培优练5抛物线焦点弦的性质及应用同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

培优练5　抛物线焦点弦的性质及应用 A级　必备知识基础练 1.设AB为过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A．　　 B．p C．2p　　 D．无法确定 2.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则等于(　　) A．－4　　 B．4　　 C．p2　　 D．－p2 3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦．若|AB|=4，则AB中点的纵坐标是(　　) A．1　　 B．2　　 C．　　 D． 4.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋的值为(　　) A．　　 B．　　 C．1　　 D．2 5.(2025淮阴高二月考)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：x=－，若过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为(　　) A．相交　　 B．相切 C．相离　　 D．以上三个答案均有可能 6.(2025宿迁高二质检)设抛物线C：y2=4x焦点为F，斜率为正数的直线l过焦点F，交抛物线C于A，B两点，交准线于点Q，若=，则直线l的斜率为　　　　． 7.已知点P(1，m)是抛物线C：y2=2px(p＞0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B． (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|=8，求直线l的斜率． B级　关键能力提升练 8.已知抛物线y2=2px(p＞0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则(　　) A．p=2　　 B．|AB|≥4 C．•=－4　　 D．k1k2=－4 9.过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|•|BF|=2|AB|，则抛物线C的标准方程是　　　　． 10.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，过点P(2，1)的直线l与抛物线交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程； (2)求|AF|•|BF|的最小值． C级　学科素养创新练 11.(多选题)(2025扬州高二调研)直线x=my＋n与抛物线y2=4x相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，x1≤x2，则下列结论正确的是(　　) A．若n=1，则以A，B为直径的圆与准线相切 B．若n=1，则x1x2=4 C．若m≠0，则kAB==(其中kAB为直线AB的斜率) D．若n=－1，且2|AF|=|BF|，则|AF|=|OA|，F是焦点 答案： 1.C　解析　当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p． 2.A　解析　因为x1x2=，y1y2=－p2，所以=－4. 3.D　解析　如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′， 由题意得|AA′|＋|BB′|=|AB|=4，|PQ|==2. 又|PQ|=y0＋，∴y0＋=2，∴y0=． 4.C　解析　由抛物线焦点弦的性质可得，＋==1. 5.C　解析　根据结论可知以AB为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为x=－1，故这个圆和直线x=－相离． 6.2　解析　如图，分别过A，B作准线l的垂线，垂足分别为A′，B′， ∴|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|， ∵|AB|=|BQ|，则B为AQ中点，在△AQA′中，|BB′|=|AA′|， ∴|BF|=|AF|，设|BF|=a， 则|BB′|=a，|AB|=|BQ|=3a， ∴|QB′|=2a，∴k=tan∠QBB′===2．故答案为2． 7.解　(1)由题意，|PF|=1＋=2， ∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x． (2)方法一　由(1)知焦点为F(1，0)，若直线l的斜率不存在，则|AB|=4，不符合题意，因此设直线l的方程为y=k(x－1)(k≠0)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，|AB|=x1＋x2＋2=＋2=8，解得k=1或k=－1. 方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|=4，不符合题意，设直线l的倾斜角为α，根据焦点弦的性质，|AB|=，代入可得sin2α==，即α=45°或α=135°，则k=tan α=±1. 8.ABD　解析　对于A，因为抛物线y2=2px(p＞0)经过点M(1，2)，所以22=2p，解得p=2，故A正确； 所以抛物线方程为y2=4x，则焦点F(1，0)，对于B， 方法一　设直线l：x=my＋1，则消去x整理得y2－4my－4=0，则Δ=16m2＋16＞0，所以y1＋y2=4m，y1y2=－4，则x1＋x2=m(y1＋y2)＋2=4m2＋2，所以|AB|=x1＋x2＋2=4m2＋4≥4． 方法二　因为x1x2=，所以|AB|=x1＋x2＋p≥2＋p=2×＋p=2p=4，当且仅当x1=x2=时，等号成立，故B正确； 对于C，依题意，=(x1，y1)，=(x2，y2)，x1x2==1，y1y2=－p2=－4，所以•=x1x2＋y1y2=－3，故C错误； 对于D，k1k2=•=－4，故D正确．故选ABD． 9.y2=8x　解析　抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F(，0)，因为|AF|•|BF|=2|AB|，且直线AB经过焦点F，故|AB|=|AF|＋|BF|，代入得|AF|•|BF|=2(|AF|＋|BF|)，化简得＋=，设直线AB的倾斜角为θ，则过点B作BN⊥x轴于点N，x轴与准线l交于N′，作BB1⊥l于点B1，AA1⊥l于点A1(如图)，所以|BF|=|BB1|=p－|BF|cos θ⇒|BF|=，同理可得，|AF|=，故＋==，解得p=4，故抛物线C的标准方程是y2=8x． 10.解　(1)由=1，得p=2，故抛物线C的方程为y2=4x． (2)由于直线l与抛物线交于A，B两点，则直线l不与x轴平行，设直线l：x－2=m(y－1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|=x1＋=x1＋1，|BF|=x2＋=x2＋1，所以|AF|•|BF|=(x1＋1)(x2＋1)=(my1＋3－m)(my2＋3－m)=m2y1y2＋(3m－m2)(y1＋y2)＋m2－6m＋9， 联立得y2－4my＋4m－8=0，Δ＞0，则y1＋y2=4m，y1y2=4m－8，代入可得|AF|•|BF|=5m2－6m＋9=5(m－)2＋≥，所以|AF|•|BF|的最小值为，此时m=． 11.ACD　解析　对于A，当n=1时，直线x=my＋1过点(1，0)，该直线过抛物线y2=4x的焦点， 则|AB|=x1＋1＋x2＋1=x1＋x2＋2，又线段AB中点为(，)，则线段AB中点到准线的距离为＋1=，即以A，B为直径的圆与准线相切，正确； 对于B，当n=1时，直线x=my＋1，与抛物线联立消去x得y2－4my－4=0，易知Δ＞0，则y1＋y2=4m，y1y2=－4，所以x1x2=•==1，错误； 对于C，若m≠0，直线x=my＋n，与抛物线联立消去x得y2－4my－4n=0，则Δ=16m2＋16n＞0，y1＋y2=4m，y1y2=－4n，则kAB=====，正确； 对于D，当n=－1时，直线x=my－1，与抛物线联立消去x得y2－4my＋4=0，易知Δ＞0，则y1＋y2=4m，y1y2=4，故x1＋x2=(my1－1)＋(my2－1)=m(y1＋y2)－2=4m2－2，x1x2=•==1，由2|AF|=|BF|得2(x1＋1)=x2＋1，即2(x1＋1)=＋1，解得x1=或x1=－1(舍去)， 所以|AF|=x1＋1=，|OA|====，即|AF|=|OA|，正确．故选ACD． 学科网（北京）股份有限公司 $