1.2.2 圆的一般方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦“圆的一般方程”，通过隧道、拱桥等生活实例导入，衔接圆的标准方程展开过程，提出方程形式及参数条件问题，引导学生从具体到抽象构建知识支架。 以问题驱动逻辑推理，通过配方法与系数判断法辨析方程表示的图形，结合待定系数法求方程及轨迹问题，培养数学运算能力，分层训练设计助力自主探究，提升用数学语言表达现实问题的能力。

2.2　圆的一般方程 课标 要求 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程（逻辑推理）. 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程（数学运算）. 　　 　　我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数. 【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于x，y的二次项系数为1，且不含xy的项二元二次方程的形式？ （2）若一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程表示圆，则D，E，F应满足什么条件？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆的一般方程 1.圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示　　　　　 D2＋E2－4F＞0 表示以　　　　　　为圆心， 以　　　　　　为半径的圆 提醒：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（其中D，E，F为常数）具有以下特点：①x2，y2项的系数均为1；②没有xy项；③D2＋E2－4F＞0. 【想一想】 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.（　　） （2）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.（　　） （3）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　　） （4）任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.（　　） 2.已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是（　　） A.3x－2y＋1＝0 B.3x＋2y＋1＝0 C.3x＋2y＝0 D.3x－2y＝0 3.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是　　　　. 　　 题型一　圆的一般方程的辨析 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； 尝试解答 （2）圆心坐标和半径. 尝试解答 通性通法 　　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 （1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆； （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数. 1.〔一题多解〕（2026·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 2.〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（　　） A.m＝－1 B.m＝1 C.圆心为（－1，－2） D.圆心为（1，－2） 题型二　求圆的一般方程 已知圆P经过点A（－1，2），B（6，3）且圆心在直线x＋y－2＝0上，则圆P的方程为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　 通性通法 待定系数法求圆的方程的解题策略 （1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r； （2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 求满足下列条件的圆的一般方程： （1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为； （2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距之和为－2. 题型三　求动点的轨迹方程 〔一题多解〕已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求： （1）直角顶点C的轨迹方程； （2）直角边BC的中点M的轨迹方程. 尝试解答 通性通法 代入法求轨迹方程的一般步骤 （2026·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半. （1）求动点M的轨迹方程； （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹. 1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（　　） A.（4，－6），16 B.（2，－3），4 C.（－2，3），4 D.（2，－3），16 2.（2026·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（　　） A.直线 B.线段 C.圆 D.半圆 3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（　　） A.m＜1 B.m＞1 C.m＜ D.＜m＜1 4.若曲线C：x2＋y2－2ax－4ay＋4a2－3＝0上所有的点都在x轴上方，则a的取值范围是　　　　. 完成课后作业　第一章　§2　2.2 答案 2.2　圆的一般方程 【基础落实】 新知初探 知识点 2.一个点（－，－）　（－，－）　 想一想 提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－，－）. ②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　 （4）√ 2.C　圆心为C（2，－3）在直线3x＋2y＝0上.故选C. 3.　解析：方程表示圆⇔1＋1－4k＞0⇔k＜. 【典例研析】 【例1】　解：（1）由题意知D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为. （2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m， 故圆心坐标为（－m，1），半径r＝. 跟踪训练 1.D　法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）. 法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D. 2.BD　根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D. 【例2】　x2＋y2－6x＋2y－15＝0 解析：设圆P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得所以圆P的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0. 跟踪训练 解：（1）由题意得圆心C（－，－）， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－－1＝0，即D＋E＝－2， ① 又半径r＝＝， ∴D2＋E2＝20， ② 由①②可得或 又圆心在第二象限，∴－＜0，－＞0，即D＞0，E＜0. ∴∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. （2）设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）. ∵圆经过点（4，2）和（－2，－6）， ∴ 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D. 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋（－E）＝－2， 即D＋E－2＝0. ③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 【例3】　解：（1）法一　设顶点C（x，y），因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1. 又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1， 所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3，且x≠－1）. 法二　同法一得x≠3，且x≠－1. 由勾股定理得｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2， 即（x＋1）2＋y2＋（x－3）2＋y2＝16， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3，且x≠－1）. 法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知，｜CD｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）. （2）设点M（x，y），点C（x0，y0）， 因为B（3，0），M是边BC的中点， 由中点坐标公式得x＝（x≠3，且x≠1），y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y. 由（1）知，点C在圆（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）上运动，将x0，y0代入该方程得（2x－4）2＋（2y）2＝4， 即（x－2）2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（x≠3，且x≠1）. 跟踪训练 解：（1）设动点M的坐标为（x，y）. 因为A（2，0），B（8，0）， ｜MA｜＝｜MB｜. 所以（x－2）2＋y2＝[（x－8）2＋y2]. 化简得x2＋y2＝16. 即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. （2）设点N的坐标为（x0，y0）， 因为A（2，0），N为线段AM的中点， 所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）. 又点M在圆x2＋y2＝16上， 所以（2x0－2）2＋4＝16， 即得（x0－1）2＋＝4. 所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆. 随堂检测 1.C 2.C　设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴＝2，两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝4.∴P的轨迹为圆.故选C. 3.A　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，表示圆的条件是42＋（－2）2－4×5m＞0，解得m＜1. 4.（1，＋∞）　解析：曲线C：x2＋y2－2ax－4ay＋4a2－3＝0可化为（x－a）2＋（y－2a）2＝a2＋3，∵a2＋3＞0，∴该曲线为圆，且圆心C（a，2a），半径r＝，由题得即∴a＞1. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $