1.2.1 圆的标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

020 §2圆与圆的方程 2.1圆的标准方程 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的1.学习掌握求圆的标准方程常用的三种方法.提 标准方程的特征. 高数学抽象，直观想象，逻辑推理以及数学运算 2.能根据所给条件求圆的标准方程. 等核心素养。 3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关2.深挖圆的几何特征，利用数形结合思想提高解 问题 题能力 必备知识探新知 知识点1 圆的标准方程 平面内到定点的距离等于 的所有点的集合（或轨迹）是圆，定点是 圆的定义 定长是圆的 基本要素 确定一个圆的基本要素是 和 圆的标准方程 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是 知识点2点与圆的位置关系 判断方法 位置关系 图示 几何法 代数法 M· 点M(xo,y。)在圆A内 A IMAI <r (x-a)2+(y。-b)2<r2 点M(x。,y)在圆A上 IMAl =r (-a)2+(y。-b)2=r2 M M 点M(x,y)在圆A外 IMAI >r (x-a)2+(y0-b)2>2 知识点3圆x2+y2=2(r>0)的几何性质 1.范围 圆上任意一点P(x,y)都满足不等式，y≤r 2.对称性 圆x2+y2=r2是关于 和 的轴对称圆形，也是关于 的中心对称圆形 021 关键能力攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一求圆的标准方程 1.确定圆的标准 方程只需确定圆心坐 例1.)圆心在点C(2,1),半径长是5的圆的标准方程为 标和半径，因此用直 (2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为 接法求圆的标准方程 时，要首先求出圆心 坐标和半径，然后直 (3)已知两点A(-1,-3),B(3,α)，以线段AB为直径的圆经过原点， 接写出圆的标准 则该圆的标准方程为 [规律方法] 方程. 2.确定圆心和半 )对点训练1 径时，常用到中点坐 (1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是 () 标公式、两点间距离 A.(x+1)2+(y+2)2=100 公式，有时还用到平 B.(x-1)2+(y-2)2=100 面几何和识，如“弦 C.(x+1)2+(y+2)2=25 的中垂线女过圆心“ “两条弦的中垂线的 D.(x-1)2+(y-2)2=25 交点女为圆心”等 (2)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)的圆的标准方程为 题型二点与圆的位置关系 规律方法： 例2已知两点P(4,9)和P(6,3),求以PP,为直径的圆的方程，并判断 点与圆的位置关 系的判断方法： M(6,9),Q(5,3)是在圆上？圆外？圆内？ (1)几何法：利 [分析](1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半径， 用圆心到该点的距离 (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半 d与圆的半径r 比较： 径的大小关系来判断. (2)代裁法：直 接利用下面的不等式 判定： ①(x-a)2+(y0 -b)2>2,点在圆外： ②(x0-a)2+(y0 -b)2=2,点在圆上； ③(x-a)2+(y0 -b)2<2,点在圆内. ●[规律方法] )对点训练2 若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围 是 A.(-1,1) B.(-3,N3) C.（-2,2) -2 022 ●易错警示 对圆心位置考虑不全致错 例 .已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程. 错解]如图，由题设知|AB1=8,IAC1=5. 在Rt△AOC中， 10C1=√1AC2-10A =√52-42=3. .C点坐标(3,0)， .所求圆的标准方程为(x-3)2+y2=25. [辨析]由题意知，1OC1=3,C在x轴上，则C可能在x轴正半轴上，也可 能在x轴负半轴上，错解只考虑了在x轴正半轴上的情况. [正解] [误区警示]借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题， 就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致. 课堂检测 固双基 1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别5.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 为 （)x+y-2=0上的圆的标准方程 A.（-1,2),2 B.(1,-2),2 C.（-1,2),4 D.(1,-2),4 2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内 部，则实数a满足 B.a<3 1 A.lal<1 C.lal< D.la<结 3.已知圆M经过点A(-2,0),B(0,4),C(0,0), 则圆M的标准方程为 4.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3= 夯基提能作业 0对称的圆的标准方程是 请同学们认真完成练案[6 2.2 圆的一般方程 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.理解圆的一般方程及其特点. 1.注意区分圆的方程与二元二次方程，明确二元 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化， 二次方程表示圆的条件， 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的2.根据圆的一般方程求圆的圆心与半径时，可以直接 轨迹方程问题. 利用公式，也可以先将方程配方为标准方程，所以156+8=0所以长=-音 故所求直线方程为y-5=一号(x+3), 即8x+15y-51=0. 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=-3也满足题意。 (2 故满足题意的直线l的方程为8.x+15y-51=0或x=-3. 则由图②可知，1OE1-1OF1即为所求 ! ÷10E1-10F1=-15L-1-10L 课堂检测固双基 /32+4F√32+4 =1,即两平行线间1.D1AC1=3-(-1)]+(4-0)7=42, 的距离为1. 1CB1=/(5-3)2+(6-4)2=22, 解法三：直线1、42的方程可化为 4C-42-2 3x+4y-10=0,3x+4y-15=0. ·1CB122 则两平行线间的距离为 2.Dd=I-1-1u =2,故选D. 4-0-号-1 √1+0 32+4 3.Bd=1--1=2 对点训练3：C由题意得m=6,.∴.直线4x+y+7=0化为 2+12 7 4.-1 82 由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1. 2x+3y+2=0,故两平行直线之间的距离 1-25E 3 22+3 26 经过验证，m=3时两条直线重合，舍去..m=-1. 例4：如图所示，点A,B在直线1两侧： 直线(1：x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0,分别化为 设点B关于直线I的对称点B的坐 2 标为(a,b),则ks·k1=-1,即3.6-4 x-y+6=0,x-y+=0 B =-1. .它们之间的距离为 6- 所以a+3b-12=0. ① 2 3 又由于线段BB'的中点坐标为234x5.(1)解法一：：1AB1=√(3+3)+(-3-1)了=2 (受，生)且在直线1上，所以3×受 =213, b+4-1=0,即3a-b-6=0, 1AC1=√(1+3)2+(7-1)2=√52=213， ② 2 又IBC1=√(1-3)2+(7+3)=√104=2√26 解①②得a=3,b=3,所以B'(3,3), .IABI2+IACI2=IBCI2,ABI IACI, 于是B所在直线的方程为二引专即2x+y-9=0 ·.△ABC是等腰直角三角形. 解法=c7名63=子 7-1 -3-1 由8x-y-=0解得=2， 2x+y-9=0, Ly=5, kc·kB=-1,AC⊥AB. 即直线l与直线AB'的交点坐标为(2,5) 又4C1=√(1+3)2+(7-1)7=52=23， 该交点即为点P,此时PAI与IPB1差值最大，所以点P(2, 1AB1=√(3+3)2+(-3-1)7=√52=2/3， 5)为所求. .IAC1=IAB1,△ABC是等腰直角三角形. 对点训练4：(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点 到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kop=1, (2)S%w=214C·MB1=x(V5@2-26, ∴.OP所在直线方程为y=x. .△ABC的面积为26 由0解得= 1x+y-4=0, ly=2. §2圆与圆的方程 P点坐标为(2,2) 2.1圆的标准方程 (2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离 最大， 必备知识探新知 :6=2所求直线方程为y-2=(x-10,即x+2 知识点1定长圆心半径圆心半径(x-a)2+ (y-b)2=2(r>0) -5=0. 知识点31.Ix1≤r2.x轴y轴原点 例5：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y-5=(x+关键能力攻重难 3),整理，得kx-y+3h+5=0. 例1：(1)(x-2)2+(y-1)2=3(2)(x-8)2+(y+3) 所以原点到该直线的距离d=13+5=3, =25 k2+1 (3)(x-1)2+(y+2)2=5A(-1,-3),B(3,a),则以 -298 线段为直径的圆的圆心c1.“2) 故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1. 5.设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 半径r=141-3+1)+3+a 16+(3+a)2 根据已知条件可得 2 2 r(1-a)2+(-1-b)2=r2 a=1, 故圆的方程为x-)+(-2)-16+经+少 (-1-a)2+(1-b)2=r2,解此方程组得b=1, 4 ① a+b-2=0. (r=2. 因为以线段AB为直径的圆经过原点， 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 故(0,0)代人①成立，解得a=-1. 故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5. 2.2圆的一般方程 对点训练1：(1)D:AB为直径AB的中点(1,2)为圆心， 必备知识探新知 B1=35+3)+(5+=5为半径， 知识点1（号.-5）子D+E-4F .该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 知识点21.> <2.等量关系式 (2)(x+5)2+(y+3)2=25:圆心坐标为(-5，-3)，又 关键能力攻重难 与y轴相切， 例1：由表示圆的条件，得(2m)2+（-2)2-4(m2+5m)> .该圆的半径为5， ·该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. 0,解得m<5,即实数m的取值范围为(-女，号} 例2：由已知条件可得圆心坐标为C(5,6),半径为r= 圆心坐标为(-m,1),半径为√1-5m. 之PP,1=√而，则由圆的标准方程得以PP,为直径的圆的方 对点训练1：(1)A因为x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆， 则16+4-4×5k>0,所以k<1. 程为(x-5)2+(y-6)2=10,易判断点M在圆上，点Q在圆内. (2)D.圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0, 对点训练2：C.(0.0)在(x-m)2+(y+m)2=4的内部，则有 .圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从 (0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<2,故选C. 而对于圆C的半径r有2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以 例3：正解一：如图，由题设1AC1=r=5,IAB1=8,∴.IA01=4 !当m=1时，r2取得最小值， 在Rt△A0C中，I0C1=√1AC2-IA0P=52-4=3. 从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值 设点C坐标为(a,0),则10C1=1al=3,.a=±3.∴.所求 例2：方法一（待定系数法）：设圆的标准方程为(x-a)2+ 圆的标准方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25. (y-b)2=r2(r>0),因为A,B,C三点都在圆上， y r(-a)2+(5-b)2=r2, ra=-3 所以(1-a)2+(-2-b)2=r2,解得b=1, 【(-3-a)2+(-4-b)2=r2, r=5. 所以圆的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=25,化为一般方 程即x2+y2+6x-2y-15=0. 方法二（几何性质法）：易知线段AB的中点为（分，），斜 正解二：由题意设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=25. 率为ka=-7,线段BC的中点为(-1，-3)，斜率为kc=7 ,圆截y轴所得线段长为8，.圆过点A(0,4) 代人方程得a2+16=25,.a=±3，.所求圆的标准方程为 所以线段4B的中垂线为y-子=(-)，即x-)+ (x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25. !10=0①， 课堂检测固双基 线段BC的中垂线为y+3=-2(x+1),即2x+y+5=0 1.A ②， 2.D依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1, 联立①②可解得x=-3,y=1,以所求圆的圆心为(-3， 所以心<g即la<高故选D 1). 设圆的半径为r,则2=(-3)2+(1-5)2=25， 3.(x+1)2+(y-2)2=5设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2 故所求圆的标准方程为(x+3)2+(y-1)2=25,化为一般 r(2+a)2+B=r2, ra=-1, 方程即x2+y2+6x-2y-15=0. =2,则a2+(4-b)2=r2,解得b=2,所以圆M的标准方 对点训练2：x2+y2+4x-4y-2=0设所求圆的方程为 a2+2=r2, r=5, x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0) 程为(x+1)2+(y-2)2=5. 因为此圆过A,B,C三点， 4.(x-4)2+y2=1设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对 r12+32+D+3E+F=0, 称的点B的坐标为(a,b), 所以{(-1)2+(-1)2-D-E+F=0, l(-3)2+52-3D+5E+F=0, 则23（1)三-1， 解得，a4, D=4, 6分-3=-0 b=0, 解得{E=-4,.该圆的一般方程为x2+y2+4x-4y-2=0. 2 2 LF=-2 -299