1.1.5&1.1.6 第2课时 点到直线及两条平行直线间的距离公式(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦点到直线及两条平行直线间的距离公式，通过铁路与仓库距离、铁轨轨距等现实情境导入，引导学生从实际问题抽象数学概念，衔接直线方程知识，以定义对比、公式推导和易错提醒为学习支架。 资料以问题链驱动探究，设置自我诊断、分层题型及通性通法总结，拓展对称问题应用。通过现实情境培养数学眼光，公式推导与运算训练发展逻辑推理和数学运算素养，分层习题助力学生自主学习，便于教师评估教学效果。

第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式 课标 要求 1.探索并掌握点到直线的距离公式（逻辑推理）. 2.会求两条平行直线间的距离（数学运算）. 　　在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短. 　　在火车出现之前，铁轨就已经存在了，当时人们利用马车将煤用铁轨运出，所以铁轨的轨距，就是马车的车轮距.中国高速铁路的铁轨宽度通常为1 435毫米，是现在大部分普快、货运铁路的标准轨道宽度. 【问题】　（1）将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ （2）什么是两条平行直线间的距离？ （3）平行线间的距离和点到直线的距离有什么区别和联系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　点到直线及两条平行直线间的距离公式 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长 夹在两条平行直线间的公垂线段的长 公式 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝　　　　（其中A，B不全为0） 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0（其中A，B不全为0，且C1≠C2）之间的距离d＝　　 提醒：（1）利用点到直线的距离公式时直线的方程必须是一般式； （2）使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式；二是两直线方程中x，y的系数分别对应相等. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式就不适用了.（　　） （2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　　） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.（　　） （4）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.（　　） 2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（　　） A.1 B. C. D.2 3.若第二象限内的点P（m，1）到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为　　　　. 4.直线y＝2x与y＝mx＋n（n＞0）平行且距离为，则mn＝　　　　. 　　 题型一　点到直线的距离 （1）已知点P（－1，2），则点P到直线l1：y＋3＝0，l2：3x－4y＋6＝0的距离分别为（　　） A.5，1　 　B.1，1 C.5，3　 　D.3，1 （2）垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离是的直线l的方程是　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜； （3）若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求参数即可. 　已知坐标平面内两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为　　　　. 题型二　两条平行直线间的距离 （1）已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，则它们之间的距离是（　　） A.2　 　 B.4 C.　 　 D.2 （2）平行线l1：3x－2y－5＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 求两条平行直线间距离的方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求； （2）公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，即两条平行直线间的距离d＝. 1.求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程为　　　　. 2.已知直线l1，l2分别是经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　. 题型三　距离的综合应用 已知在▱ABCD中，A（－1，－1），C（1，1），点B位于第四象限. （1）求直线AC的方程； （2）若　　　　时，求点B的坐标.（从下面三个条件中任选一个，补充在问题中并作答） ①△ABC是等边三角形；②过点E（，）垂直于AC的直线分别交坐标轴于M，N两点，且MN∥BD，｜MN｜＝｜BD｜；③点E（－2，0），AE∥BD，且▱ABCD的面积为4. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 尝试解答 通性通法 　　利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题. 1.〔一题多解〕直线过点M（－2，1）且A（－1，2），B（3，0）两点到该直线的距离相等，则直线的方程为　　　　. 2.在梯形ABCD中，｜CD｜＝2｜AB｜＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为　　　　. 1.若点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，则实数c＝（　　） A.13 B.17 C.13或－17 D.－13或17 2.两条平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是（　　） A.　 　 B. C.2　　　 D.1 3.已知不过原点的直线l1与直线l2：x－y＋＝0平行，且直线l1与l2的距离为1，则直线l1的一般式方程为　　　　. 4.求与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程. 　对称问题 　　 　　对称问题主要有以下几类：（1）点关于点的对称问题；（2）直线关于点的对称问题；（3）点关于直线的对称问题；（4）直线关于直线的对称问题. 一、点关于点对称 （2026·济宁月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决点关于点对称问题的方法 　　点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题. 　　设点P（x0，y0）关于点M（a，b）的对称点为P'（x，y），则有所以即点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）.特别地，点P关于坐标原点O的对称点为P'（－x0，－y0）. 二、直线关于点对称 〔一题多解〕求直线3x－y－4＝0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程. 尝试解答 通性通法 解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线； 通性通法 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0. 三、点关于直线对称 点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（　　） A.（－1，－3） B.（17，－9） C.（－1，3） D.（－17，9） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 解决点关于直线对称问题的方法 　　已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'（x'，y'）可以分三步来求： 第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）； 第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0； 第三步，联立两式可解出x'，y'. 四、直线关于直线对称 角度1　已知直线与对称轴平行 〔一题多解〕已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程. 尝试解答 角度2　已知直线与对称轴相交 求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程. 尝试解答 通性通法解决直线关于直线对称问题的方法 　　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： （1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m； （2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程. 五、对称问题的应用 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得： （1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大； （2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小. 尝试解答 通性通法 利用对称求距离最值问题的方法 　　要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之和（差）的最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即： （1）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之和最小的点，只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可； （2）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需求出直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可； （3）若两点A，B位于直线l的异侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可. 完成课后作业 第一章 §1 1.5 1.6 第二课时 答案 第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式 【基础落实】 新知初探 知识点 　 自我诊断 1.（1）×　 （2）×　（3）√　（4）√ 2.B　由题意知l1，l2平行，则l1，l2之间的距离为＝. 3.－4　解析：由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4. 4.10　解析：易知m＝2，由＝＝，得n＝5（－5舍去），故mn＝2×5＝10. 【典例研析】 【例1】　（1）A　（2）3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　解析：（1）点P（－1，2）到直线l1：y＋3＝0的距离d1＝＝5（也可利用d1＝｜2－（－3）｜＝5求得）.点P（－1，2）到直线l2：3x－4y＋6＝0的距离d2＝＝1. （2）设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：d＝＝＝.所以｜m－3｜＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 跟踪训练 －6或　解析：由＝，得｜3m＋5｜＝｜m－7｜，∴m＝－6或m＝. 【例2】　（1）C　（2）　解析：（1）由直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，得m×（－1）－1×1＝0，解得m＝－1.所以直线l1：x－y＋3＝0与直线l2：x－y＋1＝0之间的距离为d＝＝＝. （2）将l1：3x－2y－5＝0化成6x－4y－10＝0，所以l1：6x－4y－10＝0与l2：6x－4y＋3＝0之间的距离为d＝＝＝. 跟踪训练 1.3x－4y－14＝0　解析：设所求直线方程为3x－4y＋m＝0（m≠1），由两平行线间的距离公式得＝3，解得m＝16或m＝－14.故所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0. 2.x＋2y－3＝0　解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A（1，1），B（0，－1）.所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 【例3】　解：（1）因为A（－1，－1），C（1，1），所以kAC＝＝1，所以直线AC的方程为y－1＝1×（x－1），即x－y＝0. （2）若选①，△ABC是等边三角形，则AC⊥BD，因为AC的中点坐标为（0，0），所以BD过坐标原点，则直线BD的方程为y＝－x，设B（x，－x）（x＞0），由｜AC｜＝｜BC｜，则＝，解得x＝或x＝－（舍去），所以B点的坐标为（，－）. 若选②，因为kAC＝1，所以过点E（，）垂直于AC的直线方程为y－＝－（x－），即y＝－x＋2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2，即M（2，0），N（0，2），所以｜MN｜＝＝2， 因为MN∥BD，AC的中点坐标为（0，0），所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝－x，设B（x，－x）（x＞0），则D（－x，x），因为｜MN｜＝｜BD｜，所以＝2，解得x＝或x＝－（舍去），所以B点的坐标为（，－）. 若选③，因为点E（－2，0），所以kAE＝＝－1，因为AE∥BD，AC的中点坐标为（0，0），所以BD过坐标原点，所以直线BD的方程为y＝－x，设B（x，－x）（x＞0），则D（－x，x），所以点B到AC的距离d＝＝x， 又｜AC｜＝＝2， 所以S▱ABCD＝2S△ABC＝2××｜AC｜·d＝4， 即2×x＝4，解得x＝，所以B点的坐标为（，－）. 跟踪训练 1.y＝1或x＋2y＝0 　解析：法一　当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－2，A，B两点到它的距离不相等，不符合题意.所以所求直线的斜率存在，可设直线方程为y－1＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋1＝0.由A，B两点到该直线的距离相等得＝，解得k＝0或k＝－.故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 法二　设所求直线为l，由平面几何知识可知，直线l与AB平行或过线段AB的中点.易求得kAB＝－，若l∥AB，则直线l的方程为y－1＝－（x＋2），即x＋2y＝0.若l过AB的中点（1，1），又l过点M（－2，1），所以直线l的方程为y＝1.故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0. 2.9　解析：由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为（｜AB｜＋｜CD｜）·d＝×（3＋6）×2＝9. 随堂检测 1.C　由点（－2，2）到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3，得d＝＝＝3，解得c＝13或c＝－17. 2.A　2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得＝. 3.x－y＋2＝0　解析：∵直线l1不过原点且与l2平行，∴可设直线l1：x－y＋a＝0（a≠0），∴l1与l2之间的距离d＝＝1，解得：a＝2或a＝0（舍），∴直线l1的一般式方程为：x－y＋2＝0. 4.解：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝. 设所求直线为l4，则l4∥l3， 所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝， 解得c＝0或－10， 所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0. 拓视野　对称问题 【例1】　（7，6）　解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），∴解得x＝7，y＝6，∴点B的坐标为（7，6）. 【例2】　解：法一　设直线l上任一点为M（x，y），则此点关于点P（2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y），且点M1在直线3x－y－4＝0上，所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二　在直线3x－y－4＝0上任取两点A（0，－4），B（1，－1），则点A（0，－4）关于点P（2，－1）的对称点为A1（4，2），点B（1，－1）关于点P（2，－1）的对称点为B1（3，－1），由直线方程的两点式，可得直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三　由题意可得，直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0（m≠－4），点P（2，－1）到直线3x－y－4＝0的距离d＝， 由于点P（2，－1）到两直线距离相等，所以＝，解得m＝－10或m＝－4（舍去），所以直线l的方程为3x－y－10＝0. 【例3】　A　设点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为（a，b），则由解得即得该点坐标为（－1，－3）.故选A. 【例4】　解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离. 由两条平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5或m＝3（舍去）. 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），于是有解得即点M'的坐标为（4，－1）. 把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 【例5】　解：解方程组得所以直线l1与l相交，且交点为E（3，－2），故点E也在直线l2上. 在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A（2，0），设点A关于直线l的对称点为B（x0，y0）， 于是有 解得即点B的坐标为（，－）. 故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0. 【例6】　解：（1）如图， 设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1， 即×1＝－1， 所以a＋b－4＝0， ① 因为BB'的中点（，）在直线l上， 所以－－1＝0，即a－b－6＝0. ② 由①②得 所以点B'的坐标为（5，－1）. 于是AB'所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0. 易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜， 当且仅当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大. 所以联立直线l与AB'的方程， 解得x＝，y＝， 即l与AB'的交点坐标为（，）. 故点P的坐标为（，）. （2）如图， 设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为（1，2），所以AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜，当且仅当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小. 所以联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝， 即AC'与l的交点坐标为（，）. 故点Q的坐标为（，）. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $