2.3.2 等腰三角形的性质定理(2） 教学设计 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

温州市初中数学课时教学备课（2025年版） 课题： 2.3.2 等腰三角形的性质定理(2） 课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 7 日 学习核心内容 运用等腰三角形性质定理2解决有关问题. 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1.经历等腰三角形性质定理2的探索过程. 2.掌握等腰三角形性质定理2——三线合一. 3.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质定理2,培养学生的推理能力. 1.通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题,提高运用知识和技能解决问题的能力. 2.激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验,建立学习的信心. 学习过程设计 环节一：引入新课 1、 复习旧知，情境导入 如图2-3-30,把一张长方形纸片沿图中虚线对折,并剪下阴影部分,再把它展开铺平,得到的三角形是什么特殊三角形?它具有哪些性质?这就是本节课我们要研究的内容. 图2-3-30 师生活动:学生动手操作,经过折纸、剪纸的过程,观察所得三角形的形状,教师板书课题. 设计意图：通过动手操作,引入本节课的课题,激发学生的好奇心和求知欲. 二、新知讲解 【探究】 等腰三角形的性质定理2 如图2-3-31,在△ABC中,AB=AC,沿过点A的直线将△ABC对折,使点B与点C重合,展开得到折痕AD. 图2-3-31 问题1:请同学们观察等腰三角形纸片折叠再展开的过程,你发现了哪些重合的线段和角? 学生回答:重合的线段:AB与AC,BD与CD;重合的角:∠B与∠C,∠BAD与∠CAD,∠ADB与∠ADC. 问题2:由问题1发现的重合线段BD与CD,重合角∠BAD与∠CAD,∠ADB与∠ADC,思考折痕AD在△ABC中充当了什么角色? 学生回答:AD既是底边BC上的中线,又是底边BC上的高线,也是顶角的平分线. 问题3:由此你发现了什么? 猜想:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合. 思考:如何证明这三条线段重合? 提示:如果把这三条线段中的一条作为条件,那么上述猜想可以写成哪些命题? 命题1:等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边; 命题2:等腰三角形底边上的高线平分底边且平分顶角; 命题3:等腰三角形底边上的中线垂直底边且平分顶角. 　师生活动:小组合作,选择一个命题进行证明,分小组展示. 教师给出等腰三角形性质的准确描述,并板书性质.等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合,简称等腰三角形三线合一. 图2-3-32 思考:如何运用等腰三角形三线合一的性质? 教师讲授:等腰三角形性质定理2是“一母双子”型的命题,即由一个条件能得到两个结论,如:如果一条线段是等腰三角形的顶角的平分线,那么这条线段是这个等腰三角形底边上的中线,也是底边上的高线. 用符号语言表示:如图2-3-32,在△ABC中,因为AB=AC, ∠BAD=∠CAD,所以AD⊥BC,BD=CD. 【知识拓展】 等腰三角形三线合一的性质. 环节三：典例精析 例1　已知:如图2-3-33,AD平分∠BAC,∠ADB=∠ADC. 图2-3-33 求证:AD⊥BC. 证明:延长AD,交BC于点E. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD(角平分线的定义). 而AD=AD(公共边),∠ADB=∠ADC(已知), 可得△ABD≌△ACD(ASA), 所以AB=AC(全等三角形的对应边相等), 由此可得△ABC是等腰三角形(等腰三角形的定义). 又因为AE是等腰三角形ABC顶角的平分线, 所以AE⊥BC(等腰三角形三线合一), 即AD⊥BC. 例2　如图2-3-35,已知线段a,h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边BC边上的高线长为h. 图2-3-35 　解:作法:如图2-3-36. 1.作线段BC=a; 2.作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D; 3.在直线l上截取DA=h,连结AB,AC. △ABC就是所求作的等腰三角形. 图2-3-36 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，给出下列结论：①CD平分∠ACB；②CD=AB；③∠A=∠B；④AD=BD。其中正确的是(　 　) A.②③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 选做题： 2.如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD的度数为　 　°。  3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为　　°。  【综合拓展类作业】 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD。若∠BAD=50°，求∠CDE的度数。 环节五：课堂总结 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题：  1.[模型观念]如图，在等边三角形ABC中，AD，CE是△ABC的两条中线，AD=5。若P是AD上一动点，则PB＋PE的最小值为(　　) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 选做题： 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E。若AF=BF，BD=2，则AE=　　。  3.如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的高线等于a。 【综合拓展类作业】 4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE=BE。 (1)(若∠B=40°，求∠DAE的度数。 (2)若CA=CE，求∠B的度数。 5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别相交于点E，F，连结DE，DF。 (1)求证：△ADE≌△ADF。 (2)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。 参考答案： 课堂练习： 1. C 2. 55 3. 15 4.解：∵AB=AC，AD为BC边上的中线， ∴∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD=50°。 又∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED==65°， ∴∠CDE=∠ADC－∠ADE=25°。 作业内容： 1.B 2.4 3.解：如答图，△ABC即为所作。 4.解：(1)∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠C=∠B=40°，∠BAD=∠CAD， ∴∠BAC=180°－40°－40°=100°， ∴∠BAD=∠BAC=50°。 ∵AE=BE， ∴∠BAE=∠B=40°， ∴∠DAE=∠BAD－∠BAE=10°。 (2)∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA。 由(1)得，∠B=∠BAE，∠B=∠C， ∴∠CAE=∠CEA=∠B＋∠BAE=2∠B。 ∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°， ∴∠BAE＋∠CAE＋∠B＋∠C =5∠B=180°， ∴∠B=36°。 5.解：(1)∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD。 由作图知AE=AF。 在△ADE和△ADF中， ∵ ∴△ADE≌△ADF(SAS)。 (2)∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠BAC=40°。 由作图知AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∴∠ADE=×(180°－40°)=70°。 ∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠BDE=90°－∠ADE=20°。 作业类别 1. 选用 改编 自编 2. 书面练习类 口头训练类 活动实践类 板书设计：课题 概念 例题 应用 教学反思：本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处是少数学生对等腰三角形三线合一的性质理解不透彻,还需要在今后的教学和作业中进行进一步的巩固和提高. 学科网（北京）股份有限公司 $