2.2直线的方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2直线的方程 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线过点，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线的方程为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查直线的截距式方程，注意分析直线的截距是否为，属于基础题． 根据题意，根据直线是否经过原点分种情况讨论，分别求出直线的方程，综合即可得答案． 【解答】 解：根据题意，分种情况讨论： ，直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即； ，直线不过原点，设其方程为， 又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或， 故选：． 2.下列说法正确的是(    ) A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 经过点，倾斜角为的直线方程为 C. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D. 经过两点，的直线方程为 【答案】D  【解析】解：选项A：截距相等的直线若过原点，无法用截距式表示，故A错误； 选项B：当倾斜角时，不存在，直线方程为， 无法用点斜式表示，故B错误； 选项C：若直线与平行， 则，解得， 则“”是“直线与直线平行”的充要条件，故C错误； 选项D：设点是经过两点，的直线上的任意一点， 根据 可得，故D正确． 故选：． 3.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了直线的斜率，考查分析与计算能力，是基础题． 由直线方程求出直线所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段上点的斜率的最小值和最大值得答案． 【解答】 解：直线：过定点， 当直线经过点时，直线的斜率最小为， 当直线经过点时，直线的斜率最大为， 的取值范围是，故选D． 4.已知，，若点在线段上，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：直线过定点，设，， 当时，点到直线的距离最大，此时，则． 故，即， 故选A． 6.无论为何值，直线过定点(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线恒过定点问题，属于基础题． 先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点． 【解答】 解：将直线方程可化为， 无论为何值，可理解为与无关，即有， 可得， 直线恒过定点． 故选：． 7.若既是，的中点，又是直线：与直线：的交点，则线段的垂直平分线的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为既是，的中点， 所以，，所以，， 联立，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点，满足直线， 即直线方程为， 设线段的中垂线方程为，将点代入可得， 解得， 所以线段的中垂线方程为． 故选：． 8.坐标原点在直线上的射影为点，则直线的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查充分、必要、充要条件的判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直平行的位置关系的判断，属于中档题． 根据选项依次求解即可． 【解答】 解：选项：当时，直线与直线斜率分别为，，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故A错误 选项：由直线平行得，故B正确； 选项：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故C正确 选项：如图，由，，结合图像知，故D正确． 故答案选：． 10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有(    ) A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 C. 与直线垂直 D. 与直线平行 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查直线的方向向量，直线方程应用，两条直线平行的判定，两条直线垂直的判定，属于基础题． 根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】 解：由题意直线的斜率为，且经过点， 则直线方程为， 即， 它与直线重合，故 D错误 ，因此向量是直线的一个方向向量，故A正确 在直线方程中令得，令得， 直线与两坐标轴围成三角形的面积为，故B错误 由于直线的斜率为，直线的斜率为，，故C正确． 故选AC． 11.以下四个命题表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线：，：的距离为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与直线的位置关系的应用，属于中档题． 根据直线与直线的相关知识对各选项逐个判断即可解出． 【解答】解：对，，即， 直线恒过与的交点，解得，，恒过定点，A正确； 对于，直线过点，在，轴上截距相等，当截距不为时为，截距为时为，故B错误． 对于，由题意，“直线与直线垂直”则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件， C正确． 对于，直线：，：的距离为，故D正确． 故选 ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为若，，则实数的值为          ． 【答案】  【解析】略 13.已知点，，点在直线上运动，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线中的最小距离问题，属于一般题． 【解答】 设关于直线的对称点为，根据对称性得 解得，最小值即． 14.已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线方程与平面向量的坐标运算，向量的数量积，属于拔高题． 设，分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出，两点坐标，根据中点坐标公式求出，利用向量的坐标运算即可得，根据二次函数求最值即可． 【解答】 解：设点，当直线的斜率不存在时， 易得点，， 则点， 此时  ， 则的最小值为， 当直线，的斜率都存在时，不妨设直线的方程为， 则直线的方程为， 在两直线方程中，分别令，得点，， 则点， 此时 ， 则的最小值为． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知在平面直角坐标系中，，，，． 若点在直线上，求的值； 若直线与直线平行，求的值； 若直线与直线垂直，求的值． 【答案】解：因为点在直线上，所以，即，解得． 因为直线与直线平行，所以，所以，解得，经检验知，两直线不重合，所以． 因为直线与直线垂直，两直线的斜率均存在，所以，即，解得．   【解析】略 16.本小题分 已知直线： 证明：直线过定点； 若直线不经过第四象限，求的取值范围； 若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，的面积为为坐标原点，求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】解： 直线方程为，整理得，对任意恒成立，联立，解得，即点代入直线方程恒成立，与的取值无关，故直线过定点。 将直线的方程整理为斜截式，直线不经过第四象限，需满足斜率，且轴截距，当时，，满足截距非负的条件，若，直线斜率为负，必然经过第四象限，不符合要求，故的取值范围是。 令，得点横坐标，因在轴负半轴，故，令，得点纵坐标，因在轴正半轴，故，联立两个不等式，得。的面积，其中，，代入得，由于，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，因此，即的最小值为，将代入原直线方程，整理得。  【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2直线的方程 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线过点，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线的方程为(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.下列说法正确的是(    ) A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 经过点，倾斜角为的直线方程为 C. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D. 经过两点，的直线方程为 3.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知，，若点在线段上，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 5.已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为(    ) A. B. C. D. 6.无论为何值，直线过定点(    ) A. B. C. D. 7.若既是，的中点，又是直线：与直线：的交点，则线段的垂直平分线的方程是(    ) A. B. C. D. 8.坐标原点在直线上的射影为点，则直线的方程是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有(    ) A. 的一个方向向量为 B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为 C. 与直线垂直 D. 与直线平行 11.以下四个命题表述正确的是(    ) A. 直线恒过定点 B. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线：，：的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为若，，则实数的值为          ． 13.已知点，，点在直线上运动，则的最小值为          ． 14.已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知在平面直角坐标系中，，，，． 若点在直线上，求的值； 若直线与直线平行，求的值； 若直线与直线垂直，求的值． 16.本小题分 已知直线： 证明：直线过定点； 若直线不经过第四象限，求的取值范围； 若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，的面积为为坐标原点，求的最小值并求此时直线的方程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $