (0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<2,故选C. 而对于圆C的半径r有2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以 例3：正解一：如图，由题设1AC1=r=5,IAB1=8,∴.IA01=4 !当m=1时，r2取得最小值， 在Rt△A0C中，I0C1=√1AC2-IA0P=52-4=3. 从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值 设点C坐标为(a,0),则10C1=1al=3,.a=±3.∴.所求 例2：方法一（待定系数法）：设圆的标准方程为(x-a)2+ 圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25. (y-b)2=r2(r>0),因为A,B,C三点都在圆上， y r(-a)2+(5-b)2=r2, ra=-3 所以(1-a)2+(-2-b)2=r2,解得b=1, 【(-3-a)2+(-4-b)2=r2, r=5. 所以圆的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=25,化为一般方 程即x2+y2+6x-2y-15=0. 方法二（几何性质法）：易知线段AB的中点为（分，），斜 正解二：由题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=25. 率为ka=-7,线段BC的中点为(-1，-3)，斜率为kc=7 ,圆截y轴所得线段长为8，.圆过点A(0,4) 代人方程得a2+16=25,.a=±3，.所求圆的标准方程为 所以线段4B的中垂线为y-子=(-)，即x-)+ (x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25. !10=0①， 课堂检测固双基 线段BC的中垂线为y+3=-2(x+1),即2x+y+5=0 1.A ②， 2.D依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1, 联立①②可解得x=-3,y=1,以所求圆的圆心为(-3， 所以心<g即la<高故选D 1). 设圆的半径为r,则2=(-3)2+(1-5)2=25， 3.(x+1)2+(y-2)2=5设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2 故所求圆的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=25,化为一般 r(2+a)2+B=r2, ra=-1, 方程即x2+y2+6x-2y-15=0. =2,则a2+(4-b)2=r2,解得b=2,所以圆M的标准方 对点训练2：x2+y2+4x-4y-2=0设所求圆的方程为 a2+2=r2, r=5, x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0) 程为(x+1)2+(y-2)2=5. 因为此圆过A,B,C三点， 4.(x-4)2+y2=1设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对 r12+32+D+3E+F=0, 称的点B的坐标为(a,b), 所以{(-1)2+(-1)2-D-E+F=0, l(-3)2+52-3D+5E+F=0, 则23（1)三-1， 解得，a4, D=4, 6分-3=-0 b=0, 解得{E=-4,.该圆的一般方程为x2+y2+4x-4y-2=0. 2 2 LF=-2 -299 例3：(1)设线段AP的中点为M(x,y), 对点训练1：圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4, 由中点公式，得点P的坐标为(2x-2,2y). 6 故圆心(3,0)到直线x-my+3=0的距离为d= 点P在圆x2+y2=4上， /m2+1 (2x-2)2+(2y)2=4,整理得(x-1)2+y2=1. 圆的半径为r=2 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1 ①若相交，则d<r,即6 <2,所以m<-22或m> (2)设线段PQ的中点为N(x,y), m2+1 在Rt△PBQ中，IPWI=IBNI 2√2，故m的取值范围为(-0，-22)U(22,+0); 设O为坐标原点，连接ON, :1OPI=10QI,N为PQ的中点，.OW⊥PQ, ②若相切，则d=r,即一6 =2，所以m=±22； m+1 .I0PI2=10NI2+1PW2=0N12+IBW2, x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的 ③若相离，则d>r,即6>2，所以-22<m<2万， 轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. m2+1 对点训练3：设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(xo, 故m的取值范围为(-22,22). y0, 例2：(1)C 圆心C(3,0)到y=x+1的距离d=3-0+1山 由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点， 2 因为点A在圆？+子+2x-3=0上运动，所以点A的坐标：=2反.所以切线长的最小值为√(22)2-P=√7 满足方程x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,把x0=8-x, (2)由于(2-1)2+(4+3)2=50>1，故点M在圆外 %=6-y代人上式，得(8-x+1)2+(6-y)2=4, 当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=k(x-2),即x 整理，得(x-9)2+(y-6)2=4. y+4-2k=0, 所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4. 例4：(-0，-2)U(2,3)若x2+y2-ax-2y+2=0表 由于直线与圆相切，故+34一二21=1，解得6=头。 k2+1 示圆， 所以切线方程为24x-7y-20=0. 则(-a)2+(-2)2-4×2>0,解得a<-2或a>2. 又当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切. 若点(1,2)在圆x2+y2-ax-2y+2=0外， 综上所述，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 则12+2-a-2×2+2>0,解得a<3, 对点训练2：解法一：由题意，得点P在圆C外. 所以实数a的取值范围为(-∞，-2)U(2,3) 若直线I的斜率存在，设I:y-3=(x-2),即kx-y+3 课堂检测固双基 i2k=0. 1.A圆x2+y2-4x+2y=0化为标准方程为(x-2)2+(y+ :直线1与圆C:(x-1)2+(y+2)2=1相切， 1)2=5,故选A 圆心坐标为(，)，半径= 5=1,解得= 2.C √2+1 5 二，故所求圆的方程为 (-3++=3,即2+-3+=0 5 直线1的方程为y-3=号(x-2),即12：-5)-9=-0 3.A圆x2+y2-2y-1=0的圆心坐标为(0,1)，半径r=2,圆 若直线的斜率不存在，则直线：x=2也符合要求. 综上，直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2. 心(0,1)关于直线y=x对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的 解法二：若直线l的斜率存在，设L:y-3=k(x-2),即y= 方程为(x-1)2+y2=2. k(x-2)+3.代人圆C的方程，整理，得(k2+1)x2-(42-10k 4.1方程x2+y2-2x+4y+m=0表示圆， .(-2)2+42-4m>0, +2)x+42-20k+25=0. :直线1与圆C相切，∴.4=(42-10k+2)2-4(2+1)· .m<5 又“圆与轴相切，-2)+44m-2, (4-20k+25)=0,解得k=号 2 ..m=1. ·直线1的方程为y-3=2 x-2), 2.3 直线与圆的位置关系 即12x-5y-9=0. 若直线1的斜率不存在，则直线：x=2也符合要求 关键能力攻重难 综上，直线l的方程为12x-5y-9=0或x=2. 例1：解法一（代数法）：将直线方程和圆的方程联立 得3x+y-6=0, 例3：y=√3-x表示以原点为圆心，半径为5的上半圆，m 1x2+y2-2y-4=0. -号表示过点4(-3，-1)和(x,)的直线的斜率，如图1 消去y,得x2-3x+2=0. 所示. 因为4=(-3)2-4×1×2=1>0，所以直线1与圆C相交. 解法二（几何法）：将圆C:x2+y2-2y-4=0化为标准方 程，得x2+(y-1)2=5,所以圆心坐标为(0,1)，半径为5. 所以圆心(0,1)到直线l:3x+y-6=0的距离为d= 10+1-61-<5,故直线1与圆C相交 w/32+12 2 300022 ●易错警示 对圆心位置考虑不全致错 例 .已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 错解]如图，由题设知|AB1=8,IAC1=5. 在Rt△AOC中， 10C1=√1AC2-10A =√52-42=3. .C点坐标(3,0)， .所求圆的标准方程为(x-3)2+y2=25. [辨析]由题意知，1OC1=3,C在x轴上，则C可能在x轴正半轴上，也可 能在x轴负半轴上，错解只考虑了在x轴正半轴上的情况. [正解] [误区警示]借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题， 就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致. 课堂检测 固双基 1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别5.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 为 （)x+y-2=0上的圆的标准方程 A.（-1,2),2 B.(1,-2),2 C.（-1,2),4 D.(1,-2),4 2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内 部，则实数a满足 B.a<3 1 A.lal<1 C.lal< D.la<结 3.已知圆M经过点A(-2,0),B(0,4),C(0,0), 则圆M的标准方程为 4.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3= 夯基提能作业 0对称的圆的标准方程是 请同学们认真完成练案[6 2.2 圆的一般方程 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.理解圆的一般方程及其特点. 1.注意区分圆的方程与二元二次方程，明确二元 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化， 二次方程表示圆的条件， 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的2.根据圆的一般方程求圆的圆心与半径时，可以直接 轨迹方程问题. 利用公式，也可以先将方程配方为标准方程， ●023 必备知识探新知 知识点1圆的一般方程 当D2+E-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以 为圆心， 为半径的圆，这个方程叫作圆的一般方程. 知识点2由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题 1.已知点M(,yo)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 点M在圆外台x哈+y哈+Dx,+Ey+F0;点M在圆上→x哈+y%+Dx+yo+F=0;点M在圆内 台x6+y6+Dx0+E0+F0. 2.点M的坐标(x,y)满足的 称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的 轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的 方程 关键能力攻重难 ●题型探究 规律方法： 1.形如x2+y2+ 题型一圆的一般方程初步理解 Dx+Ey+F=0的二 例若方程+y+2m-2y+m2+5m=0表示圆，求实数m的取值范 元二次方程，判定其 是否表示圆时可有如 围，并写出圆心坐标和半径. 下两种方法： (1)由圆的一般 方程的定义，D+E -4F>0成立，则表 示圆，否则不表示圆 （2)将方程配方 后，根据圆的标准方 [规律方法] 程的特征进行判断. 应用这两种方法 】对点训练1 时，要注意所给方程 (1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( 是不是x2+y2+Dx+ Ey+F=0这种标准形 A.(-0,1) B.(1,+∞) 式，若不是，则要化 C.(-0,0) D.(-0,1] 为这种形式再求解。 2.对于一般式方 (2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的取值是 程表示圆求参类问 题，也要将其化为标 准方程，再将其转化 A.4 B.3 为不等式（方程）的求 C.2 D.1 解问题. 规律方法： 题型二圆的一般方程 1.如果由已知条 例2已知1(0,5)，B1,-2),6(-3,-4)都是⊙P上的三点，求这个圆的 件容易求得圆心坐 标、半径或需利用圆 方程 心坐标或半径列方 程，一般采用圆的标 准方程，再用待定系 数法求出a,b,r. 2.如果已知条件 与圆心和半径都无直 接关系，一般采用圆 的一般方程，再用待 定系数法求出常数D, E,F. [规律方法] 024 〉对点训练2 规律方法： 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3),B(-1,-1),C(-3,5),则这个 求轨迹方程的3 三角形外接圆的一般方程为 种常用方法 题型三求动点的轨迹方程 根据题日条 例3已知点A(2,0)是圆+y=4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P,0 件，建立平 为圆上的动点. 面直角坐标 (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； 直 系，设出动 →点坐标，我 (2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 到动点满足 的条件，然 后化简、求 解 当动点的运 动轨迹特合 定 某种曲线的 →定义时，可 ●[规律方法] 利用定义写 )对点训练3 出动点的轨 已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆x2+y2+2x-3=0 迹方程 上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程， 若动点P(x, y)依赖于某 圆上的一个 动点Q(x1, y1）而运 代 动，把x1、 法 →y1用x,y表 示，再将Q 点的坐标代 入到已知圆 ●易错警示 的方程中得 忽略圆的一般方程中的隐含条件D+E2-4F>0致误 到P点的轨 例 .若点(1,2)在圆x2+y2-ax-2y+2=0外，则实数a的取值范围是 迹方程 [注意]求出轨 [错解]点(1,2)在圆x2+y2-ax-2y+2=0外， 迹方程后，要考虑轨 ∴.12+2-a-2×2+2>0得a<3. 迹上应去掉的点及轨 [辨析]忽略圆的一般方程中的隐含条件(-α)2+(-2)2-4×2>0. 迹不存在的情形. [正解] 025 课堂检测 固双基 1.圆x2+y2-4x+2y=0的圆心和半径分别为 D.2+y-3x-y-与=0 2 A.(2,-1),W5 B.(2,-1),5 :3.圆x2+y2-2y-1=0关于直线y=x对称的圆 C.(-2,1),W5 D.(-2,1),5 的方程是 () 2.以(1,1)和(2，-2)为一条直径的两个端点的 A.(x-1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=2 圆的方程为 ( C.(x-1)2+y2=4D.(x+1)2+y2=4 A.x2+y2+3x-y=0 4.若圆x2+y2-2x+4y+m=0与x轴相切，则m的 值为 B+y-3xy3-0 夯基提能作业 C.x2+y2-3x+y=0 请同学们认真完成练案[7] 2.3直线与圆的位置关系 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能熟练地解二元方程组，并能运用解方程或方 1.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置 程组来解决直线与圆的位置关系问题， 关系.就单纯判断直线与圆的位置关系来 2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和 说，几何法优于代数法，如果用到根与系数 的关系，则用代数法 几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系 2.结合所学，提高直观想象（如运用数形结合 3.掌握求圆的切线方程的方法，并会求与圆有关 的最值问题. 处理最值问题，弦长问题)，逻辑推理（处理 综合问题)以及数学运算等素养 必备知识探新知 知识点直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，(1)直线与圆相交，有两个公共点，如图1； (2)直线与圆相切，只有一个公共点，如图2； (3)直线与圆相离，没有公共点，如图3. 图1 图2 图3 2.判断直线与圆的位置关系的两种方法 方法1（代数法）：判断直线1的方程与圆C的方程组成的方程组是否有实数解.如果有实数解， 那么直线1与圆C有公共点：如果没有实数解，那么直线1与圆C没有公共点 当有两组不同的实数解时，直线1与圆C相交； 当只有一组实数解时，直线1与圆C相切； 当无实数解时，直线1与圆C相离.