练案15 第二章2.2.2 直线的两点式方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

13.y=x+5由题意，方程x2-2x+1=0的根为1，所以k=1, 又在y轴上的截距为5，则直线1的方程为y=x+5. 14y=5x-2厅-1因为已知直线的斜率为停即ma=有， 所以a=30°，所以直线l的斜率k=tanB=tan2a=tan60°= √5，又l过点(2，-1)，所以1的方程为y-(-1)=√5(x- 2),即y=√3x-25-1. 15y=-子+号因为AB=4C,所以△ABC外心，重心，垂心 都位于线段BC的垂直平分线上，设线段BC的垂直平分线 3-0 的斜率为k,则·kx=-1,因为c=0=3,所以 k=-子，又因为BC的中点坐标为(-号，)，所以△ABc 13 的欧拉线方程为一(+）化成斜式为了= 14 -3x+3 16.【解析】(1)证明：由y=kx+2k+1, 得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2,1) (2)设函数f代x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线（如图 所示)， /1 23-2-1123x 若要使当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足3)≥0，即3张+2k+1≥0， f(3)≥0， 3k+2k+1≥0， 解得-行≤k≤1 所以实数么的取位范国是[号，小 练案[15] 1.C因为-21,5≠1，则直线1的方程为仁二号，整 理得4x+3y-7=0,所以直线1的方程为4x+3y-7=0.故选 C. 2D由两点式得直线方程为名本号即x+5y-27=0,令 y=0,得x=27. 3.AC当直线过点(0,0)时，直线方程为y=子x,即x-4y=0: 当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x+Y=1,把(4,1) a 代人，解得a=5,所以直线方程为x+y=5.综上可知，直线方 程为x+y-5=0或x-4y=0. 4.A由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两点式可得 直线Mv的方程为奶二-考二号即2x+-8=0 5A将两方程化为截距式武4：若+古么=1,6：方+之。=1假 定l,的位置，判断a,b的正负，从而确定L,的位置，知A项 符合. 26 6-3过复，N两点的直线方程为-二（二号又 2)在此直线上，所以当y=2时，x=-3. 7.2x-y=0或x-y+1=0当直线过原点即在坐标轴上的截 距均为零时，得直线方程为2x-y=0;当在坐标轴上的截距不 为零时，可设直线方程为x-上=1，将x=1,y=2代人方程 aa 可得a=-1,得直线方程为x-y+1=0.∴.直线方程为2x-y =0或x-y+1=0. 8(-0,-1)U(3,+∞） y 设直线 ×A(1,2) 的斜率为k,如图，过定点A的直线经 B 3-2-1012大 过点B(3,0)时，直线1在x轴上的截 距为3，此时k=-1:过定点A的直线经过点C(-3,0)时，直 线在x轴的栽距为-3，此时太=了，满足条件的直线1的斜 /1 率范围是(-0，-1)U(2,+∞ 9.【解析】过A,B两点的直线的两点式方程是+=x,4 3+1--2-4 化为底斜式为：+1=-子(x-4),斜藏式为：y=-弓+ 子距式为：+山 5 23 10.【解析】(1)：直线1过点P(4,1),Q(-1,6), 直线1的方限为。行4 --1-4 即x+y-5=0. (2)由题意知，若直线过原点， 则有0.4即-4y=0: 若直线不过原点，则直线！的斜率存在且不为0，故设直线 在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a, 心该直线的方程可设为后+名=1， 解得a=号，即2x+)-9=0, 综上，直线1的方程为x-4y=0或2x+y-9=0. 1山.x-6y+6=0或x-6y-6=0设直线1的方程为÷+古= 1时1且会-石将得化66所以 直线1的方程为石+六=1或6+十=1，即x-6y+6=0 或x-6y-6=0. 12.2x+y-6=0设直线的方程为音+古=1(a>0,6>0),因 为直线过点P(1,4),所以士+=1.则截距之和a+6=(a 、ab +6)(合台)-5+台+号5+2√合要-9，当且仅 当合仁即2a=6时取得最小位，所以日+名=1，解得 a 0 a=3,则6=6，所以直线的方程为了+古=1，即2x+y-6 =0. 13.8x+4y-8=0设直线1的方程为年+古=1(a>0,6> 0),因为直线1过点(4,1)，所以4 a +方≥ 2√合×石所12√品即≥16，当且仅当号石 即a=8,6=2时取等号，所以(S608)m=号×16=8，此时 直线1的方程为号+立=1，即x+4y-8=0 14.【解析】由直线方程的截距式知直线AB的方程为兮+士 =1, 设P(,》,则x=3-子， =y-子=子(-y+4) =[-(y-2)2+4]≤3， 当且仅当y=2时“=”成立， 即当P点坐标为(3,2）时，可取得最大值3 15.C由题意设直线1的方程为号+名=1，则号+。=1①， 又log。b=2,所以b=a2②，由①②解得a=3,b=9或a=1, b=1,又由logb=2知a>0,a≠1，b>0,则a=3,b=9,则直 b 线l的斜率为- 2=-3. 16.ys2 x由题意可知线段BD的中点的坐标为(3,2)，所以 由两点式可得直线1的方程为号=8-8即y=分 练案[16] L.D设该直线的倾斜角为α(0°≤<180)，则由题意可知其 斜率为tama=-上 =tan150°，则a=150°.故选D. 2.A由题意，直线1过点(3,0)和点(2，-1)，∴.其斜率为k= ,10=1,直线方程为y=x-3,即x-y-3=0.故选A 2-3 3.D因为直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，所以0×a +b×(-1)-1=0,所以b=-1,则直线方程可化为y=ax- 1,又因为直线倾斜角为平，所以a=am平=1，所以a-b=2 故选D. 4.C将l1与42的方程化为l1:y=ax+b,l2:y=bx+a.A中，由 图知l1∥l2,而a≠b,故A错误；B中，由l1的图象可知，a<0, b>0,由2的图象知b>0,a>0,两者矛盾，故B错误：C中，由 l1的图象可知，a>0,b>0,由2的图象可知，a>0,b>0,故C 正确：D中，由l1的图象可知，a>0,b<0,由l2的图象可知 a>0,b>0,两者矛盾，故D错误. -26 5.ACx-2+1=0变形为y=7+7,放直线m斜率为7 A正确：x-2y+1=0中，令y=0得x=-1,故直线m横截距 为-1，B错误；x-2y+1=0中令x=0得y=7,故直线m纵 我距为对C正确：当×=7时=子+分4，放点07,4在 直线m上，D错误.故选AC. 6.CD直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值， 直线x+y=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三 角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a≠±1. 故选CD. 7.x+2y-8=0因为直线1过点(2,3)，且与向量a=(1,2)垂 直，则直线1的斜率k=-7,所以直线1的方程为y-3= 2(x-2),即x+2y-8=0 8.x+y-3=0直线I经过点(2,1)，在x,y轴有不为0且相等的 截距，设直线1的方程为产+上=1，于是2+1=1，解得4= aa 3,即有号+子=1，所以直线1的一般式方程为x+y-3=0 9.【解析】(1)由题意可设41：x-y+m=0, 因为直线(1经过点A(2,-3), 故2-(-3)+m=0→m=-5, 则l1:x-y-5=0. (2)由题意可设1：x-2y+n=0, 因为直线1经过点A(2,-3), 故2-2×(-3)+n=0=→n=-8, 则l1:x-2y-8=0, 令x=0→y=-4,所以（在y轴上的截距为-4. 10.【解析】(1)由△ABC的边AB,AC所在直线的方程分别为 y=-2,x-y+3=0, 可知角A不是直角， ①若角B是直角，由点P在边BC上， 得边BC所在直线的方程为x=2; ②若角C是直角，由边AC所在直线的方程为x-y+3=0, 得边BC所在直线的斜率为-1，又点P在边BC上， 所以边BC所在直线的方程为y+1=-1(x-2),即x+y-1 =0. 综上，边BC所在直线的方程为x=2或x+y-1=0. (2)由题意可设B(m,-2),由P为BC的中点，得C(4-m,0), 将点C的坐标代入边AC所在直线的方程x-y+3=0, 得(4-m)-0+3=0,解得m=7, 所以C(-3,0), 道BC所在直我的务率为k9品)行 所以边BC所在直线的方程为y=-写(x+3), 即x+5y+3=0. 11.A若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则 「a2-1=0, →a=1,充分性成立；当a=1时，则直线x+y-1 a+1≠0， =0与直线x+y+1=0平行，当a=-1时，两直线重合，不练案[15] 第二章 2.22.2.2直线的两点式方程 A组·基础巩固 9.求经过点A(-2,3),B(4,-1)的直线的两点 1.直线1过点A(-2,5),B(1,1),则直线1的方 式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 程为 A.4x-y-3=0 B.4x+y-13=0 C.4x+3y-7=0 D.4x-3y+23=0 2.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的 截距为 A.2 B.-3 C.-27 D.27 3.（多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等 的直线方程可以为 A.x+y-5=0 B.x-y-5=0 C.x-4y=0 D.x+4y=0 4.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2),B(3, 6),C(5,2),M为AB的中点，N为AC的中点， 则中位线MN所在的直线方程为 ( A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 5两条直线1：音-言=1和4：若-=1在同 一直角坐标系中的图象可以是 之 6.已知点P(x,2)在过M(-2,1)和N(3,-4)两 点的直线上，则x的值是 7.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的 直线方程为 8.若直线1经过点A(1,2),在x轴上的截距的取 值范围是(-3,3)，则其斜率的取值范围是 —156 10.已知直线1过点P(4,1). 13.直线1过点(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分 (1)若直线1过点Q(-1,6),求直线1的 别交于A,B两点，O为坐标原点，则△AOB面 方程； 积的最小值为 ,当△AOB的面积取 (2)若直线1在y轴上的截距是在x轴上的 最小值时直线1的一般式方程是 截距的2倍，求直线1的方程. 14.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上有一动点 P(x,y),求xy的最大值 C组·拓展提升 15.直线1经过点P(4,-3),在x轴上的截距为 B组·综合运用 a,在y轴上的截距为b,且a,b满足logb= 2,则直线1的斜率为 () 1.已知直线1的斜率为。，且和坐标轴围成的 A.2 B.-1 三角形的面积为3，则直线1的方程为 C.-3 D.-1或-3 16.直线I过原点且平分平行四边形ABCD的面 12.经过，点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距 积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4), 都是正值，若使截距之和最小，则该直线的方 D(5,0),则直线1的方程为 程为 157