3.4 一元一次不等式的应用 教学设计 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

3.4 一元一次不等式的应用 教学设计 （2026—2027学年 浙教版 八年级数学上册） 课题名称 3.4 一元一次不等式的应用 课型 新授课 教学资源 多媒体课件（PPT）、直尺、数轴卡片 教学内容解析 内容 列一元一次不等式解决实际问题；列不等式解应用题的一般步骤；根据实际意义确定不等式的解（整数解、非负限制等）。 内容解析 《一元一次不等式的应用》是在学生已经学习了一元一次不等式的概念、解法的基础上，将数学建模用于解决实际问题的一节课，是本章知识的综合运用与提升。 从知识体系看，它上承一元一次不等式的解法，下为后续学习一元一次不等式组的应用、一次函数与不等式的关系以及中考中的方案设计类问题奠定基础，是“数与代数”领域中体现数学建模素养的重要载体。 从思想方法看，本节课引导学生经历“实际问题—建立不等式模型—求解—解释与应用”的完整过程，体会数学与生活的紧密联系，发展数学建模、数学运算和逻辑推理等核心素养。 目标与目标解析 单元整体目标 本章在学生已经掌握有理数及其运算、一元一次方程的基础上，研究现实世界中数量之间的不等关系。通过本章学习，学生应经历将实际问题抽象为不等式的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型；探索并掌握不等式的基本性质；掌握一元一次不等式（组）的解法，能在数轴上表示解集；能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题。 对应课标（2022版义务教育数学课程标准）： ①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质； ②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集； ③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。 课时目标 1.（数学建模） 能从实际问题中找出不等关系，设未知数，列出一元一次不等式，体会不等式是刻画现实世界不等关系的数学模型。 2.（数学运算） 能正确解一元一次不等式，并根据实际问题的意义（如人数、件数必须为整数，长度不能为负等）对解进行合理取舍。 3.（逻辑推理） 掌握列不等式解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能抓住“至少”“最多”“不超过”“不低于”等关键词分析不等关系。 4.（直观想象） 能借助数轴或表格直观地分析实际问题中的数量范围，体会数形结合思想。 5.（数学抽象） 经历将实际问题抽象为不等式模型的过程，增强用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界的意识。 课时目标解析 达成目标1的标志： 学生能从教材例1（导火索问题）、例2（利润问题）中找出关键不等词，正确列出不等式，而不是列成方程。 达成目标2的标志： 学生能正确解出不等式，并根据实际意义将x的取值确定为整数（如13334个、0.1 m），不出现“13333.33个”这样不合实际的答案。 达成目标3的标志： 学生能按“审—设—列—解—验—答”六步规范书写解题过程，每一步有据可依。 达成目标4的标志： 学生能借助数轴表示解集，并在数轴上标出符合实际意义的部分。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了一元一次方程解应用题的一般步骤，掌握了一元一次不等式的解法，具备了类比学习列不等式解应用题的知识基础。八年级学生有一定的生活经验和阅读理解能力，但在从文字背景中提炼数量关系、特别是识别“不等关系”而非“相等关系”方面仍需训练。 困惑点或探索点 ①抓不准题目中的不等关系，容易把“至少”“不超过”等词列成方程； ②解出不等式后，忘记根据实际意义对解进行取舍（如人数必须取整数、不能为负数）； ③利润、路程、工程等问题中数量关系较多，学生不会用表格或线段图整理信息。 教学重难点 教学重点 列一元一次不等式解决实际问题；抓住关键词找不等关系。 教学难点 从复杂情境中抽象出不等关系；根据实际意义对不等式的解进行合理取舍。 教学策略分析（为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：一元一次不等式是解决生活中方案选择、最值优化、利润核算等实际问题的有力工具，也是中考应用题的重要题型，体现了“数学源于生活、用于生活”的价值。 学什么：列一元一次不等式解应用题的一般步骤；从实际问题中找不等关系；根据实际意义确定答案。 怎么学：采用“类比—探究—归纳—应用”的教学路径。以一元一次方程解应用题的步骤为类比，通过教材两个典型例题（导火索安全问题、工厂利润问题）引导学生经历完整建模过程；通过表格整理数量关系；通过分层练习巩固方法。以学生为主体，组织学生自主探究、合作交流。 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 环节一新知导入 情境引入 问题1：班级计划购买笔记本奖励学生，笔记本每本3元，班长带了50元，最多能买多少本？ 问题2：电梯的额定载重为1000 kg，已经装了700 kg的货物，每个救生箱重30 kg，最多还能再装多少个救生箱？ 思考：这两个问题中，已知量和未知量之间是“相等关系”还是“不等关系”？你能列出怎样的式子？ 师：请同学们回忆，列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 生：审、设、列、解、验、答。 师：问题1中“最多能买多少本”，你能列等式还是不等式？ 生：3x ≤ 50。 师：这就是我们今天要学习的——一元一次不等式的应用。 学生能否判断问题中的不等关系；能否列出相应的不等式。 从学生熟悉的购物、电梯载重情境出发，与一元一次方程应用题类比，唤醒已有经验；通过“最多”“额定载重”等关键词让学生初步感知不等关系，激发学习兴趣。 环节二例题探究 例1（教材例题） 导火索燃烧的速度是0.02 m/s，人跑开的速度是3 m/s。为了使点导火索的人在点火后能够跑到15 m以外（包括15 m）的安全地区，导火索的长度至少应取多少米？ 分析：设导火索的长度为 x m。导火索完全燃烧所需时间为 s，在这段时间内人能跑出的距离为 3× m。要使人跑到15 m以外（含15 m），应满足： 3 × x / 0.02 ≥ 15 解这个不等式： 两边同乘0.02，得 3x ≥ 0.3， 两边同除以3，得 x ≥ 0.1。 答：导火索的长度至少应取 0.1 m。 检验：当 x = 0.1 时，燃烧时间 = 0.1 ÷ 0.02 = 5 s，人跑的距离 = 3×5 = 15 m，恰好到达安全地区，符合题意。 例2（教材例题） 有一家庭工厂投资2万元购进一台机器，用于生产某种商品。这种商品每个的成本是3元，出售价是5元，应付的税款和其他费用是销售收入的10%。问至少需要生产、销售多少个这种商品，才能使所获利润（毛利润减去税款和其他费用）超过投资购买机器的费用？ 分析：设生产、销售这种商品 x 个。 销售收入：5x 元； 成本：3x 元； 税款和其他费用：5x × 10% = 0.5x 元； 所获利润：5x − 3x − 0.5x = 1.5x 元。 要使利润超过2万元，应满足： 1.5x > 20000 解这个不等式： 两边同除以1.5，得 x > 13333.33…… 由于商品个数必须是整数，且要“超过”2万元，所以 x 至少取 13334。 答：至少需要生产、销售这种商品 13334 个。 归纳：列一元一次不等式解应用题的一般步骤 ① 审：审题，找出题中的不等关系（抓住“至少”“最多”“不超过”“不低于”“超过”等关键词）； ② 设：设未知数（带单位）； ③ 列：根据不等关系列出一元一次不等式； ④ 解：解这个不等式，求出解集； ⑤ 验：检验解是否符合实际意义（如人数、件数为整数，长度非负等）； ⑥ 答：写出答案（带单位）。 师：请同学们读例1，题目中“至少”“15 m以外（包括15 m）”分别是什么意思？ 生：“至少”表示大于或等于；“15 m以外包括15 m”也是 ≥ 15 m。 师：导火索燃烧时间和人跑开的距离之间有什么关系？ 生：人跑开的距离 = 人跑的速度 × 导火索燃烧时间。 师：板书规范解题过程，强调 x ≥ 0.1 的实际意义。 师：例2中“利润超过投资”如何列式？ 生：利润 = 销售收入 − 成本 − 税款费用，列出 1.5x > 20000。 师：解出 x > 13333.33……，为什么答案不是13333.33个？ 生：商品个数必须是整数，而且要“超过”2万元，所以取13334。 师：这就是“验”的重要性——必须让解符合实际意义。 师：引导学生归纳六步法，板书。 ①学生能否准确找出例1、例2中的不等关系； ②能否正确列出不等式； ③解不等式的过程是否正确； ④是否根据实际意义对解进行了取舍（13334而非13333.33）； ⑤能否说出列不等式解应用题的六个步骤。 通过教材两个典型例题，让学生经历完整的数学建模过程； 例1侧重安全问题，渗透安全教育；例2侧重利润问题，联系经济生活； 通过对比方程应用题，让学生体会不等式应用题的关键在于“找不等关系”和“实际意义取舍”； 归纳六步法，帮助学生形成可迁移的解题程序。 环节三课堂练习 A组 基础过关 1. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分。小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ 【答案】 设答对 x 道题，则答错或不答 (20 − x) 道题。 根据题意：10x − 5(20 − x) > 90， 10x − 100 + 5x > 90，15x > 190， x > 12.67…… 因为题数必须是整数，所以 x 至少取 13。 答：他至少要答对13道题。 2. 某商店购进某种商品100件，按进价提高50%后标价，实际销售时仍以标价的八折出售。若要使总利润不低于2000元，每件商品的进价至少为多少元？ 【答案】 设每件进价为 x 元，则标价为 1.5x 元，实际售价为 1.5x × 0.8 = 1.2x 元。 每件利润为 1.2x − x = 0.2x 元。 根据题意：100 × 0.2x ≥ 2000， 20x ≥ 2000，x ≥ 100。 答：每件商品的进价至少为100元。 B组 能力提升 3. 某通信运营商推出两种手机通话计费方案： 方案一：月租费18元，通话费每分钟0.2元； 方案二：无月租费，通话费每分钟0.35元。 请问每月通话时间多长时，选择方案一更省钱？ 【答案】 设每月通话时间为 x 分钟。 方案一费用：18 + 0.2x 元；方案二费用：0.35x 元。 要使方案一更省钱，应满足：18 + 0.2x < 0.35x， 18 < 0.15x，x > 120。 答：当每月通话时间超过120分钟时，选择方案一更省钱。 师：布置A组练习，学生独立完成，指名板演。 生：独立求解，板演展示。 师：追问第1题，为什么答案是13而不是12.67？ 生：题数必须是整数，且要“超过”90分，所以进一位。 师：B组题请学有余力的同学小组讨论，注意比较两种方案费用的大小关系。 生：小组交流，代表讲解方案选择的临界时间。 ①A组两题列式是否正确，是否注意了整数取舍； ②B组第3题能否正确列出不等式并求出方案选择的临界时间； ③解题过程是否规范（六步齐全）。 练习分层设计：A组巩固基本建模方法，B组引入方案选择问题，体现不等式在决策中的应用价值； 通过竞赛得分、商品利润、手机套餐等贴近生活的情境，让学生感受数学的应用价值。 环节四反思总结 课堂小结 请同学们回顾本节课： 1. 列一元一次不等式解应用题的一般步骤是什么？ 2. 如何从题目中找不等关系？常见的关键词有哪些？ 3. 解出不等式后，为什么还要“验”？验什么？ 师：最后强调—— 列不等式解应用题的关键是“找不等关系”和“实际意义取舍”；常见关键词：至少（≥）、最多（≤）、不超过（≤）、不低于（≥）、超过（>）、不足（<）；解出后一定要根据实际问题确定答案，不能直接写小数或分数。 生：自主回顾，同桌互说，代表发言。 师：引导学生对比方程应用题和不等式应用题的异同。 学生能否用自己的语言梳理六步法；能否说出常见关键词及其对应的不等号；能否说出“验”的必要性。 以问题串引导学生自我建构知识网络；通过对比方程与不等式应用题，深化对建模过程的理解；教师强调易错点，帮助学生形成规范的解题习惯。 作业布置 必做题：课本本节作业题 A组 1、2、3； 选做题：课本本节作业题 B组 4。 师：分层布置，必做题全员完成，选做题鼓励学有余力的同学挑战。 课后独立完成，下节课讲评。 分层作业，尊重差异。 板书设计 3.4 一元一次不等式的应用 一、一般步骤：审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 二、常见关键词：至少（≥）、最多（≤）、不超过（≤）、不低于（≥）、超过（>） 三、例1：3 × x/0.02 ≥ 15 → x ≥ 0.1 m 四、例2：1.5x > 20000 → x ≥ 13334 个（注意整数取舍！） 五、关键：找不等关系 + 实际意义检验 学科网（北京）股份有限公司 $