练案34 第三章 3.3.2 第2课时抛物线的方程及性质的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[34]第三章3.33.3.2[第2课时」 抛物线的方程及性质的应用] A组·基础巩固 8.已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动，点M 1.若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的 在x轴上，且Pi·P?=0,延长MP到点N,使 距离恒大于1，则p的取值范围是 得1P1=IPV1,则点N的轨迹方程是 A.p<1 B.p>1 9.已知0为坐标原点，抛物线y=4x上的相异 C.p<2 D.p>2 两点A,B,满足直线OA,OB的斜率之积为1， 2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛 且A,B在第一象限，则直线AB斜率的取值范 1 物线于M,N两点，若MF+NF为定值，则 围是 这个定值是 10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F 的直线1与抛物线交于A,B两点，A,B在准 A.p B.2p C. D.2 线上的射影分别为A,B.证明：AF⊥B,F 3.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则名=x2+ 2宁+3的最小值是 1 ( A.2 B.3 C.4 D.0 4.设F为抛物线C:y2=x的焦点，曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴，则=( A. B G.3 8 D. 8 5.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，直线l:y= k(x+1)与C交于A,B两点，则4IAFI+IBFI 的最小值是 ( ) A.10 B.9 C.8 D.5 6.（多选)已知A(-1,0),B(1,0),直线AP,BP 相交于P,直线AP,BP的斜率分别为k1,k2则 B组·综合运用 ()11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0) A.当k1·k2=-2时，P点的轨迹为除去A,B 的直线交抛物线于A,B两点，直线AF,BF分 两点的椭圆 别与抛物线交于点C,D.设直线AB,CD的斜 B.当k·2=2时，P点的轨迹为除去A,B两 点的双曲线 李分别为k哈 () C.当k1-2=2时，P点的轨迹为抛物线 3 C.1 D.2 D当2时，P点的轨迹为一条直线 12.（多选)设0为坐标原点，直线y=-3(x-1) 7.（多选)已知点P(x,yo)是抛物线C:y2=4x 过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，且与C 上一动点，则 ( 交于M,N两点，1为C的准线，则() A.C的焦点坐标为(2,0) A.p=2 B.C的准线方程为x+1=0 C.x0+1=√/(x0-1)2+y6 B.IAWI D+的最值为子 C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 —195 13.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=016.已知抛物线：y=2px(p>0)经过点P(a,a) 的最小距离为 (a>0),F为抛物线的焦点，且1PF1=5. 14.已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线 (1)求抛物线C的标准方程； 交抛物线于A,B两点，试求弦AB的中点的 (2)过点M(4,0)的直线1与抛物线C相交 轨迹方程. 于A,B两点，求△AB0面积的最小值(O 为坐标原点) C组·拓展提升 15.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶，点为 坐标原点，点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均 在抛物线上 B (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补 时，证明：直线AB的斜率为定值. —196—14.【解析】设抛物线的方程为y2=2x(p>0),则其准线方程 为x=-号 设A(x1,y1),B(x2,y2), IAFI +IBFI =8. 六离+号++号=8， 即x1+2=8-卫 :Q(6,0)在线段AB的中垂线上， .IQAI 10BI, 即√/(6-x1)2+(-y)2=√(6-x2)2+(-y2)2, 又y斤=2px1,2=2pw2, .(1-x2)(x1+x2-12+2p)=0. ,AB与x轴不垂直， .x1≠x2 故x1+:2-12+2印=8-p-12+2p=0, 即p=4. 从而抛物线方程为y2=8x 15.ABD如图，由抛物线的定义，得IAC1=IAFI,IBDI=IBFI, 又IN1=MC1;BD,则1MNM=HI主BE-之AB1,A 2 2 正确；由MNI=之AB1,AM1=IMB1,得1MN1=AM,所 以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN= ∠CAN,所以△ANC≌△AWF,可知∠ACN=∠AFN=90°，所 以FN⊥AB,B正确；在Rt△MWF中，IQWI=IQFI,可知 ∠QNF=∠QFN,所以∠QFM=∠QMF,D正确；由∠QFM= ∠QMF,可知IQF1=IQM1,所以1NQ1=1QMI,即Q是MW 的中点，故C不正确。 16.【解析】(1)当直线1的斜率为0时，直线1的方程为y=0: 当直线1的斜率不为0时， 设直线方程为y=k(x+2), 联立=红+2得2+（4-4)x+4状=0 y2=4x. 由4=(4k2-4)2-16k4=-32k2+16=0, 解得k=±巨 所以直线方程为y=±(x+2.综上，若直线1与抛物线C 2 有且仅有一个公共点，直线1的方程为)=0或y=±2(x+ 2) (2)联立方程y=(x+2), y2=4x, 得2x2+(42-4)x+42=0. -28 设A(x1,),B(x23) 当k≠0时，由4=-32k2+16>0, 得-号号 所以-5<k<0或0<k<2 2 2 4-4h2 x1+x2= k2 1FA1=x+2=x1+1, IFB1=+号=名+1， 则1FA1+1FB1=,+5+2=4-4+2=-2+4 2 因为0<<分所以日>2. 4 则-2+年>6 所以IFAI+IFBI的取值范围是(6，+∞). 练案[34] 1.D设P为抛物线上任意一点，则P到焦点的距离等于到准 线：x=-?的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的 距离取得最小值号，所以号>1，即P>2 2.D抛物线了=2x(p>0)的焦点F的坐标为（号，0），可取 过F与x轴垂直的直线x=号，把x=号代人户=2m,得y= p,假设M(号，P）N(号，-p）,放1M1=p,f1=p,所 以+占+女子.即淡定值为号 3.B因为点(x,y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，因为z=x2+ 分2+3=2+2x+3=(c+1+2,所以当x=0时：最小，最 小值为3. 4.D易知抛物线的熊点为F(子，0），设P(),由PFL 轴可得”=4，代入抛物线方程得”=2或”=一2（舍 去)，把P(子，2)代人曲线方程y=点(>0)得=日 5.B设A),B(),联立{+得22+2(R 2y2=4x, -2)x+2=0,则x1·x2=1.所以4AFI+1BF1=4(x1+1)+ x2+1=4x1+2+5≥2/4x1·62+5=9.当且仅当4x1=2, 即名=之，名=2时，取等号，故(4AF1+1BFI)m=9. 6AB设P()≠±1,6=-2，故本六=-2，变 形为+号=1，且x≠士1，放P点的轨迹为除去A,B两点的 66 椭圆A正确：66=2，故·=2，变形为2-亏 1,且x≠±1，故P点的轨迹为除去A,B两点的双曲线，B正 确：-=2，故中之=2，变形为y=1-,且≠士1 故P点的轨迹为除去A,B两点的抛物线，C错误：套=2，即 Y.-1=2,变形为x=-3,且y≠0，故P点的轨迹为除 x+1'y 去点(-3,0)的直线，D错误 7.BCD抛物线C的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x+1=0,根 据抛物线的定义可得P到焦点的距离等于P到准线的距离， 即x0+1=√(x0-1)2+后.因为后=4x0,所以0+ 1 6+1 +有时守店当取 当即后=1时等号成立放的小 值为子 8.y2=4x由于1Pi1=1PV1,则P为MN的中点.设N(x,y), 则M(-x,0),P(0,分），由P成·P庐=0，得（-x-士) （1,之）=0，所以(-)1+(-之)·（-之)=0，则 y2=4x,即点N的轨迹方程是y2=4x 9(0,2）由题意，设直线01的斜率为k(k>0),可得方程 为y=.因为直线OA,OB的斜率之积为1，则直线OB的斜 率为大，可得方程为y=名，联立方程组可得 1y2=4x, 4(合)，由宝可得(，所以直线8的斜 2=4x, 4 率为kB 4k-k1 4-4F+1k* 因为>0，可得+大≥ 2√×石-2，当且仅当k=大=1时，等号成立，又因为抛物 线)产=4：上的相异两点A,B所以k≠1，所以k+石>2，所以 0<6m<宁，即直线4B的斜率的取值范偶为(0，子）】 10.【证明】设A(x1,y),B(x2,y2),当直线斜率不存在时， A(5P)B(5,-P=-p, 当直线斜率存在时， 设直线：y=k(x-号) y=2p, =(号)，得=（东5）： 即22-y-号=0，所以=- -28 由题意得A(-x),B(-,),F(号，0 所以Fi=(-P,),F店，=(-P,2), 所以F·F店=p+y2=p2-p2=0, 所以FA⊥F店， 故A1F⊥B,E 11.B由题意得F(1,0),设直线AB的方程为x=my+2,A(x, ）,B为)，C(),D(,,联立m+2得 1y2=4x, -4my-8=0,y132=-8,设直线AC的方程为x=y+1,联 立+1得-4-4=0，：-4，同理可得= 1y2=4x, 5-y 所略学器器器 4 -4+4 -41 y+h52 y 12.AC直线y=-5(x-1)过点(1,0)，所以抛物线C:y2= 2x(p>0)的焦点为F(1,0),所以号=1，p=2,2p=4,A正 确，且抛物线C的方程为y2=4x;设M(x1少)，N(x2,y2),由 [y=-万(x-1),消去y并化简得3x-10x+3=(x- Iy=4x, 3)(3x-1)=0,解得与=3，=3，所以1M1=++p =3+写+2=9B错误：设MN的中点为A,M,NA到直线 I的距离分别为d,4d,因为d=宁(4+d)=子(1MF1+ 1F)=宁MN1,即A到直线L的距离等于N的一半，所 以以MN为直径的圆与直线I相切，C正确；直线y=-√3(x -1),即5x+y-√5=0,0到直线5x+y-√5=0的距离为 1=号所以△0的面积为×华停4.由上述分 析可知=-万(3-1)=-25，=-5（号-1 5所以10w1=V+(-2=,10N1 √（兮）+(2)=，所以△0wv不是等腰三角 形，D错误 Λ 所以+=之(+》 =2[+产-21] =0：] =2-2+4g2 =-/3(x-1) 2 13.号解法一：设A(,-)为抛物线上的点，则点A到直线 2 所以 4r+3y-8=0的距离d=4-3f-81=13x2-4#+81 5 3(子)°+=子(-子)广+寺所以当=号 消去参数，得(-2)=-子（✉≠2）， 当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2， 时，d有最小值号 0),适合上式， 解法二：如图，设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线 武所泉税婆方厚力-合)广=：子 方程4+3，+m=0,由=-，。消去y得3x-4r-15.【解析】(1)由题意可设抛物线的方程为y2=2x(>0, 4x+3y+m=0 则由点P(1,2)在抛物线上，得2=2p×1,解得p=2 m=0,所以4=16+12m=0,所以m=-号，放最小距离为 故所求抛物线的方程是y=4x,准线方程是x=-1. (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， 1-8+4 20 3 3 4 所以kn=-m,即占-2、-为-2 5 5 3 即，-16- 又A(x1,y),B(2,)均在抛物线上， 25 所以子=享， 从而有上-2.2-2 x+3y-8=0 、1 即4 4 +2 为+2，得1+3=-4， 14.【解析】解法一：设A(x1,y1),B(2,2), 弦AB的中点为M(x,y),则y+y2=2y, 故直线AB的斜率k=二业=4 =-1, x1-x2y1+32 当直线AB的斜率存在时，x≠2， 所以直线AB的斜率为定值-1. k6=方2=y-1 16.【解析】(1)由抛物线C:y=2px(p>0)经过点P(a,a), 1-3x-2 可得a2=2pa,即a=2p, 因为2·两式相减。 又1PF1=5,可得a+号=5， 2=2x2, 解得p=2,a=4, 得(y1+2)(y1-y2)=2(x1-x2), 所以抛物线C的标准方程为y2=4x. 所以22=2.即2·号2。 (2)当直线AB的斜率不存在时，直线的方程为x=4, x1-x2 即(-）°=-子(x*2) 此时1AB1=8,△AB0的面积S=?×8x4=16: 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-4) 当直线AB斜率不存在，即AB1x轴时，AB的中点为(2,0)， (k≠0)， 适合上式， 联立=x-4),得2-4y-16k=0, 咸所求航连方程为宁)广=-子 y2=4x, 所以4=16+642>0， 解法二：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-1 设A(x1,y),B(x22), =k(x-2)(k≠0)， 4 所以y+为=冬为=-16， 由了y-1=k（x-2)·得2-y+1-2k=0. 所以Sam=Saw+Saw=之10MI·√G+)-4为 设A(x1,y1）,B(2,2),， AB的中点为P(x,y)(x≠2)， 16+64>16, 2 -2N 则+%冬%=2022， 综上所述，△AB0面积的最小值为16. k -288