1.1.3 第2课时直线方程的一般式和点法式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

1在x轴上的截距为-子，在y轴上的截距为6， 2 由题意得-一3=-1，解得k=5 所以子0-6=16=号 ②直线1的方程可化为”3+之=1. 所以直线1的斜载式方程为y=子-子 。3 由题意得k-3+2=0,解得k=1. 对点训练3：-子 依题意可知k=tan45°=1， 第2课时直线方程的一般式和点法式 所以-207a+3=1,且42-9≠0. 必备知识探新知 a2-9 知识点11.二元一次方程 一条直线Ax+By+C=0 解得a=-子或a=3(含去)小 (其中A,B不全为0) 知识点21.垂直n·P=02.A(x-xo）+B(y-y0) H- 例4：(1)当截距为0时，直线1过点(0,0)，(2,3)， =0 关键能力攻重难 11111 所以直线1的斜率为k=?0=3 2-0-21 x,即3x-2y=0. 3 所以直线的方程为y= 例1：(1)由点斜式，得直线方程为y-3=√5(x-5),即3x -y-5√3+3=0. (2)当截距不为0时，可设直线1的方程为x+上=1. (2)由斜截式，得直线方程为y=4x-2, 即4x-y-2=0. 因为直线1过点P(2,3),所以2+3=1，得a=5 （3由两点式.得宜线方程为名)-二（二} 所以直线l的方程为x+y-5=0. 综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0. 即2x+y-3=0. 课堂检测固双基 (4)由裁距式，得直线方程为号+子=1 1.D令x=0,y=-1,令y=0,x=1,∴.所求三角形面积为S= 即x+3y+3=0 ×1x1-11=分 1 (5)y-2=0. i2.C.ac<0,bc<0, 对点训练1：(1)①x+2y+4=0②2x-y-3=0③x+y -1=0 .令y=0,x=-C>0, (2)A在直线'上任取一点(xy),此点关于直线x+y=0 的对称点A(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上， 令x=0,y=-6>0, .3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0, 1 ∴.直线ax+by+c=0在x轴y轴上的截距都为正数，故选C. 故选A. :3.D由题意得a-3m+2a=0,a=m. 例2：解法一：设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点， 又直线+3my+2a=0的斜率么=3品=分 1 则点P在直线1上的充要条件是AP与v=(3,-4)垂直. 又因为AP=(x-3,y-2),所以3×(x-3)+(-4)×(y- !4.3x+4y-2=0由直线的点法式方程可得直线1的方程为 2)=0,整理可得方程为3x-4y-1=0. -3(x-2)-4(y+1)=0,即3x+4y-2=0 解法二：因为=(3，-4)是直线1的一个法向量， 1.4两条直线的平行与垂直 所以可以设1的方程为3x-4y+C=0 代人点A(3,2),可求得C=-1,因此直线1的方程为3x- 1.5两条直线的交点坐标 4y-1=0. 对点训练2：(1)直线1过点P(1,2),其法向量是，=(3，必备知识探新知 -4), 知识点11.a1=a2k1=k2k1≠k22.(1)A1B2≠AB .直线l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理，得 (2)A1B2=A2B 3x-4y+5=0. 知识点21.kk2=-12.A1A2+B1B2=0 (2)直线1过点P(-1,2),其法向量是v=(3,4), 知识点32.相交重合平行 ∴.直线l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0, 关键能力攻重难 整理，得3x+4y-5=0. 例1：：直线1：x+y+6=0, 例3：(1)[1，+∞)把直线1化成斜截式，得y=（1-a)x 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, +a+2,因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于 .A=1,B=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m (1)若1与2相交，则A1B2-A2B1≠0，即1×3-m(m-2) 零，且直线在y轴上的截距大于等于零即-a≤0 a+2≥0 解得a≥≠0，即m2-2m-3≠0， 1.所以a的取值范围为[1，+∞). 即(m-3)(m+1)≠0，即m≠3且m≠-1. (2)①因为直线（的斜率存在，所以直线I的方程可化为 故当m≠3且m≠-1时，直线（与2相交， 2 [AB2-A2B1=0, y=k3+2. (2)若112，则有 B,C2-B2C1≠0， -295●009 第2课时 直线方程的一般式和点法式 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.了解直线方程的一般式的形式特征，理解直线方程的 一般式与二元一次方程的关系。 1.直线的一般式方程与其他形式方程 2.能正确地进行直线方程的一般式与特殊形式的方程的 之间可以相互转化，直线方程的最 转化. 终结果一般用一般式方程表示 3.能运用直线方程的一般式解决有关问题， 2.方程Ax+By+C=0表示直线的条 4.了解直线方程的点法式，会利用方向向量推导出直线 件是A,B不同时为0，即A+B2≠0. 的一般方程。 必备知识 探新知 知识点1直线方程的一般式 1.定义 在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x,y的 ;任何 关于x,y的二元一次方程都表示 ,方程 称为直线方程的一般式. 2.直线方程的一般式与其他形式的互化 点斜式 斜截式 y-yo=h(x-xo) y=hx+b 由于取点的不同， 由一般式得到的 一般式 B≠0 点斜式与两点式 Ax+Bv+C=0. 的形式不唯一 A,B不同时为0 两点式 截距式 Y-Y1 -x X2-X1 a+方=l(ab≠0 0y1y2x1≠x2) 知识点2直线方程的点法式 1.法向量 与直线的方向向量 的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量 都反映了直线的方向.若直线1经过点P,且一个法向量为，则直线l上不同于点P的 任意一点M都满足 ·反之，满足n·PM=0的任意一点M一定在直线1上。 2.直线方程的点法式 在平面直角坐标系中，已知直线1经过点P(xo,yo),且它的一个法向量为n=(A,B), 直线1上的任意一点M的坐标为(x,y),则方程 称为直线方程的点法式 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一直线方程的一般式 例.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 (1)斜率是3，且经过点A(5,3); (2)斜率为4，在y轴上的截距为-2； 010 (3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点； 规律方法： (4)在x轴，y轴上的截距分别为-3，-1； 1.在求直线方程 (5)经过点B(4,2),且平行于x轴. 时，设一般式方程有 时并不简单，常用的 还是根据给定条件选 出四种特殊形式之一 求方程，然后可以转 化为一般式 2.当直线方程Ax +By+C=0的系裁 P[规律方法]A,B,C满足下列条 》对点训练1 件时，直线Ax+By+ (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. C=0有如下性质： (1)当A≠0，B ①斜率是-2，且经过点4(8，-6)的直线方程为 ≠0时，直线与两条 ②在x轴和y轴上的截距分别是和-3的直线方程为】 坐标轴都相交： (2)当A≠0，B ③经过点P(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为 =0,C≠0时，直线 (2)直线1：3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线1'的方程为 只与x轴相交，即直 线与y轴平行，与x ( 轴垂直： A.4x-3y+5=0 B.4x-3y-5=0 (3)当A=0,B C.3x+4y-5=0 D.3x+4y+5=0 ≠0，C≠0时，直线 题型二直线方程的点法式 只与y轴相交，即直 例2已知直线1经过点4(3,2)，而且=(3，-4)是直线1的一个法向量， 线与x轴平行，与y 求直线1方程的一般式。 抽垂直· (4)当A=0,B ≠0，C=0时，直线 与x轴重合： (5)当A≠0，B =0,C=0时，直线 与y轴重合 对点训练2 已知P是直线1上一点，且y是直线1的一个法向量，根据下列条件分别 求直线1的方程： (1)P(1,2),v=(3,-4); (2)P(-1,2),y=(3,4). 011 题型三含参数的直线的一般式方程 例3.)设直线1的方程为a-1)x+y-2-a=0(aeR).若直线1不过 规律方法： 第三象限，则a的取值范围为 含参数的一般式 (2)设直线1的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3)，根据下列条 的处理方法 件分别确定飞的值： （1)若方程Ax ①直线l的斜率为-1： +By+C=0表示直 ②直线1在x轴，y轴上的截距之和等于0. 线，则需满足A,B不 同时为0. (2)令x=0可 得在y轴上的裁距： 令y=0可得在x轴上 的裁距.若确定直线 斜率存在，可将一般 式化为斜裁式 [规律方法] 对点训练3 直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°，则实数a=: ●易错警示 因忽视截距为0的情况而致错 例 4.求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线1的方程的一 般式。 [错解]设直线方程为x+Y=1, aa 将x=2,y=3代入，得2+3 +2=1,解得a=5. aa 故所求的直线方程为x+y-5=0. [辨析]忘记截距为0的情况，而导致丢解. [正解] 012 课堂检测 固双基 1.直线x-y-1=0与坐标轴所围成的三角形面3.直线ax+3my+2a=0(m≠0)过点(1，-1)， 积为 () 则直线的斜率k等于 () B.2 C.1 A.-3 B.3 2.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形 c n号 只能是 )4.直线1经过点P(2,-1),且它的一个法向量 n=(-3,-4),则直线l的方程为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合 1.以法向量为主线，学习 2.理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件 两条直线位置关系与方 3.会利用法向量推导出两条直线垂直的条件：AA2+BB2=0和 程系数的关系 2.通过判断两条直线的位 k,2=-1,并能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题， 置关系，培养数形结合 4.会求两条相交直线的交点坐标， 思想 必备知识探新知 知识点1两条直线平行 1.几何方法判断 对于两条不重合的直线11，l2,倾斜角分别为1,2，则 是11∥12的充要条件. 对于两条不重合的直线L1:y=kx+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥L2台 ;l1与l2 相交台 2.向量方法判断 对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B,不全为0)，l2;A2x+B2y+C2=0(A2,B2不 全为0)， 它们的法向量分别是n1=（A1,B1),2=(A2,B2), (1)l,与l2相交（即只有一个交点）的充要条件是n1与2不共线，即 (2)l1与l2平行的充要条件是n1与n2共线，即