1.1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第一章直线与圆 ①要使直线1与线段AB有公共点，则 A(←3,4 直线I的斜率k的取值范围是k≤-1或k ≥1. B(3,2) §1直线与直线的方程 ②由题意可知，直线1的倾斜角介于 P1,0x 直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾 1.1一次函数的图象与直线的方程 斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤a ≤135°. 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 (2)6解法一：因为A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条 必备知识探新知 直线上.所以6如=e3》=3.6e》 4-2 知识点1逆时针首次重合时0倾斜角 知识点2k=2二当（其中x≠） 倾斜的程度 告3所以3兮，即=6 x2-x1 解法二：因为AB=(4,3)-(2,-3)=(2,6),A=(5,k)- 知识点31.k≥0增大2.k<0增大 (2,-3)=(3,k+3),又因为AB与AC共线， 关键能力攻重难 所以2(k+3)=18,解得k=6. 例1：(1)B因为直线与x轴垂直，所以倾斜角为90°. 对点训练3：(I)D解法一：由题意得kAB=kC,又kB= (2)C由倾斜角的定义可知，故A错误；倾斜角的范围是 b-1-1-b [0°，180°)，故B错误；和x轴平行的直线的倾斜角是0°，故C -2-3=5, 正确：每条直线都有倾斜角，故D错误 (3)C直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过 e高"6号岁行=-9 第二、四象限，所以直线！的倾斜角α的取值范围是 解法二：AB=(-5,b-1),A元=(5,10)， (90°，180°). A∥A元，.-5×10=5(b-1),….b=-9. 对点训练1：(1)D因为直线I的倾斜角为0-25°， 2片别 如图所示，当点D由B运动到C时，直线 所以0-25°∈[0°，180°)， AD的斜率由kAB增大到kAc, 所以0∈[25°，205°). 3-2 (2)60°或120°有两种情况：如图1，直线1向上方向与x 又ka=3-4=7,c 轴正向所成的角为60°，即直线1的倾斜角为60°； 2 3,。2=子所以直线的斜率的 3-0 变化范围是[片引 30% 30° 609 120° 例4：4B=(4-1,5-2)=(3,3)是直线1的一个方向向量， 因此直线l的斜率k=1,直线l的倾斜角0满足tan0=l,从 而可知0=45 图1 图2 对点训练4：M=(2-3,3+5-3)=(-1,5), 如图2，直线1向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直 .直线1的一个方向向量为M=(-1,5),斜率k= 线1的倾斜角为120° 例2：1)C由斜率公式得号=方m=2,放选C 1 3+5-3=-5,由直线1的倾斜角0满足am0=-5,知0 2-3 =120° 2) 由题意得直线CD的斜率k=3+5-3=5 3 例5：当a=90°时，斜率不存在；当ae(60°，90°)时，k∈ 4-1 此直线的倾斜角是石 (万，+)：当ue(90,150)时.ke(-0,-9} 课堂检测固双基 对点训练2：-2由题意得k=。6-1。=b-1=m120° 0-(-5)5 1.CAB=(1,3), ! =-3,.b=-2 .此直线的一个方向向量为(1,5) 例3：1)如图所示，由题意可知，==-1，m= 直线板的斜率如一-尽， 39-1 .直线AB的倾斜角为60° -293 2B设直线1的倾斜角为a,则na=,5=万-1，又ae (2)设BC的中点为M(a,b), 2+万 则a59=76=42》-3 2 2 [0,m),tan8= 11co4三2-1，所以a=,故选B 所以M(3,-3）, sin 4 又BC边的中线过点A(-3,2) “a0斜率-治总台 3.6 所以y-2,=-(-3）,即10x+11y+8=0. 4.(1)由2x+3y+6=0,得3y=-2x-6, 即=子-2 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0 对点训练3：(1)x=2由于点A与点B的横坐标相等，所 (2)当x=0时，y=-2,y=0时，x=-3, 以直线1方程没有两点式，所求的直线方程为x=2. .在坐标平面内作出两点，即A(0,-2), (2)-2由直线方程的两点式得，过A,B两点的直线方程 B(-3,0). 作出直线AB即为方程2x+3y+6=0的直线. 为2即y=+1 (3)将（子，1）的坐标代入2x+3y+6=0不满足， 又因为点P(3,m)在直线AB上，所以m=-3+1=-2. 点（多）不在直线1上 例4：由题意，得1：行+子=1，所以线段AB的方程为 !4x+3y-12=0(0≤x≤3). (4)虽然以方程2x+3y+6=0(x∈Z)的解为坐标的点都在直 线！上，但直线1上的点的坐标不都是该方程的解，如点 所以灯=(4 3 ; c(-之，-1小e1,但任-云却不是该方程的解 Ly=-1 所以当x=子时，灯取得最大值3。 ∴.方程2x+3y+6=0(x∈Z)不是直线l的方程. 对点训练4：B根据直线方程的截距式写出直线方程 1.3直线的方程 +子=1，化简得4-3y+12=0,放选B x 第1课时直线方程的点斜式和两，点式 例5：设1=号+6， 必备知识探新知 知识点11.直线l的方程2.y-y。=k(x-x) 令x=0,得y=令y=0,得x=子 知识点2截距斜截式不存在x=, 知识点3=告+方=1 由题盒，得号11·-6公=66=4 y2-y1 x2-x1 a 关键能力攻重难 放直线！的方程为y=一手士4 例1：(1)由直线的点斜式方程可得y-2=3[x-(-1)],课堂检测固双基 即y-2=3(x+1). 1.B由两点(0,3)，(2,1)，可得过两点的直线的斜率为k= (2)由于直线的斜率为0，故直线方程为y=2. ! 是81 (3)由于直线斜率不存在，故直线方程为x=-1. 对点训练1：(1)y-5=4(x-2). 又由直线的点斜式方程，可得y-3=-1×(x-0),即x+y- 3=0. (2)·直线的倾斜角为45°，∴.直线的斜率为1， 故选B. .直线方程为y-3=x-2. 2.C由y+2=-x-1,得y+2=-（x+1),所以直线的斜率为 (3)y=-1. -1,过点(-1，-2). (4)x=1. 例2：(1)利用直线的斜截式方程，可得方程为y=2x+m. :3.Da=60°，k=tan60°=5， (2)只需将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m, .直线1的方程为y=5x-2. .m=-1. 4.y=5x-6或y=-3x-6因为直线与y轴相交成30°角， 对点训练2：(1)y=3x-3 所以直线的倾斜角为60°或120°， (2).…k=tan60°=3，∴.y=3x+5. 所以直线的斜率为√5或-5， (3)kB=-5,.直线AB的方程为y-3=-5(x+2),化为 又因为在y轴上的截距为-6， 斜截式y=-5x-7. 所以直线的斜截式方程为y=5x-6或y=-5x-6. 例3：(1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2), 由两点式，得为着二3即2x+5+10=0, 5.由题意知，直线1的斜率为2 3 故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0. ! 故设直线1的方程为y=之x+b, -294●001 第一章直线与圆 §1直线与直线的方程 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2直线的倾斜角、斜率及其关系 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直 1.直线的倾斜角与斜率，是描述直线的重 线位置的几何要素 要元素，需注意两者的关系与对直线的 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念。 影响。 3.理解用代数的方法探索直线斜率的过程 2.结合斜率公式理解直线斜率的几何意 4.掌握过两，点的直线斜率的计算公式并能解决相关 义，培养逻辑推理、数学运算等核心 的实际问题 素养 5.初步理解直线的方向向量的概念，并能找出其与3.结合平面向量知识，利用直线上两点坐 直线斜率和倾斜角的内在联系， 标求相应直线的方向向量与法向量， 必备知识 探新知 知识点1直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线1，把x轴（正方向）按 方向绕着交点旋转到和直线 定义 所成的角，称为直线1的倾斜角. 规定：当直线1和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 记法 图示 0 范围 [0,π) (1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度， 作用 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的 ,二者缺一不可 002 知识点2直线的斜率 倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角a满足k=tan@其中a≠罗) 在直线1上任取两个不同的点P（x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),则称 为经过不同两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线1的斜率 显然，若直线1垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线1不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一，因 此，我们常用斜率来表示直线的 知识点3直线的斜率与倾斜角的关系 1.当we[0,时，斜率 ,且k随倾斜角α的增大而 2.当a∈（受，m时，斜率 ,且k随倾斜角a的增大而 3.α=时，直线1与x轴垂直，此时直线1的斜率不存在， 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一直线的倾斜角 根据直线倾斜角 的概念求解 例.)直线x=-1的倾斜角为 规律方法： A.135° B.90° C.45° D.0° 1.利用飞=2当 (2)下列说法正确的是 x2-x1 A.一条直线和x轴的正方向所成的角，叫作这条直线的倾斜角 （:≠x2)可计算过两 B.直线的倾斜角在第一或第二象限 个不同点P(x1,y1), C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为0° P2(x2,y2)的直线的斜 D.不是每一条直线都有倾斜角 率，所以称k=2当 x2-x1 (3)已知直线1经过第二、四象限，则直线1的倾斜角α的取值范围是 （x1≠x2)为过两点的 ( ）直线斜率的计算公 A.[0°，90°) B.[90°，180°) 式公式中要求≠ C.(90°，180°) D.(0°，180°) ·[规律方法] x2,是为确保公式有 意义，而当x=x2 》对点训练1 时，直线↓垂直于x (1)已知直线1的倾斜角为0-25°，则角0的取值范围为 轴，其斜率不存在. A.[25°，155°) B.[-25°，155°)》 2.利用过两点的 C.[0°，180°) D.[25°，205°) 直线斜率的计算公式 计算直线的斜率时， (2)已知直线1向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线1的倾斜角 可选取直线上任意两 为 个不同点，且与两点 题型二直线的斜率 的顺序无关，即两点 的横、纵坐标在公式 例2.(1)若A1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为-7，则m= 中的前后顺序可以同 A.-8 B.-2 C.2 D.8 时颠倒，即k=2-少 x2-X1 (2)若直线过点C(1,3),D(4,3+3),则此直线的倾斜角为 =力-2 ·[规律方法] X1-X2 ●003 )对点训练2 已知点M(0,b)与点N(-√3,1)连成直线的倾斜角为120°，则b= 题型三直线的倾斜角、斜率的应用 例3.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P1,0)的直线1与线段AB有 公共点. ①求直线1的斜率k的取值范围； ②求直线1的倾斜角α的取值范围. (2)若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上，则实数k= 规律方法： (1)求直线斜率 的取值范围时，通常 先结合图形我出倾斜 角的范围，再得到斜 率的范围. (2)利用斜率可 解决点共线问題，点 A,B,C共线曰kAB= kC或kB与kAC都不 存在。 (3)2-1的元 [规律方法] x2-x1 )对点训练3 何意义是直线的斜 率，用之可通过几何 (1)若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上，则实数b等于 方法解决函数的值域 ( 问题 A.2 B.3 c.9 D.-9 (2)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).若点D在线段BC上（包括端 点)移动，则直线AD的斜率的变化范围是 题型四直线的斜率与方向向量的关系 例4.已知直线1通过点A(1,2),B(4,5),求直线1的一个方向向量，并确 定直线1的斜率与倾斜角. 规律方法： 求解一条直线的 方向向量、斜率、倾 斜角问题，省先明确 其定义 ◆[规律方法] 004 )对点训练4 已知直线1经过点M(3,3)和W(2,3+√3)，求直线l的一个方向向量，并求直线1的斜率和倾斜角. ●易错警示 忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误 例5已知直线1的倾斜角α∈(60,150)，求直线1的斜率的取值范围。 [错解]60°<a<150°，且tan60°=√5，tan150°=- 3 3 -5<< [辨析]首先a=90°时，an不存在；其次60°<a<90°时，k随角递增， 90°<<150时，k随角x也递增. [正解] [误区警示]在直线这一部分中忽视斜率不存在的情况是常见的错误。 课堂检测 固双基 1.若直线过点A(1,-1),B(2,√3-1)，则此直 线的一个方向向量和倾斜角分别为( (3)点号，)是吞在直线1上 (4)方程2x+3y+6=0(x∈Z)是不是直线1 A.(1,-1),30°B.(2,5-1),45° 的方程？ C.(1,W3),60° D.(3,1),90 2.若直线1的一个方向向量为v=(2+√2，√2)， 直线1的倾斜角为 A晋 B.8 C. D. 6 3.经过A(a,b)和B(3a,3b)(a≠0)两点的直线 的斜率k= 4.已知方程2x+3y+6=0. (1)把这个方程改写成一次函数形式； (2)画出这个方程所对应的直线1； 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1]