1.1.3 第1课时直线方程的点斜式和两点式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

.005 1.3直线的方程 第1课时直线方程的点斜式和两点式 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.理解直线与方程的关系， 1.能根据所给条件的不同，选取不同 2.理解点斜式方程和斜截式方程的推导，并能明确其适 的形式求直线的方程，培养数学运 用条件 算核心素养 3.理解两点式方程和截距式方程的推导，并能明确其适2.熟练掌握直线方程的各种形式，以 用条件 及它们的相互转化，便于以后与其 4.知道直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和参数 他相关知识进行综合学习，提高逻 含义 辑推理核心素养 必备知识探新知 知识点1直线方程的点斜式 1.直线的方程 -般地，如果一条直线1上的每一个点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都 在直线1上，那么这个方程称为 2.直线方程的点斜式 已知直线1经过点P(x,yo),且斜率为k,设Q(x,y)是直线1上不同于点P的任意一点，因为 点P,Q都在直线1上，所以-=k,即 称为直线方程的点斜式. x-xo 知识点2直线方程的斜截式 若直线1经过点(0，b)且斜率为k,则点斜式中的点P(x,y)就可以为点(0，b),所以该直线方 程的点斜式为y-b=k(x-0),即y=x+b.该方程中的k为直线1的斜率，b为直线l在y轴上的 。 称y=x+b为直线方程的 若直线1经过点P(xo,yo),且与x轴垂直，则直线1 的斜率 它的方程为 知识点3 直线方程的两点式、截距式 名称 两点式 截距式 条件 两点P(x1,y),P2(x2,2)(x1≠2y1≠y2) 两点A(a,0),B(0,b),ab≠0 方程 使用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 006 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一直线方程的点斜式 例若直线1满足下列条件，求其直线方程 (1)过点(-1,2)且斜率为3； (2)过点(-1,2)且与x轴平行； (3)过点(-1,2)且与x轴垂直 规律方法： 求直线的点斜式 方程的步骤：定点 （x,o)→定斜率k→ ·[规律方法] 写出方程y-y= 对点训练1 k(x-x0). 求满足下列条件的直线方程. 点斜式方程y-y0 (1)经过点A(2,5),斜率是4； =k·(x-x)可表示过 (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°； 点P(xoyo)的所有直 (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行； 线，但x=x,除外 (4)经过点D(1,1),与x轴垂直 题型二直线方程的斜截式 例2已知直线1的斜率为2，在)轴上的裁距为m (1)求直线1的方程； (2)当m为何值时，直线通过(1,1)点 [分析]已知直线的斜率及y轴上的截距可选用斜截式方程. 规律方法： 斜裁式是点斜式 的特例.应用点斜式 (或斜裁式)求直线 方程时，应注意直线 的斜率不存在的情 >[规律方法] 形.即需检验x=x0 )对点训练2 (或x=0)是否满足题 设要求 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是-3； 007 (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； 规律方法： (3)过点A(-1,-2)、B(-2,3). 1.当已知两点坐 标，求过这两点的直 线方程时，首先要判 断是否满足两点式方 程的适用条件：两点 的连线不平行于坐标 轴.若满足，则考虑用 两点式求方程 题型三直线方程的两点式 2.由于减法的顺 例3已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△BC中， 序性，一般用两点式 (1)求BC边所在的直线方程； 求直线方程时常会将 (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 字母或数宇的顺序错 位而导致错误，在记 忆和使用两点式方程 时，必须注意坐标的 对应关系，即x2与y2 是同一点坐标，而x 与少1是另一点坐标 规律方法： [规律方法] 对直线的裁距式方 程应注意以下几点 )对点训练3 (1)若直线1经过点A(2,-1),B(2,7),则直线1的方程为 (1)在方程x+ (2)若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上，则m= 名=1中，安求a大 题型四直线方程的截距式 例4已知点4(3,0)，B0,4),动点P心x,)在线段AB上运动，求y的最大值 0,b≠0，即直线在x 轴与y轴上的裁距都 不为0，因此它不能 表示过坐标原点或平 行于x轴、y轴的 直线 (2)当题目条件 中涉及裁距相等或互 为相反数时，若选用 ·[规律方法] 裁距式来求解，注意 裁距都为0，即直线 )对点训练4 过原点这种情况 在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是 A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0 008。 ●易错警示 误把截距当距离 例5.已知斜率为-号的直线1与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线1的方程 [错解] 令=0，得y=6:令y=0,得x=圣6 由题意得·6：()=6 ~b>0b=4直线1的方程为了=-手+4 [辨析] 上述解法的错误主要在于“误把直线在两坐标轴上的截距当作距离”. [正解] 课堂检测 固双基 1.过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为 ()5.已知直线1的斜率与直线3x-2y=6的斜率相 A.x-y-3=0 B.x+y-3=0 等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距 C.x+y+3=0 D.x-y+3=0 大1，求直线l的斜截式方程. 2.已知直线的方程是y+2=-x-1,则（ A.直线经过点(-1,2)，斜率为-1 B.直线经过点(2，-1)，斜率为-1 C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1 D.直线经过点(-2，-1)，斜率为1 3.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为 -2,则此直线的方程为 A.y=5x+2 B.y=-√3x+2 C.y=-3x-2 D.y=√3x-2 4.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角 的直线的斜截式方程是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2]2B设直线1的倾斜角为a,则na=,5=万-1，又ae (2)设BC的中点为M(a,b), 2+万 则a59=76=42》-3 2 2 [0,m),tan8= 11co4三2-1，所以a=,故选B 所以M(3,-3）, sin 4 又BC边的中线过点A(-3,2) “a0斜率-治总台 3.6 所以y-2,=-(-3）,即10x+11y+8=0. 4.(1)由2x+3y+6=0,得3y=-2x-6, 即=子-2 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0 对点训练3：(1)x=2由于点A与点B的横坐标相等，所 (2)当x=0时，y=-2,y=0时，x=-3, 以直线1方程没有两点式，所求的直线方程为x=2. .在坐标平面内作出两点，即A(0,-2), (2)-2由直线方程的两点式得，过A,B两点的直线方程 B(-3,0). 作出直线AB即为方程2x+3y+6=0的直线. 为2即y=+1 (3)将（子，1）的坐标代入2x+3y+6=0不满足， 又因为点P(3,m)在直线AB上，所以m=-3+1=-2. 点（多）不在直线1上 例4：由题意，得1：行+子=1，所以线段AB的方程为 !4x+3y-12=0(0≤x≤3). (4)虽然以方程2x+3y+6=0(x∈Z)的解为坐标的点都在直 线！上，但直线1上的点的坐标不都是该方程的解，如点 所以灯=(4 3 ; c(-之，-1小e1,但任-云却不是该方程的解 Ly=-1 所以当x=子时，灯取得最大值3。 ∴.方程2x+3y+6=0(x∈Z)不是直线l的方程. 对点训练4：B根据直线方程的截距式写出直线方程 1.3直线的方程 +子=1，化简得4-3y+12=0,放选B x 第1课时直线方程的点斜式和两，点式 例5：设1=号+6， 必备知识探新知 知识点11.直线l的方程2.y-y。=k(x-x) 令x=0,得y=令y=0,得x=子 知识点2截距斜截式不存在x=, 知识点3=告+方=1 由题盒，得号11·-6公=66=4 y2-y1 x2-x1 a 关键能力攻重难 放直线！的方程为y=一手士4 例1：(1)由直线的点斜式方程可得y-2=3[x-(-1)],课堂检测固双基 即y-2=3(x+1). 1.B由两点(0,3)，(2,1)，可得过两点的直线的斜率为k= (2)由于直线的斜率为0，故直线方程为y=2. ! 是81 (3)由于直线斜率不存在，故直线方程为x=-1. 对点训练1：(1)y-5=4(x-2). 又由直线的点斜式方程，可得y-3=-1×(x-0),即x+y- 3=0. (2)·直线的倾斜角为45°，∴.直线的斜率为1， 故选B. .直线方程为y-3=x-2. 2.C由y+2=-x-1,得y+2=-（x+1),所以直线的斜率为 (3)y=-1. -1,过点(-1，-2). (4)x=1. 例2：(1)利用直线的斜截式方程，可得方程为y=2x+m. :3.Da=60°，k=tan60°=5， (2)只需将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m, .直线1的方程为y=5x-2. .m=-1. 4.y=5x-6或y=-3x-6因为直线与y轴相交成30°角， 对点训练2：(1)y=3x-3 所以直线的倾斜角为60°或120°， (2).…k=tan60°=3，∴.y=3x+5. 所以直线的斜率为√5或-5， (3)kB=-5,.直线AB的方程为y-3=-5(x+2),化为 又因为在y轴上的截距为-6， 斜截式y=-5x-7. 所以直线的斜截式方程为y=5x-6或y=-5x-6. 例3：(1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2), 由两点式，得为着二3即2x+5+10=0, 5.由题意知，直线1的斜率为2 3 故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0. ! 故设直线1的方程为y=之x+b, -294 1在x轴上的截距为-子，在y轴上的截距为6， 2 由题意得-一3=-1，解得k=5 所以子0-6=16=号 ②直线1的方程可化为”3+之=1. 所以直线1的斜载式方程为y=子-子 。3 由题意得k-3+2=0,解得k=1. 对点训练3：-子 依题意可知k=tan45°=1， 第2课时直线方程的一般式和点法式 所以-207a+3=1,且42-9≠0. 必备知识探新知 a2-9 知识点11.二元一次方程 一条直线Ax+By+C=0 解得a=-子或a=3(含去)小 (其中A,B不全为0) 知识点21.垂直n·P=02.A(x-xo）+B(y-y0) H- 例4：(1)当截距为0时，直线1过点(0,0)，(2,3)， =0 关键能力攻重难 11111 所以直线1的斜率为k=?0=3 2-0-21 x,即3x-2y=0. 3 所以直线的方程为y= 例1：(1)由点斜式，得直线方程为y-3=√5(x-5),即3x -y-5√3+3=0. (2)当截距不为0时，可设直线1的方程为x+上=1. (2)由斜截式，得直线方程为y=4x-2, 即4x-y-2=0. 因为直线1过点P(2,3),所以2+3=1，得a=5 （3由两点式.得宜线方程为名)-二（二} 所以直线l的方程为x+y-5=0. 综上可知，直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0. 即2x+y-3=0. 课堂检测固双基 (4)由裁距式，得直线方程为号+子=1 1.D令x=0,y=-1,令y=0,x=1,∴.所求三角形面积为S= 即x+3y+3=0 ×1x1-11=分 1 (5)y-2=0. i2.C.ac<0,bc<0, 对点训练1：(1)①x+2y+4=0②2x-y-3=0③x+y -1=0 .令y=0,x=-C>0, (2)A在直线'上任取一点(xy),此点关于直线x+y=0 的对称点A(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上， 令x=0,y=-6>0, .3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0, 1 ∴.直线ax+by+c=0在x轴y轴上的截距都为正数，故选C. 故选A. :3.D由题意得a-3m+2a=0,a=m. 例2：解法一：设P(x,y)为平面直角坐标系中任意一点， 又直线+3my+2a=0的斜率么=3品=分 1 则点P在直线1上的充要条件是AP与v=(3,-4)垂直. 又因为AP=(x-3,y-2),所以3×(x-3)+(-4)×(y- !4.3x+4y-2=0由直线的点法式方程可得直线1的方程为 2)=0,整理可得方程为3x-4y-1=0. -3(x-2)-4(y+1)=0,即3x+4y-2=0 解法二：因为=(3，-4)是直线1的一个法向量， 1.4两条直线的平行与垂直 所以可以设1的方程为3x-4y+C=0 代人点A(3,2),可求得C=-1,因此直线1的方程为3x- 1.5两条直线的交点坐标 4y-1=0. 对点训练2：(1)直线1过点P(1,2),其法向量是，=(3，必备知识探新知 -4), 知识点11.a1=a2k1=k2k1≠k22.(1)A1B2≠AB .直线l的方程是3(x-1)+(-4)(y-2)=0,整理，得 (2)A1B2=A2B 3x-4y+5=0. 知识点21.kk2=-12.A1A2+B1B2=0 (2)直线1过点P(-1,2),其法向量是v=(3,4), 知识点32.相交重合平行 ∴.直线l的方程是3(x+1)+4(y-2)=0, 关键能力攻重难 整理，得3x+4y-5=0. 例1：：直线1：x+y+6=0, 例3：(1)[1，+∞)把直线1化成斜截式，得y=（1-a)x 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, +a+2,因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于 .A=1,B=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m (1)若1与2相交，则A1B2-A2B1≠0，即1×3-m(m-2) 零，且直线在y轴上的截距大于等于零即-a≤0 a+2≥0 解得a≥≠0，即m2-2m-3≠0， 1.所以a的取值范围为[1，+∞). 即(m-3)(m+1)≠0，即m≠3且m≠-1. (2)①因为直线（的斜率存在，所以直线I的方程可化为 故当m≠3且m≠-1时，直线（与2相交， 2 [AB2-A2B1=0, y=k3+2. (2)若112，则有 B,C2-B2C1≠0， -295