1.2.3 直线与圆的位置关系(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦直线与圆的位置关系，通过“大漠孤烟直，长河落日圆”诗句及太阳落山图片导入，引导学生从直观情境发现位置关系，再结合几何法（距离与半径比较）和代数法（判别式）构建知识体系，形成从情境到抽象的学习支架。 资料突出直观想象与数学运算核心素养，题型含一题多解、母题探究及跟踪训练，通性通法总结提炼解题规律，帮助学生多角度理解知识，培养数学思维，习题分层且结合月考真题，提升应用能力，便于教师教学与学生自主学习。

2.3　直线与圆的位置关系 课标 要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（直观想象、数学运算）. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想（直观想象、数学运算）. 　　 　　“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片. 【问题】　（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？ （2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线与圆的位置关系 已知直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）和圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　 个 　 个 　 个 判断方法 几何法：设圆心C（a，b）到直线l的距离为d＝　　　　（A，B不全为0） 　 　 　 代数法： 由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ 　 　 　 【想一想】 1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？ 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？ 3.当直线与圆相交时，你能推导用半径r与弦心距d表示弦长的方法吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（　　） （2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（　　） （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（　　） （4）过圆外一点的直线与圆相离.（　　） 2.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为（　　） A.0或2 B.2 C. D.无解 3.（2025·河源月考）若直线x－y＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝m相离，则实数m的取值范围是（　　） A.（0，2]　 B.（1，2] C.（0，2）　 D.（1，2） 4.直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于　　　　. 　　 题型一　直线与圆的位置关系 〔一题多解〕直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0（a∈R）与圆（x＋1）2＋y2＝25的位置关系是（　　） A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 判断直线与圆的位置关系的方法 （1）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断； （2）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. 特别地当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切. 1.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　） A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切 2.已知点（a，b）在圆C：x2＋y2＝r2（r≠0）的外部，则直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是（　　） A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 题型二　切线问题 （2026·福州月考）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线方程. 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？ 2.（变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？ 通性通法 1.过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解. 3.求切线长（最值）的两种方法 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； （2）几何法：把切线长（最值）问题转化为圆心到直线的距离问题. 1.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 2.切线的倾斜角为135°，且与圆O：x2＋y2＝25相切，则其切线方程为　　　　. 题型三　弦长问题 〔一题多解〕求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长. 尝试解答 【母题探究】 　（变条件，变设问）若本例改为“过点（2，0）的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为”，求该直线方程. 通性通法 求弦长常用的3种方法 （1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题； （2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点为（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x1－x2｜＝. 1.若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为　　　　. 2.过点（3，1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长为　　　　. 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是（　　） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.直线x－3y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－3）2＝10相交所得弦长为（　　） A. B. C.4 D.3 3.过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P（3，3）的切线方程为（　　） A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 4.过点P（2，3）且与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相切的直线方程为　　　　　　　　. 完成课后作业　第一章　§2　2.3 答案 2.3　直线与圆的位置关系 【基础落实】 新知初探 知识点 2　1　0　　d＜r　d＝r　d＞r　Δ＞0　Δ＝0　Δ＜0 想一想 1.提示：一定. 2.提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径. 3.提示：如图， 直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为｜AB｜，则有（）2＋d2＝r2，即｜AB｜＝2. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　 （3）√　（4）× 2.B　由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0（舍去）或m＝2. 3.C　由题意得圆心到直线的距离为d＝＞，∴m＜2.∵m＞0，∴0＜m＜2.故选C. 4.4　解析：圆的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25.故圆心为（3，4），半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4. 【典例研析】 【例1】　C　法一（代数法）　联立直线与圆的方程，消去y并整理得（a2－2a＋2）x2＋2a（2a－1）x＋（2a＋1）2－24＝0，则Δ＝[2a（2a－1）]2－4（a2－2a＋2）[（2a＋1）2－24]＝8（12a2－27a＋23）.由于（－27）2－4×12×23＜0，则12a2－27a＋23＞0，即Δ＞0，故直线与圆相交. 法二（几何法）　圆（x＋1）2＋y2＝25的圆心的坐标为（－1，0），半径r＝5.圆心到直线的距离d＝＝.而d2－r2＝（）2－52＝－2×，由a2－2a＋2＞0与12a2－27a＋23＞0知d2－r2＜0，即d＜r，故直线与圆相交. 法三　将直线方程化为（x＋2）a－（x＋y－1）＝0，由得即直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0过定点（－2，3）.又（－2＋1）2＋32＝10＜25，所以定点（－2，3）在圆（x＋1）2＋y2＝25的内部，故直线与圆相交. 跟踪训练 1.C　直线x－ky＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0）在圆上，故直线与圆相切或相交. 2.C　由题意知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交. 【例2】　解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点M在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2）， 即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1，故＝1，解得k＝. 所以切线方程为24x－7y－20＝0. 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 母题探究 1.解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1， 故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在. 因为圆的切线垂直于经过切点的半径， 所以所求切线的斜率k＝0， 所以切线方程为y＝－2. 2.解：由题知，设切线长为d， d＝ ＝＝7. 跟踪训练 1.C　由题意易知圆心C（－1，2），半径长r＝，点（a，b）在直线y＝x－3上，所以点（a，b）与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4. 2.x＋y＋5＝0或x＋y－5＝0 解析：由于切线倾斜角为135°，则切线的斜率为－1，设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得2x2－2bx＋b2－25＝0，∵直线与圆相切，∴Δ＝（－2b）2－4×2（b2－25）＝0，解得b＝±5，所求切线方程为x＋y－5＝0或x＋y＋5＝0. 【例3】　解：法一　圆C：x2＋y2－2y－4＝0，可化为x2＋（y－1）2＝5， 其圆心坐标为（0，1），半径r＝. 点（0，1）到直线l的距离为d＝＝， 所以截得的弦长为2＝. 法二　设直线l与圆C交于A，B两点. 由得交点A（1，3），B（2，0）， 所以弦AB的长为｜AB｜＝＝. 母题探究 解：由例题知，圆心C（0，1），半径r＝，又弦长为，所以圆心到直线的距离d＝＝＝. 又直线过点（2，0），知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k（x－2）， 所以d＝＝， 解得k＝－3或k＝， 所以直线方程为y＝－3（x－2）或y＝（x－2）， 即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0. 跟踪训练 1.0或4　解析：由圆的方程，可知圆心坐标为（a，0），半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以｜a－2｜＝2，解得a＝4或a＝0. 2.2　解析：设点A（3，1），易知圆心C（2，2），半径r＝2.易知点A在圆内，当弦过点A（3，1）且与CA垂直时为最短弦，｜CA｜＝＝，∴半弦长为＝＝，∴最短弦的长为2. 随堂检测 1.B　∵圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝＜1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，又（0，0）不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心. 2.A　圆（x－1）2＋（y－3）2＝10的圆心坐标为（1，3），半径r＝，圆心到直线x－3y＋3＝0的距离d＝＝＝，故弦长为2＝，故选A. 3.B　x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C（1，2），kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，∴切线方程为y－3＝－2（x－3），即2x＋y－9＝0. 4.x＝2或y＝3　解析：∵P（2，3）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝1外，∴过点P（2，3）与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相切的直线有两条.当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k（x－2），即kx－y＋3－2k＝0，∴＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3，当斜率不存在时，切线方程为x＝2. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $