专题3.6 一元一次不等式组的应用（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式组的应用这一核心知识点，系统梳理从一元一次不等式解法到实际问题解决的脉络，覆盖工程、行程、经济等13类生活场景，搭建从理论到实践的学习支架。 该资料以丰富题型为特色，如结合《九章算术》的古文问题、分段计费等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界。通过例题与变式训练，发展推理能力和数学思维，建立不等式组模型解决问题，提升数学语言表达。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

专题3.6 一元一次不等式组的应用（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 工程问题】 1 【题型2 行程问题】 6 【题型3 经济问题】 11 【题型4 分配问题】 14 【题型5 古文问题】 16 【题型6 年龄问题】 20 【题型7 比例问题】 23 【题型8 形积问题】 28 【题型9 积分问题】 31 【题型10 分段计费问题】 35 【题型11 图表信息问题】 38 【题型12 方案选择问题】 44 【题型13 活动素材问题】 51 考点1 一元一次不等式组的应用 【题型1 工程问题】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 【变式1-1】已知A，B两个工程队合作修建某条60千米长的乡村路需要6个月完成，若A工程队先做4个月，剩下的部分由B工程队做9个月可以完成．已知A工程队每月施工费用为15万元，B工程队每月施工费用为8万元． (1)A，B两个工程队每月分别可修建该条乡村路多少千米? (2)若该乡村路需要在12个月内完工，如果A工程队先做m个月，剩下的部分由B工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，A工程队至少做多少个月? (3)在（2）的条件下，若该工程总费用不超过144万元，则该工程有哪几种施工方案? 【答案】(1)A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路6千米，4千米 (2)A工程队至少做6个月 (3)该工程一共有2种方案：①A工程队先做6个月，B工程队再做个6月；②A工程队先做8个月，B工程队再做3个月． 【分析】（1）设A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路x千米，y千米，然后根据“A，B两个工程队合作修建某条60千米长的乡村路需要6个月完成，若A工程队先做4个月，剩下的部分由B工程队做9个月可以完成”列出方程组求解即可； （2）设A工程队做m个月，根据该乡村路需要在12个月内竣工，即A，B两个施工队的工作时间不超过12个月，据此列出不等式求解即可； （3）根据费用不超过144万元结合（2）求出m的范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路x千米，y千米， 由题意得，， 解得， 答：A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路6千米，4千米． （2）解：设A工程队做m个月，则A完成的工程量为千米，剩下的工程量为千米， 由题意得， 解得， ∴m的最小值为6， ∴A工程队至少做6个月， 答：A工程队至少做6个月． （3）解：由题意得，且m为正整数，也为正整数， 解得， ∴， ∴或7或8， 则或4.5（舍去）或3， ∴该工程一共有2种方案：①A工程队先做6个月，B工程队再做个6月；②A工程队先做8个月，B工程队再做3个月． 【变式1-2】（2026·广西百色·三模）[情境背景]平陆运河是广西陆海新通道骨干工程，计划今年建成通航，全长公里，项目估算总投资亿元，全线涉及104座桥梁，其中27座为跨运河主桥．某施工队承接运河某段航道开挖与桥梁建设任务，已知开挖1公里航道、建设1座跨运河主桥共需投入资金亿元；开挖3公里航道、建设2座跨运河主桥共需投入资金亿元． (1)求施工队开挖1公里航道、建设1座跨运河主桥分别需要投入多少亿元资金． (2)该施工队计划投入资金不超过30亿元，用于开挖航道和建设跨运河主桥，且建设跨运河主桥的数量不少于航道开挖公里数的，设开挖航道公里，求出最多可以开挖多少公里航道（取整数）并写出的取值范围． 【答案】(1) 开挖1公里航道需要投入亿元，建设1座跨运河主桥需要投入亿元 (2) 最多可以开挖公里航道，的取值范围是，且为整数 【分析】（1）设开挖1公里航道需资金亿元，建设1座主桥需资金亿元，因为题目给出两种不同施工量对应的总投入，所以可列二元一次方程组，使用代入消元或加减消元法求解． （2）先设建设主桥的数量为座，因为主桥数量不少于航道公里数的，所以可列数量关系的不等式．因为投入资金不超过30亿元，所以可根据第一问求出的单价列资金的不等式；将用含的表达式替换后联立不等式，解出的取值范围，再结合为整数的要求确定的最大值． 【详解】（1）解：设开挖1公里航道需要投入亿元，建设1座跨运河主桥需要投入亿元， 根据题意列二元一次方程组： ， 解得， 答：开挖1公里航道需要投入1.5亿元，建设1座跨运河主桥需要投入0.3亿元． （2）解：设开挖航道公里，建设跨运河主桥座（为非负整数）， 根据题意得， 要使最大，需取满足条件的最小， 将代入不等式得： ， 解得． 若，则，最小取10， 总投入为，超出预算，不符合要求； 若，则，最小取9， 总投入为，符合要求． 所以最多可以开挖公里航道，的取值范围是，且为整数． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）随着城镇化建设的开展，我市加快了交通与住房建设，产生了不少建筑渣土，渣土运输公司承包了某工程的渣土运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车清运渣土，已知3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输渣土多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共辆参与运输渣土，每辆大型渣土车一次需费用元，每辆小型渣土车一次需费用元．若运输土方总量不少于87吨，且总费用低于元．请列出所有运输方案； (3)在（2）的条件下，哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨 (2)有三种派车方案，第一种方案：大型运输车9辆，小型运输车3辆；第二种方案：大型运输车辆，小型运输车2辆；第三种方案：大型运输车辆，小型运输车1辆 (3)大型运输车9辆，小型运输车3辆所需费用最少，最少费用是元 【分析】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，熟练掌握解方程组，不等式组是解题的关键． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，列方程组求解即可． （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m辆，则小型渣土运输车()辆．根据运输土方总量不少于吨，且总费用低于元列不等式组，并求整数解即可． （3）分别计算，比较大小解答即可． 【详解】（1）解：设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨， 则， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨． （2）解：设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车m辆，则小型渣土运输车辆． 由题意可得，， 解得： ， 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车9辆，小型运输车3辆； 第二种方案：大型运输车辆，小型运输车2辆； 第三种方案：大型运输车辆，小型运输车1辆． （3）解：方案1费用：元； 方案2费用：元； 方案3费用：元； ∵， ∴大型运输车9辆，小型运输车3辆所需费用最少，最少费用是元． 【题型2 行程问题】 【例2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 【答案】(1) 红绿灯情况如图所示： (2)甲车刚到路口D的时间为 (3)想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间 【分析】（1）根据路口D绿灯亮起的时刻，以及红绿灯的持续时间，进行作图即可； （2）分别计算甲车到路口B和C的时间，结合红绿灯的示意图判断是否需要等待，最后计算路口C到路口D的时间，再求和即可； （3）设乙车的速度为，先分析路口B的情况，根据题意，估算乙车到路口B的时间为，结合路灯图可知，绿灯时段为，因此．再分析路口C的情况，同理估算乙车到路口C的时间为，确定绿灯时段为，最后求出． 【详解】（1）解：∵路口D在开始亮起绿灯， 又∵红灯与绿灯均持续， ∴路口D在，和期间亮起绿灯，其余时间为红灯； （2）解：根据题意， 路口B和C，在亮绿灯，在亮红灯， 甲车到路口B的时间为， ∵， ∴此时路口B为绿灯，甲车可正常通行， 甲车到路口C的时间为， ∵， ∴此时路口C为红灯，甲车需等待到时，才可通行， ∴甲车到路口D的时间为； （3）解：设乙车的速度为， 由题意可得，， 先分析绿灯通过路口B： 乙车到路口B的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口B在亮绿灯，在亮红灯， ∴想要绿灯通过路口B需满足，对应的速度范围为， ∴； 再分析绿灯通过路口C： 乙车到路口C的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口C在亮红灯，在亮绿灯， ∴想要绿灯通过路口C需满足，对应的速度范围为； 综上所述，． 答：想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过______秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【答案】70 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设运动时间为t秒，根据题意可得，解得，当时，此时第一次两动点相距100米，当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米，据此可得答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，， 解得， 当时，此时第一次两动点相距100米，此时甲、乙位置如图所示， 当乙第二次到达A时，需要的时间为秒，此时甲运动的路程为米，即此时甲在与点B相距10米， ∴此时两动点都在上， ∴经过70秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 故答案为：70． 【变式2-3】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时 (2) (3)当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是 【分析】（1）根据甲的路程和时间求出速度，从而得到乙的速度； （2）根据题意列出不等式组，解之可得x的范围； （3）分若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中，两种情况，列出不等式组，根据解集即可得解． 【详解】（1）解：由题意，知甲从A地到B地用了2小时，行程是40千米， ∴甲行驶的速度是（千米/时）．                     ∵乙的速度是甲的3倍， ∴乙行驶的速度是（千米/时）． 答：甲行驶的速度是20千米/时，乙行驶的速度是60千米/时． （2）由题意，得， 解之，得． 答：所求的取值范围是． （3）∵， ∴由（2）可知，当时，在甲从B地到C地的行驶过程中，乙与甲第一次相遇．                                         若乙与甲第二次相遇时还在甲从B地到C地的行驶过程中， 则，即，此不等式组无解．         若乙与甲第二次相遇时是在甲从C地返回B地的行驶过程中， 则有， 解之，得． 答：当时，甲、乙两人能在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次，所求的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，题中条件较多，要仔细理解题干，抽象出不等式组． 【题型3 经济问题】 【例3】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【答案】有3种建设方案 【分析】设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点，根据题意列不等式求出范围，找出其中的正整数解即可求解． 【详解】解：设建设个大型租赁点，则建设个小型租赁点． 根据题意，得     解得，     又因为为正整数，所以可以取1，2，3．    因此，共有3种建设方案： ①建设1个大型租赁点，7个小型租赁点； ②建设2个大型租赁点，6个小型租赁点； ③建设3个大型租赁点，5个小型租赁点． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某商店购进甲、乙两种文具，每件甲文具进价4元，每件乙文具进价6元．若购进甲、乙共80件，总进价380元． (1)求购进甲、乙文具各多少件； (2)商店计划再次采购，两种文具总数不超过100件，甲不少于30件，总进价不超过520元，求甲文具最多采购多少件． 【答案】(1)甲50件，乙30件 (2)甲最多100件 【分析】（1）设购进甲x件，则购进乙件，根据题意，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设采购甲m件，则采购乙件，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进甲x件，则购进乙件， 由题意，， ； ； 答：购进甲50件，乙30件； （2）解：设采购甲m件，则采购乙件， 由题意，， 解得：， ∴甲最多100件， 当时成本，符合题意； 故甲最多100件． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 【变式3-3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【答案】购进商品的件数为19或20件 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进件商品，则购进件商品，根据题意列出一元一次不等式组，计算求解即可． 【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得： 解得：， 整数值为19或20． 答：购进商品的件数为19或20件． 【题型4 分配问题】 【例4】（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 【变式4-1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 【答案】6 【分析】根据“一间宿舍不空也不满”的条件列出正确的不等式组，结合房间数为正整数的限制即可求解． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则住宿生总人数为人 根据题意，得 由①得，； 由②得， ∴不等式组的解集为， 故取整数，那么安排住宿的房间有间． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南安阳·期末）把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【答案】学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个 【分析】设学生人数为人，则苹果有个，解不等式组，取整数值即可解决问题． 【详解】解:设学生人数为，则苹果有个, 依题意得， 解得， 学生人数为整数， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）． 答：学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)至少应安排15名工人去制造乙种零件 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键． （1）先求出有名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得； （2）根据建立不等式，解不等式，从而求出，由此即可得． 【详解】（1）解：车间每天安排名工人制造甲种零件，则有名工人制造乙种零件， 则此车间每天所获利润， ∵， ∴， 所以此车间每天所获利润元与名工人之间的函数表达式为（，且x为整数）． （2）解：由题意得：，即， 解得， 则， 答：至少应安排15名工人去制造乙种零件． 【题型5 古文问题】 【例5】（2026·广东清远·二模）《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 【答案】需要积攒天到天（包含天和天），即天数为满足的正整数 【分析】先设积攒天数为未知数，根据粟米兑换糙米的比例得到糙米总量的表达式，再结合糙米总量的范围要求列出不等式组，求解后结合天数为正整数的实际条件得到结果； 【详解】设需要积攒天，为正整数， 由题意得：每斗粟米，可兑换斗糙米，兑换糙米的比例为，总粟米量为斗， 因此兑换所得糙米总量为， 根据兑换要求列不等式组：， 由得：， ， 由得：， ， 不等式组的解集为， 为正整数， ． 【变式5-1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解决以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用45两银子买牛和羊共18只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子 (2)有3种方案：①购买6头牛，购买12只羊；②购买7头牛，购买11只羊；③购买8头牛，购买10只羊 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设每头牛两银子，每头羊两银子，根据5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，列出方程组进行求解即可； （2）设购买头牛，则购买只羊，根据羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设每头牛两银子，每头羊两银子， 根据题意，得， 解得，； 答：每头牛3两银子，每头羊2两银子； （2）设购买头牛，则购买只羊， 依题意得：， 解得： ∵为整数， ， 有3种方案： ①购买6头牛，购买12只羊；②购买7头牛，购买11只羊；③购买8头牛，购买10只羊． 【变式5-2】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【答案】(1)笼中鸡有23只，兔有12只 (2)这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元 【分析】（1）设笼中有x只鸡，y只兔，根据上有35个头、下有94只脚，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设笼中有m只鸡，则兔有只，根据“笼中鸡兔至少30只且不超过32只”列出不等式，再根据“鸡每只值80元，兔每只值60元”解答即可． 【详解】（1）解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只， 依题意得：， 解得：. 答：笼中鸡有23只，兔有12只； （2）设笼中鸡有只，则兔有只， 依题意得：， 解得：13≤≤17. ∵为整数 ∴=13、14、15、16、17 ①当=13时， 这笼鸡兔共值80×13+60×17=2060（元） ②当=14时， 此种情况不符合题意 ③当=15时， 这笼鸡兔共值80×15+60×16=2160（元） ④当=16时， 此种情况不符合题意 ⑤当=17时， 这笼鸡兔共值80×17+60×15=2260（元） 综上所述，当=13，=15，=17，符合实际意义 答：这笼鸡兔最多值2260元，最少值2060元. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理清题中的数量关系列出方程不等式是解题的关键． 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 【答案】(1)小筐每筐75元，大筐每筐100元。 (2)购买方案有两种：①小筐12筐，大筐4筐，费用1300元；②小筐11筐，大筐5筐，费用1325元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确找出各小问中的数量关系是解答本题的关键． （1）设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据“何老师买了1筐小筐和2筐大筐杨梅共花费275元；郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅，两位老师共花费450元”列出二元一次方程组，求解即可； （2）设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据“小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍”列不等式组求解，再确定购买方案． 【详解】（1）解：设小筐每筐价格为x元，大筐每筐价格为y元，根据题意得， ， 解得， 答：所以小筐每筐75元，大筐每筐100元； （2）解：设小筐杨梅m筐，则购买大筐筐，根据题意得， ， 解得， ∵是正整数， ∴或12， 当时，； 当时，； 购买方案①：小筐12筐，大筐4筐，费用（元）； 方案②：小筐11筐，大筐5筐，费用（元）． 【题型6 年龄问题】 【例6】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）丽丽比爷爷小50岁．2年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还小；2年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的7倍还大．今年丽丽的年龄是________岁． 【答案】6 【分析】设今年丽丽的年龄为岁，用含的代数式表示爷爷今年的年龄，根据2年前和2年后的年龄不等关系列出不等式组，求解后取正整数解即可得到结果． 【详解】解：设今年丽丽年龄为岁，则爷爷年龄为岁． 由题意得， 解得 解得 因此不等式组的解集为 为正整数， ． 【变式6-1】李明和小华的年龄相差8岁．今年，李明的年龄比小华年龄的2倍大；两年后，小华的年龄比李明年龄的大．试问：李明和小华今年各多少岁？ 【答案】李明和小华今年分别是15岁、7岁 【分析】设今年李明岁，则今年小华岁， 由题意得：，为正整数，求解符合要求的解即可． 【详解】解：设今年李明岁，则今年小华岁， 由题意得：， 解不等式组得：， ∵为正整数， ∴，， ∴李明和小华今年分别是15岁、7岁． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题的关键在于根据题意列不等式组． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）丽丽比爷爷小52岁．4年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还多；4年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的6倍还少．今年丽丽的年龄是__________岁． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，年龄问题的数量关系，掌握利用年龄差不变设未知数，根据题意列不等式组，求解整数解并验证是解题的关键． 设今年丽丽年龄为 岁，则爷爷年龄为岁；根据年前和年后的条件列出不等式，求解的取值范围，并验证整数解． 【详解】解：设今年丽丽年龄为 岁，则爷爷年龄为岁； 由题意得， 解得： ∵为正整数， ∴，则 验证：今年丽丽岁，爷爷岁； 年前丽丽岁，爷爷岁，，符合条件； 年后丽丽岁，爷爷岁，，符合条件． 故答案为：． 【变式6-3】阅读材料，并回答问题 如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5． （单位：cm）由此可得，木棒长为__________cm． 借助上述方法解决问题： 一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？ （1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄． （2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁．灰太狼计划为全家抓5只羊，综合考虑口感和生长周期等因素，决定所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁．请问灰太狼有几种抓羊方案？ 【答案】（1）村长64岁，美羊羊12岁   （2）抓四只小羊一只老羊或抓五只小羊 【详解】试题分析：（1）在求村长爷爷年龄时，借助数轴，把美羊羊与村长爷爷的年龄差看做木棒MN，类似村长爷爷比美羊羊大时看做当N点移动到A点时，此时M点所对应的数为-40，美羊羊比村长爷爷大时看做当M点移动到B点时，此时N点所对应的数为116，所以可知爷爷比美羊羊大[116-（-40）]÷3=52，可知爷爷的年龄． （2）设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，再根据抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁，列不等式组，解不等式组，得出其整数解即可 试题解析： （1）如图： 点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B． 由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为-40，当点M移动到点B时，点N所对应的数为116． 可求MN=52． 所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64． 即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁． （2）设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，依题意得： 解得：，则x=4,或x=5, 即抓四只小羊一只老羊或抓五只小羊 【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是把村长爷爷与美羊羊的年龄差看做一个整体（木棒MN），而后把此转化为上一题中的问题． 【题型7 比例问题】 【例7】养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940． (1)请你根据以上信息计算该养牛场每头大牛和每头小牛1天各约需饲料多少千克？ (2)隔天又购进8头大牛和5头小牛，此时储备的饲料有8000，请你计算一下，在养牛数量保持不变的情况下，储备的饲料最多可以维持几天？ (3)牛饲料是要按照一定的比例进行科学配制的，一般配制饲料的原则是粗细结合、营养全面、易于消化．养牛场打算租用A、B两种运输车共6辆去运回购买的饲料，已知每辆A型运输车可装精细饲料5吨和粗饲料7吨；每辆B型运输车可装精细饲料8吨和粗饲料2吨，现要购买精细饲料36吨，粗饲料27吨，请你写出租用A、B两种车型各多少辆． 【答案】(1)每头大牛1天约需饲料20千克，每头小牛1天约需饲料5千克 (2)7天 (3)租用A种车型3辆，则B种车型3辆或租用A种车型4辆，则B种车型2辆 【分析】（1）设每头大牛1天约需饲料x千克，每头小牛1天约需饲料y千克，根据已知列出方程组，解之即可； （2）用8000除以隔天又购进8头大牛和5头小牛后的每天所需的饲料，根据结果即可得解； （3）设租用A种车型m辆，根据两种车型共需要运输精细饲料36吨，粗饲料27吨，列出不等式组，解之取整数解即可． 【详解】（1）解：设每头大牛1天约需饲料x千克，每头小牛1天约需饲料y千克， 由题意可得：， 解得：， ∴每头大牛1天约需饲料20千克，每头小牛1天约需饲料5千克； （2） ， ∴储备的饲料最多可以维持7天； （3）设租用A种车型m辆，则B种车型辆， 由题意可得：， 解得：， ∵m为整数， ∴m为3或4， ∴租用A种车型3辆，则B种车型3辆或租用A种车型4辆，则B种车型2辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是正确列出方程组、不等式组以及算式，注意实际问题中取整． 【变式7-1】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 能力 7 6 8 态度 5 8 5 公司将学历、能力、态度按的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】根据题可得，再由，可得，然后根据以此为依据最终丙被录取，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵以此为依据最终丙被录取， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了加权平均数，不等式组的应用，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 【变式7-2】为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品____________件． 【答案】320 【分析】可设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，根据第一次三种纪念品总数量不超过1000件，列出方程组和不等式求解即可． 【详解】解：设第一次购进后库存总数量为m件，第一次购进A种纪念品8x件，则第一次购进B种纪念品7x件，第一次购进C种纪念品9x件，设第二次购进后A种纪念品9y件，则第二次购进后B种纪念品10y件，第二次购进后C种纪念品10y件，设第三次购进后A种纪念品7z件，则第三次购进后B种纪念品6z件，第三次购进后C种纪念品6z件，依题意有 ， 则24x=29y-200=19z-370=m， ∵0＜m≤1000， ∴0＜x≤41，6＜y≤41，19＜z≤72， ∵x，y、z均为正整数， ∴1≤x≤41，7≤y≤41，20≤z≤72， 24x=29y-200化为：x=y-8+， ∴5y-8=24n（n为正整数）， ∴5y=8+24n=8（1+3n）， ∴y=8k（k为正整数），5k=3n+1， ∴7≤8k≤41，n=k+， ∴1≤k≤5，1≤2k-1≤9， ∵2k-1必为奇数且是3的整数倍． ∴2k-1=3或2k-1=9， ∴k=2或k=5， 当k=2时，y=16，x=11，z=33（舍） ∴k只能为5， ∴y=40，x=40，z=70． ∴8x=8×40=320． 答：第一次购进A种纪念品320件． 故答案为：320． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程组并能在给定约束条件求解不定方程的整数解． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下： ①使用厦门地铁刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额比例进行碳币累计．例如，当票价为2元时，实付金额为元，累计增加18碳币． ②每日可在厦门地铁签到一次，每次签到可累计增加10碳币． ③用户可以用碳币在厦门地铁上兑换各项权益． 为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择． 单程出行方式 总碳排放量 方式一 地铁8站（票价4元）电动车骑行 方式二 地铁9站（票价5元）电动车骑行 注：假设地铁每站碳排放量一样． 结合上述信息，回答下列问题： (1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？ (2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量； (3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830碳币．他每月工作20天，在总碳排放量不超过千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由．（每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式） 【答案】(1)这五天共累计增加410碳币； (2)乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为； (3)一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），详见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）利用这五天共累计增加碳币的数量（选择方式一单程出行累计增加碳币数每次签到可累计增加碳币数）,即可求出结论； （2）设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为，根据采用方式一、方式二单程出行的总碳排放量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2千克，且每月需要累计增加不低于1830碳币”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （碳币）． 答：这五天共累计增加410碳币． （2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为， 根据题意得：， 解得：． 答：乘坐地铁每站的碳排放量为，骑电动车每千米的碳排放量为． （3）解：一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一），理由如下： 设一个月中选择次方式一出行，则选择次方式二出行， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可以为25，26，27，28，29，30， 一个月中选择25次方式一出行，15次方式二出行（答案不唯一）． 【题型8 形积问题】 【例8】如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升． (1)求一个大玻璃球的体积； (2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围． 【答案】(1)一个大玻璃球的体积为； (2)一个小玻璃球体积的大于且不大于． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）利用容器的底面积倒入水的体积水面的高度，可求出容器的底面积，再利用一个大玻璃球的体积容器的底面积放入一个大玻璃球水面上升的高度，即可求出一个大玻璃球的体积； （2）设一个小玻璃球的体积是，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：容器的底面积为， 一个大玻璃球的体积为． 答：一个大玻璃球的体积为； （2）解：设一个小玻璃球的体积是， 根据题意得：， 解得：． 答：一个小玻璃球体积的大于且不大于． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可． 【详解】设一个球的体积为，根据题意，得 ， 解得， 观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是． 故选：C． 【变式8-2】延长花椒是延长县的特产，黄河沿岸的人们历来有栽植花椒的习惯，是延长重点发展的产业之一．也是许多地区农民增收的重要来源．某花椒种植基地的甲、乙两个种植户，他们种植了两类花椒，其种植的两类花椒的种植面积与总收入如下表所示．（不同种植户种植的同类花椒每亩平均收入相等） 种植户 种植类花椒（单位：亩） 种植类花椒（单位：亩） 总收入（单位：元） 甲 3 1 42000 乙 2 1 32000 (1)分别求出两类花椒每亩的平均收入； (2)李爷爷准备租8亩地用来种植、两类花椒，为了使总收入不低于84000元．且种植类花椒的面积多于种植类花椒的面积，求李爷爷所有的种植方案．（两类花椒的种植面积均为整数） 【答案】(1)A、B两类花椒每亩平均收入分别是10000元，12000元 (2)种植方案为：种植A类花椒5亩，B类花椒3亩，或种植A类花椒6亩，B类花椒2亩 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键； （1）根据等量关系：甲种植户总收入为42000元，乙种植户总收入为32000元，列出方程组求解即可； （2）根据总收入不低于84000元，种植A类花椒的面积多于种植B类花椒的面积列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两类花椒每亩平均收入分别是x元，y元． 由题意得： 解得： 答：A、B两类花椒每亩平均收入分别是10000元，12000元． （2）设用来种植A类花椒的面积a亩，则用来种植B类花椒的面积为亩．由题意得： 解得：． ∴a取整数为：5、6． ∴种植方案为：种植A类花椒5亩，B类花椒3亩，或种植A类花椒6亩，B类花椒2亩． 【变式8-3】已知一个长方形的相邻两边长分别为和，若它的周长小于，面积大于，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据周长和面积公式分别列出关于的不等式，然后求解即可． 【详解】解：依题意得不等式： ，解得； ，解得． 因此的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的运用，解题的关键是根据长方形的面积和周长列出不等式． 【题型9 积分问题】 【例9】（25-26七年级下·四川广元·期末）某同学准备在文具店一次性选购A、B两款文具共12件．A款每件a元，可积累9点店铺积分；B款每件b元，可积累6点店铺积分．已知：A款文具单价比B款文具单价多2元，买3件A款文具的费用比买5件B款文具的费用少4元． (1)求A、B两款文具的单价； (2)该同学计划选购总费用不超过74元，两款文具均不少于4件，列出全部选购方案； (3)文具店规定：累计店铺积分不低于88点就能兑换神秘学习礼包，在（2）的条件下，请你为该同学设计一个既省钱又能兑换神秘学习礼包的选购方案． 【答案】(1)A款文具单价为元，B款文具单价为元 (2)共有4种选购方案，分别是：①A款4件，B款8件；②A款5件，B款7件；③A款6件，B款6件；④A款7件，B款5件 (3)选购A款6件，B款6件，既省钱又能兑换神秘学习礼包 【分析】（1）首先根据题干给出的A、B单价的等量关系，列二元一次方程组求解得到两款文具的单价； （2）设A款文具的购买数量，根据总费用限制、两款文具数量的限制，列不等式组得到x的取值范围，结合x为正整数得到所有可行的选购方案； （3）根据积分要求得到x的范围，列举总费选出最省钱的符合要求的方案． 【详解】（1）解：根据题意，设A款单价为元，B款单价为元， 可得， 解得 答：A款文具单价为（元），B款文具单价为（元）； （2）解：设选购A款文具件，则选购B款文具件，为正整数， 根据题意可得 ， 解不等式组得， 因为为正整数，所以的取值为， 对应选购方案为： 方案1：A款4件，B款8件； 方案2：A款5件，B款7件； 方案3：A款6件，B款6件； 方案4：A款7件，B款5件， 答：共有上述4种选购方案； （3）解：由题意，， ， 为正整数， ， 又由（2）知， 或． 设总费用为元，则， 当时，（元）， 当时，（元）， ， 当时，最小，此时， 购买A种文具6个，B种文具6个，既节省费用，又能购买神秘学习礼包． 【变式9-1】“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加． (1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？ (2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？ 【答案】(1)该班级胜了6场，负了8场 (2)该班级在这场比赛中多选题最多能得44分 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审请题意、正确列出方程组和不等式组成为解题的关键． （1）设该班级胜了x场，负了y场．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道．然后根据题意列不等式组求解，然后根据实际意义即可解答． 【详解】（1）解：设该班级胜了x场，负了y场． 根据题意，得解得． 答：该班级胜了6场，负了8场． （2）解：设该班级在这场比赛中全部选对的有道，则选对但选不全的有道． 根据题意可列出不等式组解得：． 根据题意知全部选对的题越多，得分越多． 当时，多选题得分最多，为（分）． 答：该班级在这场比赛中多选题最多能得44分． 【变式9-2】一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 17 3 79 乙 11 9 37 (1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？ (2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分． (3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？ 【答案】(1)小亮的得分是72分 (2)参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分 (3)小王答对了17道题 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一元一次不等组的应用： （1）先根据表格列出二元一次方程组，求出的值，进而根据得分规则，列出算式进行计算即可； （2）设参赛学生要答对道题，总分才不会低于60分，列出不等式进行求解即可； （3）设小王答对了道题，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， 故对1题得5分，答错或不答1题扣2分， ， 答：小亮的得分是72分； （2）设参赛学生要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∴参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分； （3）设小王答对了道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， 答：小王答对了17道题． 【变式9-3】小明放学回家后，问爸爸、妈妈小牛队与太阳队篮球比赛结果．下面是他与他父母亲的对话. 小明：“爸爸妈妈，小牛队与太阳队篮球比赛结果如何？” 爸爸：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．” 妈妈：“特里得分的2倍与纳什得分的差大于10，纳什得分的2倍比特里得分的3倍还多．” 爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢，否则太阳队赢” 请你帮小明分析一下，究竟是哪个队赢了．本场比赛特里、纳什各得了多少分? 【答案】小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分 【详解】试题分析：关键描述语是：特里得分的两倍与纳什得分的差大于10，纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．不等关系为：特里得分×2-纳什得分＞10；纳什得分×2＞特里得分×3．根据这两个不等关系就可以列出不等式组，从而求解． 试题解析：设本场比赛特里得了x分，则纳什得分为x+12. 由题意得，解得22<x<24. 因为x是整数，所以x=23. 小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分． 【题型10 分段计费问题】 【例10】2022年8月金华轻轨的开通极大方便了居民的出行，全线实行按里程分段计程票制，起步价2元，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 8公里以内 （含8公里） 8至28公里 （含28公里） 28至64公里以内 （含64公里） 64公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 (1)若上车站点与下车站点的里程数为6公里，则乘坐轻轨的车费为______元． (2)已知金华站距金华南站的里程数是14.5公里，金华站距义亭站的里程是45公里，请计算乘坐轻轨从金华站到金华南站、金华站到义亭站的费用分别是多少元？ (3)已知某人乘轻轨从一个站点到另一个站点，中途没下车，费用为12元，这两个站点之间的里程数为s公里，请直接写出s的范围． 【答案】(1)2； (2)金华站到金华南费用为4元，金华站到义亭站费用为10元； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次不等式组的应用， （1）根据表格计算即可解答； （2）根据表格，分别进行分段计算即可解答； （3）根据不足1元按1元计算，算出的价格在大于11元，小于等于12元，列一元一次不等式即可解答， 根据题意，列出正确的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可得乘坐轻轨的车费为2元， 故答案为：2； （2）解： 元， 根据不足1元按1元计算，可得金华站到金华南站的费用为4元； ， 根据不足1元按1元计算，可得金华站到金华南站的费用为10元 （3）解：由费用可得公里数为第三档， 根据不足1元按1元计算，算出的价格在大于11元，小于等于12元， 故可得不等式， 解得． 【变式10-1】2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见.草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算. 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过1500元的部分 5% 2 超过1500元至4500元的部分 10% 3 超过4500元至9000元的部分 20% …… …… …… 依据草案规定，解答下列问题： （1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？ （2）若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗? 若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由. 【答案】解：（1）李工程师每月纳税：1500×5% +3000×10% +（8000-7500）×20% ="75+300+100=" 475（元）……………………………………………               4分 （2）设该纳税人的月工薪为x元，则 当x≤4500时，显然纳税金额达不到月工薪的8% ………………5分 当4500＜x≤7500时，由1500×5% +（x-4500）×10%>8% 得x＞18750，不满足条件；…………………………………………               7分 当7500＜x≤10000时，由1500×5% +3000×10%+（x-7500）×20%>8% 解得x＞9375，故9375＜x≤10000…………………………………               9分 答：若该纳税人月工薪大于9375元且不超过10000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%.…………………………………………………………                       10分 【详解】（1）按照图表计算即可得应纳多少税． （2）设该纳税人的月工薪为x元，分x≤4500，x＞18750，x＞9375三种情况讨论得出该纳税人的月工薪范围． 【变式10-2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）某市地铁实行分段计价收费，其标准为：不超过公里收起步价元；超过公里时，每公里加收元，不足公里按公里计；刷学生卡可以折优惠．小湖乘坐地铁出站时刷学生卡花费元，则他乘坐地铁里程（公里）的范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，找出每段收费即可求解． 【详解】解：刷学生卡可以折优惠．小湖乘坐地铁出站时刷学生卡花费元， ∴原价为：（元）， ∵不超过公里收起步价元， ∴小湖乘坐地铁里程超过公里， ∵超过公里时，每公里加收元，不足公里按公里计， ∴当时，原价为（元）， 当时，原价为（元）， ∴他乘坐地铁里程（公里）的范围是， 故答案为： ． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【题型11 图表信息问题】 【例11】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）【问题情境】为落实绿色低碳城市建设，某环卫公司采购甲、乙两款新能源抑尘洒水车，减少扬尘污染，相关采购价格与作业效率信息整理如下： 表1  甲、乙两款洒水车采购成本统计表 采购方案 甲型车辆数量（台） 乙型车辆数量（台） 总采购费用（万元） 方案一 2 3 270 方案二 3 1 230 表2  甲、乙两款洒水车作业效率 车辆类型 单台每日洒水保洁面积（万平方米） 甲型 35 乙型 30 【解决问题】 (1)求甲、乙两种型号洒水车每台的采购单价； (2)公司计划采购甲、乙洒水车共10台，采购总费用不能超过560万元，且购进甲型洒水车数量不少于乙型洒水车数量的． ①一共有几种符合条件的采购方案？ ②要使每日洒水保洁总面积最大，该怎样采购？每日最大保洁面积是多少万平方米？ 【答案】(1)甲型每台60万元，乙型每台50万元 (2) ①共有四种采购方案．         ②购进甲型6台，则购进乙型4台保洁面积最大，最大面积为330万平方米 【分析】（1）设甲型每台万元，乙型每台万元，根据表1数据列方程组求解即可； （2）①设购进甲型台，则购进乙型台，根据题意列不等式组求解即可； ②根据①中值分别计算四种采购方案的每日洒水保洁总面积，比较即可解答； 【详解】（1）解：设甲型每台万元，乙型每台万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型每台60万元，乙型每台50万元． （2）解：①设购进甲型台，则购进乙型台， 根据题意得： ， 解得：， 因为为整数，所以，，，． 则共有四种采购方案．         ②方案一：， 方案二：， 方案三：， 方案四：， ， 故购进甲型6台，购进乙型4台保洁面积最大，最大面积为330万平方米． 【变式11-1】为探究生活中硬币的质量，某班三个数学兴趣小组都仅用一架天平和一个10克的砝码进行了如下活动（假设同种类每枚硬币的质量相同）． 第一组和第二组的活动探究结果如图所示（状态平衡）： (1)请算一算，一枚壹元和一枚伍角硬币的质量分别为多少克？ (2)第三组在天平上放置了一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币，此时天平刚好保持平衡，请完成第三组的活动记录表： 第三小组活动记录表 天平左边 天平右边 状态 币值 壹元 伍角 壹元 伍角 平衡 枚数 ________ ________ ________ ________ (3)现有一袋壹元和伍角硬币，数量在185~195枚之间，称重1000克，直接写出袋中硬币有________元（写出所有可能的答案）． 【答案】(1)1枚壹元硬币的质量为7克，1枚伍角硬币的质量为3克； (2)天平左边壹元2枚，伍角3枚；天平右边壹元1枚，伍角2枚； (3)149元或148.5元 【分析】（1）设1枚壹元硬币的质量为克，1枚伍角硬币的质量为克，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据题意先求出一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币的总质量，进而即可求解； （3）设袋中壹元硬币有m枚，则伍角硬币有枚，根据题意列出不等式组，结合m是正整数，是正整数，即可求解 【详解】（1）解：设1枚壹元硬币的质量为克，1枚伍角硬币的质量为克． 由题意可得 解之得 答：1枚壹元硬币的质量为7克，1枚伍角硬币的质量为3克． （2）解：，， 天平左边壹元2枚，伍角3枚：， 天平右边壹元1枚，伍角2枚：， （3）解：设袋中壹元硬币有m枚，则伍角硬币有枚， 由题意得： 解得：， ∵m是正整数，是正整数 ∴，或，， ∴（元）或（元） 【变式11-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）【问题背景】 数学活动课上，老师带领同学们探究月历中的奥秘，将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 (1)第一小组的同学们设计了一个如图2的形框，若形框覆盖的五个数的和为96，求这五个数中最小的数． 【探究二】 (2)第二小组的同学们设计了如图3的形框，设形框覆盖的五个数从小到大依次为，求的值． 【探究三】 (3)第三小组的同学们设计了如图4，图5的十字形框和形框，设十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；形框的中心数为，覆盖的七个数的和为，若，求的值． 【答案】(1)14 (2)43 (3)14或21 【分析】（1）设这五个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得这五个数表示，得，解答即可； （2）根据题意，得，，，，分别代入，化简求解即可． （3）先用a,b分别表示其余的个各数，求得m，n，建立等式，根据整数的性质，分类求解即可． 【详解】（1）解：设这五个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得这五个数表示如图所示， 故， 整理，得， 解得 故这五个数中最小的数为14． （2）解：设形框覆盖的五个数从小到大依次为，如图所示， 根据题意，得，，，， ． （3）解：根据题意，各数的表示如图所示， 十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为； 故， 形框的中心数为，覆盖的七个数的和为， 故， ， ， ， 根据题意，， 故， 是正整数， 故是5的倍数， ，或，或， ，或，或， 根据题意，， 故， 故或． 【变式11-3】（2026·江苏南通·三模）根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】我校开展爱心义卖活动时某班同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块元的价格买了张相同的长方形木板． 【素材2】现将部分木板按图虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，其余木板按图虚线裁剪出三块大小一样的木板，每一小块恰好可以作为按图虚线裁剪的无盖长方体收纳盒的盖子，给部分盒子配上盖子． 【素材3】义卖时的售价为无盖收纳盒元/个；有盖收纳盒元/个． (1)若按图方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出可行的分配方案． (2)在（1）的条件下，如把图裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图余料可以制成块茶杯垫，可以按元/块的价格出售，如何设计木板的分配方案，可以在全部售出后获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒 (2)最大利润为元，图1需要85张，图2需要15张 【分析】（1）根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； （2）分别计算三种方案的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案： ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； （2）解：由题意，根据（1）中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴最大利润为元，图1需要85张，图2需要15张． 【题型12 方案选择问题】 【例12】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具．若购买个鲁班锁和个九连环需要元；购买个鲁班锁和个九连环需要 元． 【基础设问】 （1）每个鲁班锁和每个九连环各多少元? （2）学校决定购买这两种活动道具共个，总费用不超过元，那么学校最多可以购买多少个鲁班锁? 【能力设问】 （3）学校决定再次购买这两种活动道具共个且购买鲁班锁的数量不少于九连环数量的倍，恰逢商场进行促销优惠活动鲁班锁打八五折销售，九连环售价不变，若学校准备用不超过元的资金购买这两种活动道具，请给出相应的购买方案． （4）若该兴趣小组只需要鲁班锁，购买时商家给出两种优惠方案，方案一：所有鲁班锁按售价打八折；方案二：免费赠送个鲁班锁，其他鲁班锁均打九折，购买鲁班锁的数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算? 【答案】（）鲁班锁元，九连环元；（）最多买个；（）方案：购买九连环个，鲁班锁个；方案：购买九连环个，鲁班锁个；方案：购买九连环个，鲁班锁个；方案：购买九连环个，鲁班锁个；（）时，方案一更划算． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设每个鲁班锁元，每个九连环元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购买鲁班锁个，则九连环个，根据题意得，求出的范围即可求解； （）设购买九连环个，则鲁班锁个，根据题意得，解得，然后取的整数值即可求解； （）设购买鲁班锁个，根据题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设每个鲁班锁元，每个九连环元， 根据题意得，，解得：， 答：每个鲁班锁元，每个九连环元； （）设购买鲁班锁个，则九连环个， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴学校最多可以购买个鲁班锁； （）设购买九连环个，则鲁班锁个， 根据题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或或或， ∴方案：购买九连环个，鲁班锁个； 方案：购买九连环个，鲁班锁个； 方案：购买九连环个，鲁班锁个； 方案：购买九连环个，鲁班锁个； （）设购买鲁班锁个， 根据题意得：，解得：， 答：购买鲁班锁的数量大于时，按方案一购买比按方案二购买要划算． 【变式12-1】（25-26七年级下·重庆南川·期末）某校“综合与实践”小组开展了“为新能源汽车专卖店制定销售方案”的主题活动．请你协助他们完成该活动报告中的任务一至三． 活动主题 为新能源汽车专卖店制定销售方案 活动目的 运用方程（组）与一元一次不等式（组）为新能源汽车专卖店制定销售方案 活动素材一 新能源汽车专卖店有A，B两种型号的新能源汽车．每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元； 活动素材二 该新能源汽车专卖店上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；本周售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元； 活动素材三 甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型车不少于3辆，购车费不少于120万元； (1)任务一：每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)任务二：甲公司有哪几种购车方案？ (3)任务三：作为专卖店的销售人员，若在保证甲公司购车需求的前提下，实现专卖店销售利润最大化，你会优先向甲公司推荐哪种购车方案？并计算出该方案下专卖店能获得的利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车售价为18万元，每辆B型车售价为26万元． (2)共有2种购车方案，方案一：购买A型车3辆，B型车3辆；方案二：购买A型车4辆，B型车2辆． (3)推荐购买A型车3辆，B型车3辆的方案，最大利润为27万元． 【分析】（1）根据两周销售额的条件列二元一次方程组求解两种车的售价； （2）设A型车的购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式，结合整数性质得到所有符合条件的购车方案； （3）计算两种方案的利润，比较后得到利润最大的方案． 【详解】（1）解：设每辆A型车售价为万元，每辆B型车售价为万元， 根据题意列方程组得， 解得， 答：每辆A型车售价为18万元，每辆B型车售价为26万元； （2）解：设购买A型车辆，则购买B型车辆，为整数， 根据题意得， 解得． 因为为整数， 所以或． 当时，； 当时，． 答：甲公司共有2种购车方案，方案一：购买A型车3辆，B型车3辆；方案二：购买A型车4辆，B型车2辆． （3）解：每辆A型车的利润为(万元)，每辆B型车的利润为(万元)． 方案一的总利润：(万元)， 方案二的总利润：(万元)， 因为， 所以选择A型车3辆，B型车3辆的方案利润最大． 答：优先推荐购买A型车3辆，B型车3辆的方案，该方案下专卖店获得的最大利润是27万元． 【变式12-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）根据以下素材，尝试解决问题： 如何设计购买方案？ 背景 2026“苏超”联赛热度持续高涨，文旅消费联动显著．无锡队依托“桃喜”（水蜜桃形象）和“锡力哥”（足球公仔）两大，推出了系列文创产品．小李计划从某网店购进“桃喜”小夜灯和“万众一锡”帆布袋两款文创产品，联赛期间在我市体育中心的“苏超”陶淘市集上摆摊销售． 素材1 小李第一次购买1只小夜灯和1只帆布袋共需46元，购买2只小夜灯和3只帆布袋共需108元． 素材2 两款文创产品很是畅销，小李计划再次回购这两款产品共50件，在下次联赛时销售．其计划购进小夜灯个，且购进帆布袋的数量不超过小夜灯数量的2倍，并且预算总费用不超过1080元． 素材3 在回购时恰逢该网店“五一”促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个帆布袋； 方式二：全场商品享受九五折优惠． 问题解决 精准定价 (1)求小夜灯和帆布袋的单价分别为多少元？ 方案规划 (2)请通过计算说明小李再次回购时共有几种采购方案？ 成本优化 (3)在（2）问的所有采购方案中，如果小李再次回购想要采用购进小夜灯最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)小夜灯的单价为30元，帆布袋的单价为16元 (2)共有4种采购方案 (3)选择方式一采购总价更低 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【详解】（1）解：设小夜灯的单价为元，帆布袋的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：小夜灯的单价为30元，帆布袋的单价为16元； （2）解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 共有4种采购方案； （3）解：由（2）可知想要购进小夜灯最多的方案为：小夜灯20个，帆布袋30个． 方式一：设实际购买帆布袋个，则购买商品的总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）帆布袋，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）帆布袋， 共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式一采购总价更低． 【变式12-3】（25-26八年级下·广东河源·期中）根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】(1)甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元 (2)共有3种可行的购买方案，方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本 (3)购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低 【分析】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，再建立方程求解即可； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据题意得：，再进一步求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出成本最低的采购方案． 【详解】（1）解：设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）解：设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本； 方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本； 方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本； （3）解：方案一总花费：元， 方案二总花费：元， 方案三总花费：元， ∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低． 【题型13 活动素材问题】 【例13】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）综合实践： 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知购进1个篮球和2个排球共花费320元，购进2个篮球和1个排球共花费340元． 素材2 学校花费1580元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”． 素材3 学校花费1580元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决： (1)任务1（探求商品单价）：请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价； (2)任务2（求商品的数量）：利用素材2，求出该校花费1580元购买的篮球和排球的所有可行的方案； (3)任务3（确定抵扣方式）：基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】(1)排球的单价为100元，篮球的单价为120元 (2)方案一：购买篮球4个，购买排球11个；方案二：购买篮球9个，购买排球5个 (3)排球中使用抵扣券的数量为1个 【分析】（1）设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据题意列出方程组并求解即可； （2）设购买篮球个，购买排球个，根据题意可得，变形得，结合、都是非负整数可得，或，分别计算并写出方案即可； （3）根据使不使用抵扣券，价格可分为单价元、单价元、单价元三档，设元档买了个，元档买了个，则元档买了个，根据题意可得，整理得，结合实际意义列出不等式组，求解出，因此，． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，则排球的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元． （2）解：设购买篮球个，购买排球个， 根据题意可得：， ∴， ∵、都是非负整数， ∴是5的倍数，且， ∴或， ①当时， ∴，； ②时， ∴，； 答：方案一：购买篮球4个，购买排球11个；方案二：购买篮球9个，购买排球5个． （3）解：设第二次购买时，原价购买的篮球有个，使用抵扣券购买的排球有个， ∵（元）， ∴使用了抵扣券购买的篮球和没使用抵扣券购买的排球价格相同， 根据题意，购买的总球数为个， ∴使用了抵扣券购买的篮球和没使用抵扣券购买的排球共有个， ∴， 整理，得， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵是整数， ∴， ∴． 答：排球中使用抵扣券的数量为1个． 【变式13-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）请根据以下素材，完成相关任务． 背景 云南昆明斗南花卉市场．被誉为“中国花卉第一镇”，现已发展成为亚洲最大的鲜花交易市场，是著名的花都．某游客计划购买A、B两种鲜花纪念品作为伴手礼赠予亲友． 素材1 购买2件A种鲜花纪念品与3件B种鲜花纪念品需要85元； 素材2 购买3件A种鲜花纪念品与2件B种鲜花纪念品需要90元； 素材3 该游客根据亲友人数，需购买A、B两种鲜花纪念品共60件，且B种鲜花纪念品数量不超过A种鲜花纪念品数量的3倍．根据旅游资金规划，该游客用于购买鲜花纪念品的资金不能超过980元． 请完成下列任务： (1)A、B两种鲜花纪念品每件多少元？ (2)请给该游客提供购买方案． 【答案】(1)A、B两种鲜花纪念品每件分别为20元、15元 (2)购买方案一：购买15件A种鲜花纪念品，则购买45件B种鲜花纪念品； 购买方案二：购买16件A种鲜花纪念品，则购买44件B种鲜花纪念品 【分析】（1）设A、B两种鲜花纪念品每件x元、y元，根据购买2件A种鲜花纪念品与3件B种鲜花纪念品需要85元；购买3件A种鲜花纪念品与2件B种鲜花纪念品需要90元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买m件A种鲜花纪念品，则购买件B种鲜花纪念品，根据B种鲜花纪念品数量不超过A种鲜花纪念品数量的3倍，游客用于购买鲜花纪念品的资金不能超过980元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A、B两种鲜花纪念品每件分别为x元、y元， 则 解得 答：A、B两种鲜花纪念品每件分别为20元、15元． （2）解：设购买m件A种鲜花纪念品，则购买件B种鲜花纪念品，得： 解不等式①，得 解不等式②，得 ， ∵m为整数， ①当时， ②当时， 购买方案一：购买15件A种鲜花纪念品，则购买45件B种鲜花纪念品； 购买方案二：购买16件A种鲜花纪念品，则购买44件B种鲜花纪念品． 【变式13-2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）根据素材求解下列任务． 采购方案制定 素材一 随着夏季的来临，电风扇成为热销品．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为元，B型号每台进价为元； 素材二 以下是近两天的销售情况：第一天A种型号销售3台，B种型号销售5台；第二天A种型号销售4台，B种型号销售10台； 素材三 销售收入：第一天收入元，第二天收入元． （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 问题解决： (1)任务一：求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)任务二：若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)任务三：在任务二的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号电风扇的销售单价为元，B型号电风扇的销售单价为元 (2)最多采购A种型号的电风扇台 (3)在（2）条件下超市销售完这台电风扇能实现利润不少于 元的目标，有三种方案，分别为：①A 型号16台，B型号14台；②A型号17台，B型号13台；③A型号18台，B型号12台 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据3台型号台型号的电扇收入元，4台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解即可； （2）设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于元，列不等式求解即可得出答案； （3）根据利润大于等于1060元，列不等式求出a的取值范围，结合（2）中的取值范围，即可确定方案． 【详解】（1）解：设A、 B两种型号的电风扇的销售价分别为、元，由题意得 解得： 答：A型号电风扇的销售单价为元，B型号电风扇的销售单价为元． （2）解：设采购A种型号电风扇台，则采购B种型号的电风扇台 则 ， 解得：， 答：最多采购A种型号的电风扇台． （3）解：根据题意得： ， 解得， ∵在（2）的条件下， ∴ ∵为正整数， ∴可取， ∴符合题意的方案为： A型号16台，B型号14台； A型号17台，B型号13台； A型号18台，B型号12台； 答：在（2）条件下超市销售完这30台电风扇能实现利润不少于元的目标，有三种方案，分别为：①A型号台，B型号台；②A型号台，B型号台；③A型号台，B型号台． 【变式13-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 【答案】(1)1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； (2)，且n为整数，共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； (3) 【分析】（1）设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨，，依题意得，计算求解即可； （2）若建设A类垃圾站n座，则建设B类垃圾站座，根据每日处理垃圾能力不低于3.6吨建立不等式求出n的取值范围，再根据n为整数求解即可； （3）由题意得，解得，由仅有两种方案可供选择，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：设1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨， 依题意得，， 解得， 答：1座A类垃圾站日处理垃圾能力是吨，1座B类垃圾站日处理垃圾能力是吨； （2）解：由题意得， 解得， ∴，且n为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴共有5种设计方案：方案1、建设A类垃圾站0座，建设B类垃圾站10座；方案2、建设A类垃圾站1座，建设B类垃圾站9座；方案3、建设A类垃圾站2座，建设B类垃圾站8座；方案4、建设A类垃圾站3座，建设B类垃圾站7座；方案5、建设A类垃圾站4座，建设B类垃圾站6座； （3）解：由题意得，， 解得， ∵仅有两种方案可供选择，且，且n为整数， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 一元一次不等式组的应用（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 工程问题】 1 【题型2 行程问题】 2 【题型3 经济问题】 4 【题型4 分配问题】 4 【题型5 古文问题】 5 【题型6 年龄问题】 6 【题型7 比例问题】 6 【题型8 形积问题】 8 【题型9 积分问题】 9 【题型10 分段计费问题】 10 【题型11 图表信息问题】 11 【题型12 方案选择问题】 14 【题型13 活动素材问题】 17 考点1 一元一次不等式组的应用 【题型1 工程问题】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期末）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【变式1-1】已知A，B两个工程队合作修建某条60千米长的乡村路需要6个月完成，若A工程队先做4个月，剩下的部分由B工程队做9个月可以完成．已知A工程队每月施工费用为15万元，B工程队每月施工费用为8万元． (1)A，B两个工程队每月分别可修建该条乡村路多少千米? (2)若该乡村路需要在12个月内完工，如果A工程队先做m个月，剩下的部分由B工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，A工程队至少做多少个月? (3)在（2）的条件下，若该工程总费用不超过144万元，则该工程有哪几种施工方案? 【变式1-2】（2026·广西百色·三模）[情境背景]平陆运河是广西陆海新通道骨干工程，计划今年建成通航，全长公里，项目估算总投资亿元，全线涉及104座桥梁，其中27座为跨运河主桥．某施工队承接运河某段航道开挖与桥梁建设任务，已知开挖1公里航道、建设1座跨运河主桥共需投入资金亿元；开挖3公里航道、建设2座跨运河主桥共需投入资金亿元． (1)求施工队开挖1公里航道、建设1座跨运河主桥分别需要投入多少亿元资金． (2)该施工队计划投入资金不超过30亿元，用于开挖航道和建设跨运河主桥，且建设跨运河主桥的数量不少于航道开挖公里数的，设开挖航道公里，求出最多可以开挖多少公里航道（取整数）并写出的取值范围． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）随着城镇化建设的开展，我市加快了交通与住房建设，产生了不少建筑渣土，渣土运输公司承包了某工程的渣土运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车清运渣土，已知3辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方吨，5辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输渣土多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共辆参与运输渣土，每辆大型渣土车一次需费用元，每辆小型渣土车一次需费用元．若运输土方总量不少于87吨，且总费用低于元．请列出所有运输方案； (3)在（2）的条件下，哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【题型2 行程问题】 【例2】（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，正方形的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过______秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上． 【变式2-3】甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C 地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍． (1)求甲、乙两人行驶的速度； (2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求的取值范围； (3)当时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出的取值范围，如果不能，请说明理由． 【题型3 经济问题】 【例3】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成本是5000元，建设一个大型租赁点的成本是8000元，若小城计划投入资金不超过50000元，建设大、小两种租赁点一共8个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？ 【变式3-1】（25-26七年级下·河南周口·期末）某商店购进甲、乙两种文具，每件甲文具进价4元，每件乙文具进价6元．若购进甲、乙共80件，总进价380元． (1)求购进甲、乙文具各多少件； (2)商店计划再次采购，两种文具总数不超过100件，甲不少于30件，总进价不超过520元，求甲文具最多采购多少件． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？ 【题型4 分配问题】 【例4】（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【变式4-1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南安阳·期末）把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件． (1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【题型5 古文问题】 【例5】（2026·广东清远·二模）《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？ 【变式5-1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解决以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用45两银子买牛和羊共18只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 【变式5-2】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题： (1)笼中鸡、兔各有多少只？ (2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？ 【变式5-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）据考古发现，慈溪先民们食用野生杨梅的历史已经有7000年以上，驯化种植野生杨梅树的历史已经有4500多年，最早文献记载杨梅是西汉司马相如所著《上林赋》中的“樗（chu）枣杨梅”一词，也已有2200多年．慈溪杨梅最有名的品种为“荸荠种”，市场上卖的杨梅有小筐和大筐两种包装，何老师购买了1筐小筐和2筐大筐杨梅给数学老师们品尝，共花费275元；老师们吃完后赞不绝口，于是郑老师购买了2筐小筐杨梅，杨老师买了3筐大筐杨梅分给同学们品尝，两位老师共花费450元（每次购买两种包装的杨梅售价都不变）． (1)问小筐和大筐两种包装分别是每筐多少元？ (2)现在付老师要购买两种包装共16筐杨梅送给外地的朋友，要求小筐杨梅不少于大筐杨梅的2倍，但不超过大筐杨梅的4倍，请你帮助付老师设计一下购买方案并写出付老师所需费用． 【题型6 年龄问题】 【例6】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）丽丽比爷爷小50岁．2年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还小；2年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的7倍还大．今年丽丽的年龄是________岁． 【变式6-1】李明和小华的年龄相差8岁．今年，李明的年龄比小华年龄的2倍大；两年后，小华的年龄比李明年龄的大．试问：李明和小华今年各多少岁？ 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）丽丽比爷爷小52岁．4年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还多；4年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的6倍还少．今年丽丽的年龄是__________岁． 【变式6-3】阅读材料，并回答问题 如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5． （单位：cm）由此可得，木棒长为__________cm． 借助上述方法解决问题： 一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？ （1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄． （2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁．灰太狼计划为全家抓5只羊，综合考虑口感和生长周期等因素，决定所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁．请问灰太狼有几种抓羊方案？ 【题型7 比例问题】 【例7】养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940． (1)请你根据以上信息计算该养牛场每头大牛和每头小牛1天各约需饲料多少千克？ (2)隔天又购进8头大牛和5头小牛，此时储备的饲料有8000，请你计算一下，在养牛数量保持不变的情况下，储备的饲料最多可以维持几天？ (3)牛饲料是要按照一定的比例进行科学配制的，一般配制饲料的原则是粗细结合、营养全面、易于消化．养牛场打算租用A、B两种运输车共6辆去运回购买的饲料，已知每辆A型运输车可装精细饲料5吨和粗饲料7吨；每辆B型运输车可装精细饲料8吨和粗饲料2吨，现要购买精细饲料36吨，粗饲料27吨，请你写出租用A、B两种车型各多少辆． 【变式7-1】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 能力 7 6 8 态度 5 8 5 公司将学历、能力、态度按的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是_____________ 【变式7-2】为迎接建国70周年，某商店购进，，三种纪念品共若干件，且，，三种纪念品的数量之比为8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且，，三种纪念品的比例为9：10：10，又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多170 件，且，，三种纪念品的比例为7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过1000件，则第一次购进种纪念品____________件． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下： ①使用厦门地铁刷卡时，享受票价的9折优惠，按实付消费金额比例进行碳币累计．例如，当票价为2元时，实付金额为元，累计增加18碳币． ②每日可在厦门地铁签到一次，每次签到可累计增加10碳币． ③用户可以用碳币在厦门地铁上兑换各项权益． 为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1次，如表所示有两种出行方式可供选择． 单程出行方式 总碳排放量 方式一 地铁8站（票价4元）电动车骑行 方式二 地铁9站（票价5元）电动车骑行 注：假设地铁每站碳排放量一样． 结合上述信息，回答下列问题： (1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？ (2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量； (3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830碳币．他每月工作20天，在总碳排放量不超过千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说明理由．（每月按30天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式） 【题型8 形积问题】 【例8】如图，有一高度为的容器，在容器中倒入的水，此时刻度显示为，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．若每放入一个大玻璃球水面就上升． (1)求一个大玻璃球的体积； (2)放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】延长花椒是延长县的特产，黄河沿岸的人们历来有栽植花椒的习惯，是延长重点发展的产业之一．也是许多地区农民增收的重要来源．某花椒种植基地的甲、乙两个种植户，他们种植了两类花椒，其种植的两类花椒的种植面积与总收入如下表所示．（不同种植户种植的同类花椒每亩平均收入相等） 种植户 种植类花椒（单位：亩） 种植类花椒（单位：亩） 总收入（单位：元） 甲 3 1 42000 乙 2 1 32000 (1)分别求出两类花椒每亩的平均收入； (2)李爷爷准备租8亩地用来种植、两类花椒，为了使总收入不低于84000元．且种植类花椒的面积多于种植类花椒的面积，求李爷爷所有的种植方案．（两类花椒的种植面积均为整数） 【变式8-3】已知一个长方形的相邻两边长分别为和，若它的周长小于，面积大于，则x的取值范围是_________． 【题型9 积分问题】 【例9】（25-26七年级下·四川广元·期末）某同学准备在文具店一次性选购A、B两款文具共12件．A款每件a元，可积累9点店铺积分；B款每件b元，可积累6点店铺积分．已知：A款文具单价比B款文具单价多2元，买3件A款文具的费用比买5件B款文具的费用少4元． (1)求A、B两款文具的单价； (2)该同学计划选购总费用不超过74元，两款文具均不少于4件，列出全部选购方案； (3)文具店规定：累计店铺积分不低于88点就能兑换神秘学习礼包，在（2）的条件下，请你为该同学设计一个既省钱又能兑换神秘学习礼包的选购方案． 【变式9-1】“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加． (1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？ (2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？ 【变式9-2】一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况． 参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分 甲 17 3 79 乙 11 9 37 (1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？ (2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分． (3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？ 【变式9-3】小明放学回家后，问爸爸、妈妈小牛队与太阳队篮球比赛结果．下面是他与他父母亲的对话. 小明：“爸爸妈妈，小牛队与太阳队篮球比赛结果如何？” 爸爸：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．” 妈妈：“特里得分的2倍与纳什得分的差大于10，纳什得分的2倍比特里得分的3倍还多．” 爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢，否则太阳队赢” 请你帮小明分析一下，究竟是哪个队赢了．本场比赛特里、纳什各得了多少分? 【题型10 分段计费问题】 【例10】2022年8月金华轻轨的开通极大方便了居民的出行，全线实行按里程分段计程票制，起步价2元，不足1元按1元计算，具体收费标准如下： 里程范围 8公里以内 （含8公里） 8至28公里 （含28公里） 28至64公里以内 （含64公里） 64公里以上 收费标准 2元 4公里/元 6公里/元 8公里/元 (1)若上车站点与下车站点的里程数为6公里，则乘坐轻轨的车费为______元． (2)已知金华站距金华南站的里程数是14.5公里，金华站距义亭站的里程是45公里，请计算乘坐轻轨从金华站到金华南站、金华站到义亭站的费用分别是多少元？ (3)已知某人乘轻轨从一个站点到另一个站点，中途没下车，费用为12元，这两个站点之间的里程数为s公里，请直接写出s的范围． 【变式10-1】2011年4月 25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案（草案）》，向社会公开征集意见.草案规定，公民全月工薪不超过3000元的部分不必纳税，超过3000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算. 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过1500元的部分 5% 2 超过1500元至4500元的部分 10% 3 超过4500元至9000元的部分 20% …… …… …… 依据草案规定，解答下列问题： （1）李工程师的月工薪为8000元，则他每月应当纳税多少元？ （2）若某纳税人的月工薪不超过10000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗? 若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由. 【变式10-2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）某市地铁实行分段计价收费，其标准为：不超过公里收起步价元；超过公里时，每公里加收元，不足公里按公里计；刷学生卡可以折优惠．小湖乘坐地铁出站时刷学生卡花费元，则他乘坐地铁里程（公里）的范围是______． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【题型11 图表信息问题】 【例11】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）【问题情境】为落实绿色低碳城市建设，某环卫公司采购甲、乙两款新能源抑尘洒水车，减少扬尘污染，相关采购价格与作业效率信息整理如下： 表1  甲、乙两款洒水车采购成本统计表 采购方案 甲型车辆数量（台） 乙型车辆数量（台） 总采购费用（万元） 方案一 2 3 270 方案二 3 1 230 表2  甲、乙两款洒水车作业效率 车辆类型 单台每日洒水保洁面积（万平方米） 甲型 35 乙型 30 【解决问题】 (1)求甲、乙两种型号洒水车每台的采购单价； (2)公司计划采购甲、乙洒水车共10台，采购总费用不能超过560万元，且购进甲型洒水车数量不少于乙型洒水车数量的． ①一共有几种符合条件的采购方案？ ②要使每日洒水保洁总面积最大，该怎样采购？每日最大保洁面积是多少万平方米？ 【变式11-1】为探究生活中硬币的质量，某班三个数学兴趣小组都仅用一架天平和一个10克的砝码进行了如下活动（假设同种类每枚硬币的质量相同）． 第一组和第二组的活动探究结果如图所示（状态平衡）： (1)请算一算，一枚壹元和一枚伍角硬币的质量分别为多少克？ (2)第三组在天平上放置了一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币，此时天平刚好保持平衡，请完成第三组的活动记录表： 第三小组活动记录表 天平左边 天平右边 状态 币值 壹元 伍角 壹元 伍角 平衡 枚数 ________ ________ ________ ________ (3)现有一袋壹元和伍角硬币，数量在185~195枚之间，称重1000克，直接写出袋中硬币有________元（写出所有可能的答案）． 【变式11-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）【问题背景】 数学活动课上，老师带领同学们探究月历中的奥秘，将如图1的2025年10月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 (1)第一小组的同学们设计了一个如图2的形框，若形框覆盖的五个数的和为96，求这五个数中最小的数． 【探究二】 (2)第二小组的同学们设计了如图3的形框，设形框覆盖的五个数从小到大依次为，求的值． 【探究三】 (3)第三小组的同学们设计了如图4，图5的十字形框和形框，设十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；形框的中心数为，覆盖的七个数的和为，若，求的值． 【变式11-3】（2026·江苏南通·三模）根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】我校开展爱心义卖活动时某班同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块元的价格买了张相同的长方形木板． 【素材2】现将部分木板按图虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，其余木板按图虚线裁剪出三块大小一样的木板，每一小块恰好可以作为按图虚线裁剪的无盖长方体收纳盒的盖子，给部分盒子配上盖子． 【素材3】义卖时的售价为无盖收纳盒元/个；有盖收纳盒元/个． (1)若按图方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出可行的分配方案． (2)在（1）的条件下，如把图裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图余料可以制成块茶杯垫，可以按元/块的价格出售，如何设计木板的分配方案，可以在全部售出后获得最大利润，最大利润是多少？ 【题型12 方案选择问题】 【例12】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）综合实践：为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具．若购买个鲁班锁和个九连环需要元；购买个鲁班锁和个九连环需要 元． 【基础设问】 （1）每个鲁班锁和每个九连环各多少元? （2）学校决定购买这两种活动道具共个，总费用不超过元，那么学校最多可以购买多少个鲁班锁? 【能力设问】 （3）学校决定再次购买这两种活动道具共个且购买鲁班锁的数量不少于九连环数量的倍，恰逢商场进行促销优惠活动鲁班锁打八五折销售，九连环售价不变，若学校准备用不超过元的资金购买这两种活动道具，请给出相应的购买方案． （4）若该兴趣小组只需要鲁班锁，购买时商家给出两种优惠方案，方案一：所有鲁班锁按售价打八折；方案二：免费赠送个鲁班锁，其他鲁班锁均打九折，购买鲁班锁的数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算? 【变式12-1】（25-26七年级下·重庆南川·期末）某校“综合与实践”小组开展了“为新能源汽车专卖店制定销售方案”的主题活动．请你协助他们完成该活动报告中的任务一至三． 活动主题 为新能源汽车专卖店制定销售方案 活动目的 运用方程（组）与一元一次不等式（组）为新能源汽车专卖店制定销售方案 活动素材一 新能源汽车专卖店有A，B两种型号的新能源汽车．每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元； 活动素材二 该新能源汽车专卖店上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；本周售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元； 活动素材三 甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型车不少于3辆，购车费不少于120万元； (1)任务一：每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)任务二：甲公司有哪几种购车方案？ (3)任务三：作为专卖店的销售人员，若在保证甲公司购车需求的前提下，实现专卖店销售利润最大化，你会优先向甲公司推荐哪种购车方案？并计算出该方案下专卖店能获得的利润是多少万元？ 【变式12-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）根据以下素材，尝试解决问题： 如何设计购买方案？ 背景 2026“苏超”联赛热度持续高涨，文旅消费联动显著．无锡队依托“桃喜”（水蜜桃形象）和“锡力哥”（足球公仔）两大，推出了系列文创产品．小李计划从某网店购进“桃喜”小夜灯和“万众一锡”帆布袋两款文创产品，联赛期间在我市体育中心的“苏超”陶淘市集上摆摊销售． 素材1 小李第一次购买1只小夜灯和1只帆布袋共需46元，购买2只小夜灯和3只帆布袋共需108元． 素材2 两款文创产品很是畅销，小李计划再次回购这两款产品共50件，在下次联赛时销售．其计划购进小夜灯个，且购进帆布袋的数量不超过小夜灯数量的2倍，并且预算总费用不超过1080元． 素材3 在回购时恰逢该网店“五一”促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个帆布袋； 方式二：全场商品享受九五折优惠． 问题解决 精准定价 (1)求小夜灯和帆布袋的单价分别为多少元？ 方案规划 (2)请通过计算说明小李再次回购时共有几种采购方案？ 成本优化 (3)在（2）问的所有采购方案中，如果小李再次回购想要采用购进小夜灯最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【变式12-3】（25-26八年级下·广东河源·期中）根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【题型13 活动素材问题】 【例13】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）综合实践： 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知购进1个篮球和2个排球共花费320元，购进2个篮球和1个排球共花费340元． 素材2 学校花费1580元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”． 素材3 学校花费1580元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决： (1)任务1（探求商品单价）：请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价； (2)任务2（求商品的数量）：利用素材2，求出该校花费1580元购买的篮球和排球的所有可行的方案； (3)任务3（确定抵扣方式）：基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【变式13-1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）请根据以下素材，完成相关任务． 背景 云南昆明斗南花卉市场．被誉为“中国花卉第一镇”，现已发展成为亚洲最大的鲜花交易市场，是著名的花都．某游客计划购买A、B两种鲜花纪念品作为伴手礼赠予亲友． 素材1 购买2件A种鲜花纪念品与3件B种鲜花纪念品需要85元； 素材2 购买3件A种鲜花纪念品与2件B种鲜花纪念品需要90元； 素材3 该游客根据亲友人数，需购买A、B两种鲜花纪念品共60件，且B种鲜花纪念品数量不超过A种鲜花纪念品数量的3倍．根据旅游资金规划，该游客用于购买鲜花纪念品的资金不能超过980元． 请完成下列任务： (1)A、B两种鲜花纪念品每件多少元？ (2)请给该游客提供购买方案． 【变式13-2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）根据素材求解下列任务． 采购方案制定 素材一 随着夏季的来临，电风扇成为热销品．某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为元，B型号每台进价为元； 素材二 以下是近两天的销售情况：第一天A种型号销售3台，B种型号销售5台；第二天A种型号销售4台，B种型号销售10台； 素材三 销售收入：第一天收入元，第二天收入元． （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 问题解决： (1)任务一：求A、B两种型号的电风扇的销售单价； (2)任务二：若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)任务三：在任务二的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式13-3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）“倡导垃圾分类，共享绿色生活”为响应垃圾分类号召，西园街道计划在某小区内新建A、B两类垃圾站，在满足小区垃圾处理需求的同时，兼顾小区绿化空间的保护，完成垃圾站的规划、方案设计与优化．请你根据以下素材，探索完成任务： 如何规划设计小区垃圾站？ 素材1 新建A、B两类垃圾站，单座占用绿地面积分别为和； 素材2 已知1座A类垃圾站和2座B类垃圾站日处理垃圾能力为1.1吨，2座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力为1吨． 素材3 该小区计划投入使用共10座两类垃圾处理站，要求每日处理垃圾能力不低于3.6吨； 问题解决 (1)求1座A类垃圾站和1座B类垃圾站日处理垃圾能力分别是多少吨？ (2)若建设A类垃圾站n座，求n的取值范围，并分析共有几种符合要求的设计方案？ (3)考虑到小区绿化面积对居民身心健康的重要性，在（2）的前提下，若占用绿化面积不得超过．仅有两种方案可供选择，求a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $