江苏连云港市东海县白塔高级中学2024-2025学年第一学期高二年级第二次学情检测数学试题

2024-2025学年度第一学期高二年级第二次学情检测 数学试题 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在等差数列中，若，，则的公差为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等差数列的的通项公式，属于基础题． 由等差数列的通项公式得求解得公差． 【解答】 解：在等差数列中，设公差为， 由题意得， 解得 故选：． 2.下列各式正确的是(    ) A. B. C.   D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查导数的运算，属于基础题． 根据基本初等函数的导数公式，逐项判断即可． 【解答】解：根据导数公式有， A错误； ，B错误； ，C正确； ，D错误． 故选C． 3.已知等差数列满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质，属于基础题． 直接由等差数列的性质结合已知求得的值，再由等差数列的性质求得． 【解答】 解：由已知得 ，故 ， 所以． 故选：． 4.已知函数是的导函数，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查导数的加减法运算，属于简单题． 对求导，然后令，解出即可． 【解答】 解：由于，故． 令，得，解得． 故选D． 5.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了等差数列的前项和，考查推理能力和计算能力，属于中档题． 由题意，设，，则，用，分别表示出，，代入即可得到的值． 【解答】 解：依题意，数列、是等差数列，且， 设，，则， 所以． 故选：． 6.已知，设，则 (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 先令，求得；把所给的等式两边对求导，可得，再令，可得的值，从而解得答案． 【解答】 解：由题意得，令，得， 对于， 两边对求导，可得， 再令，可得， 则． 故选：． 7.等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查等比数列前项和的性质，等比数列的通项公式，属于中档题． 根据等比数列的前项和公式奇数项之和等于偶数项之的，可求，由通项公式求得的值． 【解答】 解：设等比数列的项数为， 所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为， ：：， ，， 由题意可得， ． 故选：． 8.已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 求出函数的导数，问题转化为和在有交点，求出的范围即可． 【解答】 解：， 若在不单调， 则在有变号零点， 即和在有交点， 而时，， 故， 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.如图，这是函数的导函数的图象，则(    ) A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减 D. 是的极小值 【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题． 结合函数的导函数图象分析确定函数的单调性、极值点与极值情况逐项判断即可． 【解答】 解：由图可知当时，； 当时，； 则在，上单调递减，在，上单调递增， 所以是的极大值点，是极小值点，故 A ，B正确，C错误； 因为不是导函数的零点，所以不是的极值，故 D错误． 故选AB． 10.已知数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等差数列 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查等比数列的判定与证明，等比数列前项和公式，等差数列的判定，属于中档题． 对于，利用等比数列求和公式求和；对于，利用累加法求通项公式；对于，，利用等差、等比数列的定义可得． 【解答】 解：对于，当时，，则，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故A错误； 对于，若，则，， 当时，， 当时也满足上式，故，故B正确； 对于，若，则，则，数列是首项为，公比为的等比数列， 故C正确； 对于，若，则，则， 则数列是公差为的等差数列，所以D正确． 故选：． 11.函数，已知在时取得极值，则下列选项中正确的(    ) A. B. 函数在处有极大值为 C. 函数在处有极大值为 D. 函数在区间上单调递减 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查利用导数由函数的极值点求参，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题． 对求导，由题意可知，继而可用求出的值，即可判断；继而可得，，再利用导数研究函数的单调性和极值，从而判断、、． 【解答】 解：因为， 所以， 又在时取得极值， 所以， 即， 解得，故A正确； 则， ， 令， 解得或， 当时，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 故D正确； 所以当时，取得极大值，，故B正确； 当时，函数取得极小值，故C错误． 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知数列的前项和为，则该数列的通项公式           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查由  求通项公式，解题根据是  ，但要注意此式不含  ，  ． 由  计算，再计算  可得结论． 【解答】 解：由题意  时，  ， 又  适合上式， 所以  ． 故答案为：  ． 13.已知是的极小值点，那么函数的极大值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于基础题． 先对函数求导，然后结合极值存在条件可求，进而可求函数的极大值． 【解答】 解：因为， 由题意可得，， 故，， 当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 故当时，函数取得极大值． 故答案为：． 14.已知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题． 求出的导数，得到，使得成立，从而求出的范围即可． 【解答】 解：因为函数， 所以， 又函数在区间上存在递增区间， 所以，使得， 即在区间上能成立， 即， 设，函数图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以， 所以，则， 即的取值范围是 故答案为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.本小题分在等差数列中，，．求数列的通项公式及前项和． 已知是各项均为正数的等比数列，，．求的通项公式及前项和． 【答案】解： ································2分 ················4分 ． ···············6分 因为数列是各项均为正数的等比数列， ，， 所以令数列的公比为， ，， 所以， 解得舍去或；···············9分(未舍去负值的扣2分) 故数列的通项公式为；···············11分 ．···············13分  16.本小题分已知函数． 求函数在点处切线方程 求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】解：，···············2分 则 ···············4分 曲线在点处的切线方程为：， 即．···············6分 设切点为，  则所求切线方程为 ，···············8分 代入点得， ， ， 解得：或．···············10分 当时，所求直线方程为，···············12分 当时，所求直线方程为，···············14分 则过点且与曲线相切的直线方程为或． ·····15分 【解析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题． 求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解，即可得到结论．  设切点为， 则所求切线方程为，求解出的值即可． 17．（15分）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）数列的前项和， 当时，，···············1分 当时，，···············2分 因为也适合上式，···············3分 所以，···············4分 设数列的公比为，因为， 所以，解得，···············6分 又，所以；···············7分 （2）由题意得， 设数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ，·············································10分 ， 所以， 两式相减得， 所以，···············13分 故.···············15分 18.本小题分已知函数为自然对数的底数． 当时，求函数的单调区间 若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】解：当时，， 所以···············2分 令， 因为，所以，解得或···············4分 令， 因为，所以，解得···············6分 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．········8分(每个1分) 因为函数在上单调递增，所以． 即对任意恒成立···············10分 因为，···············11分 又， 所以对任意恒成立．···············13分 设，， 则···············15分 即解得．···············17分  【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 求导函数，求出的解，列表可解； 求出，利用对恒成立，结合一元二次函数图象，即可求的取值范围．  19.本小题分已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． 求数列、的通项公式； 设的前项和为，求 设，求的前项和． 【答案】解：设等差数列的公差为  ，   ，  ，···············1分   ．···············2分 设等比数列  公比为  其中  ，因为  ， 由  ，可得  ，解得： 或  舍去．···············4分 所以数列  的通项公式为  ．···············5分 由得： ，···············7分 则  ．   由减去得  ， 则，···············9分 所以  的前项和 ．···············11分 由可知，  ，···············13分 则 ···············15分 ．···············17分  【解析】本题考查等差、等比数列的综合应用、错位相减法求和、裂项相消法求和，属于较难题． 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得：  ，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列  公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式； 由错位相减法即可求出前  项和  ； 由可知  ，整理可得： ，由裂项相消法可得答案． 学科网（北京）股份有限公司 $2024-2025学年度第一学期高二年级第二次学情检测 数学试题 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.在等差数列{an}中，若a2=5,a1+a4=8,则{an}的公差为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.下列各式正确的是() sin π A =COS- B.(cosx)=sinx 8 8 C.(ax)=axlna D.(x5)=-x6 3.已知等差数列{an}满足a1+a5+ag=30,则a2+ag=() A.12 B.18 C.20 D.30 4.已知函数f(x)=2f(2)x+3x2-2lnx(f(x)是f(x)的导函数)，则f(2)=() A.1 B.-2 C.11 D.-11 5已如等差数列a仙前前n项和分别为S,T:晓=格略() A号 B. C.i D.13 19 6.已知f(x)=(2x-1)4,设(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+ a1+2a2+3a3+4a4=() A.12 B.8 C.9 D.6 7.等比数列{a的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数 项之和为170，则a10=() A.32 B.64 C.512 D.1024 8.已知函数f(x)=x3+mnx在区间[1,2]上不是单调函数，则m的取值范围是() A.(-∞，-3)B.(-3,+∞)C.(-24,-3)D.（-24,+∞) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.如图，这是函数f(x)的导函数的图象，则() A.f(x)在x=2处取得极大值 B.x=4是f(x)的极小值点 3-2 C.f(x)在(1,3)上单调递减 D.f(3)是f(x)的极小值 10.己知数列{an}的前n项和为S且a1=1,an+1=pan+3"(neN*,p∈R),则 下列结论正确的是() A.若p=0,则Sm=3”+ 2 B.若p=1,则am=3”1 2 C.若p=2,则数列{an-3”}是等比数列 D.若p=3,则数列{}是等差数列 11.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则下列选项 中正确的() A.a=5 B.函数f(x)在x=-3处有极大值为0 C.函数f(,)在x=-处有极大值为0 D.函数f(x)在区间[3，-引上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n,则该数列的通项公式为 13.已知x=2是f(x)=x3-3ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值 为 14.已知函数f(x)=x2-5x+alnx在(3,4)上存在递增区间，则实数a的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤， 15.(本小题13分)(1)在等差数列{an}中，a1+a3=6,ag=17.求数列{am的通 项公式及前n项和Sn· (2)已知{bn}是各项均为正数的等比数列，b1=2,b3=2b2+16.求{bn}的通 项公式及前n项和Tn: 16.(本小题15分)已知函数g(x)=x3-2x. (1)求函数在点(2,4)处切线方程； (2)求过点(1，-1)且与曲线相切的直线方程. 17.（15分)已知数列{a}的前n项和Sn=n+n,数列{b}是各项均为正数的等比 数列，b,+=8(b4+b),且b=2 (1)求{a}和b}的通项公式： [4,n为奇数 (2)设cn= a,an+2 ，为偶数 ，数列和，3的前n项和为，证明：工< 18 2b1 18.(本小题17分)已知函数f(x)=(x2+ax+4)e(xER,aER,e为自然对数的 底数) (1)当a=-4时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y=-f(x)在[1,2]上单调递增，求实数a的取值范围. 19.(本小题17分)已知等差数列{an}满足a3=S2+1,S3=a4+2,其中Sn为{an} 的前n项和，递增的等比数列{bn}满足：b1=1,且b1,b2,b3-4成等差数列. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式： (2)设{an·bn}的前n项和为Tn,求Tn (③)设c。=”求C,的前m项和A:2024-2025学年度第一学期高二年级第二次学情检测 数学试题 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列{an}中，若a2=5,a1+a4=8,则{a}的公差为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查等差数列的的通项公式，属于基础题， 由等左数列的通项公式得8十8，十3双=8求解得公差， 【解答】 解：在等差数列{an}中，设公差为d, 由题意得， a1+d=5 (a1+a1+3d=8' 都行侣二2 故选：A. 2.下列各式正确的是() A sin cos B.(cosx)=sinx 8 8 C.(ax)=axlna D.(x5)=-5x6 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查导数的运算，属于基础题， 根据基本初等函数的导数公式，逐项判断即可. 【解答】解：根据导数公式有(sm)=0,A错误； (cosx)'=-sinx,B错误； (a)'=ana,C正确： (x5)'=-5x6,D错误. 故选C 3.已知等差数列{an}满足a1+a5+ag=30,则a2+ag=() A.12 B.18 C.20 D.30 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质，属于基础题 直接由等差数列的性质结合已知求得α5的值，再由等差数列的性质求得. 【解答】 解：由已知得3a5=30,故a5=10, 所以a2+ag=2a5=20. 故选：C 4.已知函数f(x)=2f(2)x+3x2-2lnx(f(x)是f(x)的导函数)，则f《2)=() A.1 B.-2 C.11 D.-11 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查导数的加减法运算，属于简单题. 对f(x)求导，然后令x=2,解出f(2)即可. 【解答】 解：由于f)=2f《2)x+3x2-21mx,故f)=2f《2)+6x-是 令x=2,得f《2)=2f(2)+12-1,解得f(2)=-11. 故选D. 5已知等差数列a私的前n项和分别为5了，且略= Tn 则=()》 ba A B. C. D.3 9 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了等差数列的前项和，考查推理能力和计算能力，属于中档题， 由题意，设Sn=kn(3n+5),(k≠0)，则Tn=kn(4n+6),用Sn,Tn分别表示 出a,b,代入即可得到的值. 【解答】 解：依题意，数列{a小、{bn}是等差数列，且=3+5 "Tn 4n+6' 设Sn=kn(3n+5),(k≠0)，则Tn=kn(4n+6), 所以号-名产=器-台 故选：A. 6.己知f(x)=(2x-1)4,设(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a+ a1+2a2+3a3+4a4=() A.12 B.8 C.9 D.6 【答案】C 【解析】【分析】 先令x=0,求得ao:把所给的等式两边对x求导，可得8(2x-1)3=a1+2a2x+ 3a3x2+4a4x3,再令x=1,可得a1+2a2+3a3+4a4的值，从而解得答案. 【解答】 解：由题意得，令x=0,得a=1, 对于(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 两边对x求导，可得8(2x-1)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3, 再令x=1,可得a1+2a2+3a3+4a4=8, 则a0+a1+22+3a3+4a4=9. 故选：C. 7.等比数列{an}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数 项之和为170，则a10=() A.32 B.64 C.512 D.1024 【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查等比数列前项和的性质，等比数列的通项公式，属于中档题， 根据等比数列的前n项和公式奇数项之和等于偶数项之的，可求q,由通项公式 求得a1o的值， 【解答】 解：设等比数列的项数为2n, :所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170， 4S奇：S偶=1：2， S奇=a1+a3+…+a2m-1,S偶=a2+a4十.+a2n=qS奇 由题意可得q=2, a10=a199=1×29=512, 故选：C 8.已知函数f(x)=x3+mlmx在区间[1,2]上不是单调函数，则m的取值范围是() A.(-∞，-3)B.(-3,+∞)C.(-24,-3)D.(-24,+0) 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题， 求出函数的导数，问题转化为y=m和y=-3x3在(1,2)有交点，求出m的范围即 可. 【解答】 解：f)=3+警=m 若f(x)在[1,2]不单调， 则y=3x3+m在[1,2]有变号零点， 即y=m和y=-3x3在(1,2)有交点， 而x∈(1,2)时，y=-3x3∈(-24，-3)， 故-24<m<-3, 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.如图，这是函数f(x)的导函数的图象，则 A.f(x)在x=2处取得极大值 B.x=4是f(x)的极小值点 C.f(x)在(1,3)上单调递减 D.f(3)是f(x)的极小值 【答案】AB 【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题， 结合函数的导函数图象分析确定函数的单调性、极值点与极值情况逐项判断即可· 【解答】 解：由图可知当xE(-3,-1)U(2,4)时，f(x)<0: 当x∈(-1,2)U(4,+∞)时，f(x)>0: 则f(x)在(-3，一1)，(2,4)上单调递减，在(-1,2)，(4，+∞)上单调递增， 所以x=2是f(x)的极大值点，x=4是极小值点，故A,B正确，C错误： 因为x=3不是导函数的零点，所以f(3)不是f(x)的极值，故D错误。 故选AB. 10.己知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=pan+3"(n∈N*,p∈R),则 下列结论正确的是() A.若D=0,则Sn=30+1 2 B.若p=1,则a=3” 2 C.若p=2,则数列{a-3}是等比数列 D.若p=3,则数列{船}是等差数列 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题考查等比数列的判定与证明，等比数列前项和公式，等差数列的判定，属 于中档题 对于A,利用等比数列求和公式求和：对于B,利用累加法求通项公式：对于C, D,利用等差、等比数列的定义可得 【解答】 解：对于A,当p=0时，an+1=3(n∈N*),则an=3-1(n∈N),数列{anJ} 是首项为1，公比为3的等比数列，所以S=3”=3”,兰，故4错误： 1-3-2, 对于B,若p=1,则an+1=an+3"(neN*),an-an-1=3m-1(n≥2)， ∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(ag-a2)+…+(an-an-1)=1+3+32+ +3-1=3 当m=1时也满足上式，故=号，故B正确： 对于C,若p=2,则an+1=2an+3”,则an+1-3m+1=2an+3”-3m+1=2(an- 3),数列{an-3是首项为-2，公比为2的等比数列， 故C正确： 对于D,若=3，则a1=3a+3,则器=器+=+号 则数列{：}是公差为的等差数列，所以D正确. 故选：BCD 11.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,己知f(x)在x=-3时取得极值，则下列选项 中正确的() A.a=5 B.函数f(x)在x=-3处有极大值为0 C.函数f()在x=-处有极大值为0 D.函数f)在区间[-3，-引上单调递减 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查利用导数由函数的极值点求参，考查利用导数研究函数的单调区间和极 值，属于中档题 对f(x)求导，由题意可知f《-3)=0,继而可用求出a的值，即可判断A;继而 可得f(x),f(x),再利用导数研究函数的单调性和极值，从而判断B、C、D. 【解答】 解：因为f(x)=x3+ax2+3x-9, 所以f《x)=3x2+2ax+3, 又f(x)在x=一3时取得极值， 所以f《-3)=0, 即3×9-6a+3=0, 解得a=5,故A正确： 则f(x)=x3+5x2+3x-9, f(x)=3x2+10x+3, 令f(x)=0, 解得x=-3或x=-子 当x<-3时，f《x)>0,f(x)单调递增， 当-3<x<-3f(x)<0,f)单调递减， 当x>-子f《x)>0,f(x)单调递增， 故D正确； 所以当x=一3时，f(x)取得极大值，f(-3)=0,故B正确： 当x=-时，函数取得极小值，故C错误。 故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n,则该数列的通项公式an= 【答案】2n+1 【解析】【分析】 本题考查由Sn求通项公式，解题根据是an=Sm-Sm-1(n≥2)，但要注意此式 不含a1,a1=S1: 由an=Sn-Sn-1(≥2)计算，再计算a1可得结论. 【解答】 解：由题意n≥2时，an=Sn-Sm-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1, 又a1=S1=3适合上式， 所以an=2n+1. 故答案为：2n+1. 13.已知x=2是f(x)=x3一3ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值 为 【答案】18 【解析】【分析】 本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于基础题 先对函数求导，然后结合极值存在条件可求α，进而可求函数的极大值. 【解答】 解：因为f《x)=3x2-3a, 由题意可得，f(2)=12-3a=0, 故a=4,f(x)=3x2-12, 当x>2或x<-2时，f(x)>0,函数单调递增，当-2<x<2时，f(x)<0, 函数单调递减， 故当x=-2时，函数取得极大值f(-2)=18 故答案为：18. 14.已知函数f(x)=x2-5x+alnx在(3,4)上存在递增区间，则实数a的取值范围 为 【答案】(-12，+0) 【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性问题，导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题. 求出f)的导数，得到x3,4,使得f《)=22-5+“>0成立，从而求出a 的范围即可. 【解答】 解：因为函数f(x)=x2-5x+alnx, 所以f《)=2x-5+0=2x2-5x+a 又函数f(x)=x2-5x+anx在区间(3,4)上存在递增区间， 所以3x∈(3,4)，使得f)=2-5x>0, 即2x2-5x>-a在区间(3,4)上能成立， 即(2x2-5x)max>-a, 设gx)=2x2-5x,函数图象开口向上，对称轴为x= 所以g(x)在(3,4)上单调递增， 所以g(x)<g(4)=12, 所以12>-a,则a>-12, 即a的取值范围是(-12，+oo), 故答案为(-12，+o). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(本小题13分)(1)在等差数列{an中，a1+a3=6,ag=17.求数列{[an的通 项公式及前n项和Sn, (2)已知b}是各项均为正数的等比数列，b1=2,b3=2b2+16.求{bn}的通 项公式及前n项和Tn. 【答案】解：(1)1+a=2a+2d-6 (ag=a1+8d=17 份2 …2分 an=1+2(n-1)=2n-1…4分 Sn=+2m-)=n2.…6分 2 (2)因为数列{b}是各项均为正数的等比数列， b3=2b2+16,b1=2, 所以令数列{bn}的公比为q(q>0), b3=b1q2=2q,b2=b1q=2q, 所以2g2=4q+16, 解得q=-2(舍去)或4： …9分（未舍去负值的扣2分） 故数列{bn}的通项公式为bn=22n-1; …11分 工-+号++号-2”-兴 ………13分 1-4 3 16.(本小题15分)已知函数g(x)=x3-2x. (1)求函数在点(2,4)处切线方程； (2)求过点(1，-1)且与曲线相切的直线方程， 【答案】解：(1)g(x)=3x2-2, …2分 则g(2)=12-2=10.…4分 曲线y=g(x)在点(2,4)处的切线方程为：y-4=10(x-2), 即10x-y-16=0.…6分 (2)设切点为(x0,xo3-2xo), 则所求切线方程为y-(x3-2x0)=(3x2-2)(x-x0),…8分 代入点(1，-1)得-1-(x3-2x0)=(3x02-2)(1-x), 1+x03-2x0=(3x02-2)(x0-1), x03-1-2x0+2=(3x02-2)(x0-1), 解得：x0=1或0=一 …10分 当x0=1时，所求直线方程为x-y-2=0,…12分 当x0=-时，所求直线方程为5x+4y-1=0,…14分 则过点(1，-1)且与曲线y=g(x)相切的直线方程为x-y-2=0或5x+4y- 1=0.…15分 【解析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，考查化归与转化思 想，属于中档题 (1)求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解，即可得到结论 (2)设切点为(xo,x03-2x0),则所求切线方程为y-(x03-2xo)=(3x02- 2)(x-x0),求解出x的值即可. 17.（15分)已知数列{an}的前n项和sn=n+n,数列{b}是各项均为正数的等比 数列，b+b=8(b4+b),且b=2, (1)求{a}和{b}的通项公式： 4,n为奇数 (2)设c.= ay+2 ,n为偶数 数列}的前项和为，证明：设 2b, 【答案】(1)a=2n,b.=2" (2)证明见解析 【详解】(1)数列{anJ的前n项和s=2+, 当n=1时，4=S=2,…1分 当n≥2时，4=Sn-Sn-1=n2+n-(0n-1)2-(-1)=2n,…2分 因为a=2也适合上式， …3分 所以a。=2n,…4分 设数列{bn}的公比为4，因为b,+b=8(b4+b), 所以会会分-8，解得g2,6分 又b=2,所以b=2”…7分 ,n为奇数 (2)由题意得cn= (n+2 内西数 设数列{C2n}的奇数项之和为A,偶数项之和为Bn, 则A=1文3*3×5 1 1 1 …十 (2n-1)(2n+1) 11 2335 2n-12n+1 =111 24n+22 10分 246 B2=22+2426+…+0 22n, 2.46 所以8，=2++++ 2n-2,2n 22m 22m+2, 两式相减得2+分 1,1,1 12 +…十 2少-122+2 所以8-与 …13分 故74+及<82约 2918 …15分 l8.(本小题17分)已知函数f(x)=(x2+ax+4)e(x∈R,aeR,e为自然对数的 底数)· (1)当a=-4时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y=-f(x)在[1,2]上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】解：(1)当a=-4时，f(x)=(x2-4x+4)e, 所以f《x)=(2x-4)ex+(x2-4x+4)ex=(x2-2x)ex.…2分 令f(x)>0, 因为x>0,所以x2-2x>0,解得x<0或x>2.…4分 令f(x)<0, 因为x>0,所以x2-2x<0,解得0<x<2.…6分 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间 为(0,2).…8分（每个1分） (2)因为函数y=-f(x)在[1,2]上单调递增，所以-f(x)≥0. 即f《x)≤0对任意x∈[1,2]恒成立…10分 因为f《x)=[x2+(a+2)x+a+4]ex,…11分 又ex>0, 所以x2+(a+2)x+a+4≤0对任意xE[1,2]恒成立.…13分 设gx)=x2+(a+2)x+a+4,xe[1,2], 则9(1)<0， …15分 (g(2)≤0， 即{ 3+7200解得a心4.17分 【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题. (1)求导函数，求出f(x)=0的解，列表可解： (2)求出f(x),利用-f(x)≥0对x∈[1,2]恒成立，结合一元二次函数图象，即 可求a的取值范围. 19.(本小题17分)已知等差数列{an}满足a3=S2+1,S3=a4+2,其中Sn为{an} 的前n项和，递增的等比数列{bn}满足：b1=1,且b1,b2,b3-4成等差数列. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式： (2)设{an·bn}的前n项和为Tn,求Tm ()设C,=求C的前n项和A, 【答案】解：(1)设等差数列的公差为d,:a3=S2+1,S3=a4+2, (a1+2d=2a1+d+1 3a1+3x24-1+3d+2’a=1,d=2,-1分 2 an=2n-1.…2分 设等比数列{bn}公比为q(其中q>0),因为b1=1, 由2b2=b1+b3-4,可得q2-2g-3=0,解得：q=3或-1（舍 去).…4分 所以数列{bn}的通项公式为bn=3n-1.…5分 (2)由(1)得：an·bn=(2n-1)3n-1,…7分 则Tn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-3)×3n-2+(2n-1)×3n-1① 3Tn=1×31+3×32+5×33++(2m-3)×3m-1+(2n-1)×3m② 由①减去②得-27n=1+2(31+32+33++3m-1)-(2n-1)·3n, 则-2Tn=1+2×31-3-（2n-10-3”,…9分 1-3 所以{bn}的前n项和Tm=(n-1)·3”+1.…11分 (3)由(1可知，Sn=a1n+,d=n+,.2=n2, …13分 2 2 则Cn=2+m)3 (2n+3) =(2n+3) 1 1 =m6m+03=n37-0+03m …15分 1 1 1 1 1 An=1- 2×37+ 2×373×32++ n×3n-1(m+1)×3m 1 =1- (n+1)-3n …17分 【解析】本题考查等差、等比数列的综合应用、错位相减法求和、裂项相消法 求和，属于较难题。 (1)设等差数列的公差为d,由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可 (a1+2d=2a1+d+1 得 3a1+32=Q1+3d+2'从而可求出首项和公差，即可求出通项公式 2 设等比数列{bn}公比为q,由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比， 从而可求出{bn}的通项公式： (2)由错位相减法即可求出前n项和Tn; (3)油（①）可知Sn=2,整理可得：Ca=ga,由裂项相消法可得答 案 2024-2025学年度第一学期高二年级第二次学情检测 数学试题 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在等差数列中，若，，则的公差为(    ) A. B. C. D. 2.下列各式正确的是(    ) A. B. C.   D. 3.已知等差数列满足，则(    ) A. B. C. D. 4.已知函数是的导函数，则(    ) A. B. C. D. 5.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则(    ) A. B. C. D. 6.已知，设，则 (    ) A. B. C. D. 7.等比数列的首项为，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则(    ) A. B. C. D. 8.已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.如图，这是函数的导函数的图象，则(    ) A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减 D. 是的极小值 10.已知数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等差数列 11.函数，已知在时取得极值，则下列选项中正确的(    ) A. B. 函数在处有极大值为 C. 函数在处有极大值为 D. 函数在区间上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知数列的前项和为，则该数列的通项公式为           ． 13.已知是的极小值点，那么函数的极大值为          ． 14.已知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.本小题分在等差数列中，，．求数列的通项公式及前项和． 已知是各项均为正数的等比数列，，．求的通项公式及前项和．  16.本小题分已知函数． 求函数在点处切线方程 求过点且与曲线相切的直线方程． 17．（15分）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 18.本小题分已知函数为自然对数的底数． 当时，求函数的单调区间 若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 19.本小题分已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． 求数列、的通项公式； 设的前项和为，求 设，求的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $