练案14 第二章2.2.1 直线的点斜式方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[14] 第二章 2.22.2.1直线的点斜式方程 A组·基础巩固 9.求满足下列条件的m的值 1.已知一直线经过点A(3,-2),且与x轴平行， (1)直线l1:y=-x+1与直线2：y=(m2-2)x 则该直线的方程为 +2m平行； A.x=3 (2)直线11：y=-2x+3与直线l2:y=(2m- B.x=-2 1)x-5垂直 C.y=3 D.y=-2 2.已知直线1过点(-3,4)且方向向量为 (1,-2),则1在x轴上的截距为 ( A.-1 B.1 C.-5 D.5 3.直线y-2=-√3(x+1)的倾斜角及在y轴上 的截距分别为 A.60°，2 B.120°，2-3 C.60°，2-√3 D.120°，2 4.过点(-1,3)且垂直于直线y=之+的直线 方程为 A.y-3=-2(x+1)B.y-3=-2(x-1) cy-3=-(x+1)）D.y-3=2(x+1) 5.以A(2,-5),B(4,-1)为端点的线段的垂直 平分线的方程是 A.y-（-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3)》 C-3号x-3) ny-(-3)=-2(-3 6.(多选)已知直线1：y=√3x-1,则 A.直线1过点(3，-2) B.直线l1的斜率为√3 C.直线1的倾斜角为60° D.直线1在y轴上的截距为1 7.已知斜率为-号的直线1与两坐标轴围成的 三角形的面积为6，则直线1的方程为 8.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角 的直线的斜截式方程是 .154 10.直线1过点(2,2)，且与x轴和直线y=x围 C组·拓展提升 成的三角形的面积为2，求直线1的方程. 15.数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外 心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直 平分线的交点，重心是三角形三条中线的交 点，垂心是三角形三条高的交，点)依次位于同 一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂 心距离的一半，这条直线被后人称之为三角 形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知 △ABC的顶点B(-1,0),C(0,3),AB=AC, 则△ABC的欧拉线的斜截式方程为 16.已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证：直线1恒过一个定点； (2)当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上 方，求实数飞的取值范围. B组·综合运用 11.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与直 线y=x+a的图象（如图所示）正确的是 米米来米 12.已知直线l:y=xsin0+cos0的图象如图所 示，则角0是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 13.直线l的斜率k为方程x2-2x+1=0的根， 且在y轴上的截距为5，则直线1的方程为 14已知直线)=写：-1的倾斜角为0，另一直 线1的倾斜角B=2,且过点(2，-1)，则直 线1的方程为 —15513.以B为原点，建立如图所示的"1A 平面直角坐标系，则A(0,3),D(5, 3),C(5,0),设M(x,0),0<x<5.由 题意可知直线AC和直线DM的斜率B M C 都存在，由于AC与DM互相垂直，所以kAc·kM=-1,即 号音9-1，解得=9所以w的长为9m 14.【解析】由斜率公式得k=二0=i t-0 w片 t, 如3 所以kP=k,koR=kpn, 从而OP∥RQ,OR∥PQ 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kop·k=-1,所以OP⊥OR, 故四边形OPQR为矩形. 15.(3,0)(答案不唯一，(3,0)，(5,0)任意一个都可以)设 C(x,0),易知当x=1或x=2时，不合题意，因此当x≠1且 2时，可得如多岩=1，c=名=2当4 为直角时，6m·6c=1·子=-1，得x=3,C的坐标为 (3.0).当B为直角时6uc=1·二3=-1，得x=5,C 的坐标为(5,0).当C为直角时，kc·kc=x一‘x-2 23 -1,化简得x2-3x+8=0,该方程无解. 16.6以A为坐标原点，平行于1的直 线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系.设 B(a,-2),C(b,3).AC⊥AB,.k4c· 如-1子子-1，则6-6 B =0,b=6,6=6R△ABC的面积S=1AB1·1AC= 1 瓜+4·B+9=子瓜+4· 39+9= 宁2+i,平≥分户+元=6（当且仅当公=4时取 等号) 练案[14] 1.D直线与x轴平行，.其斜率为0，.直线的方程为y= -2. 2.A因为直线l的方向向量为(1，-2)，所以直线l的斜率k= -2,又直线1过点(-3,4)，所以直线方程为y-4=-2(x+ 3),令y=0,得x=-1,所以l在x轴上的截距为-1. 3.B该直线的斜率为-√3，当x=0时，y=2-√3，∴.其倾斜角 为120°，在y轴上的截距为2-5. —25 4.A所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为-2，故 方程为y-3=-2(x+1) 5.D由A(2,-5),B(4,-1),知线段AB的中点坐标为 (3,-3),又由斜率公式可得k6=15》=2,所以线段 4-2 A份的垂直平分线的斜率为太=一之。一分所以装段A的 垂直平分线的方程为y-(-3)=x-3) 6.BC将(5，-2)代入y=5x-1,可知不满足方程，故A不 正确；由y=√5x-1,知直线1的斜率为√5，故B正确；设直线L 的倾斜角为&，则tana=5,可得a=60°，故C正确；由y= 3x-1,令x=0,可得直线1在y轴上的截距为-1，故D不 正确. 7.y=-子+4或y=-号-4设14y=-子+6，令x=0,得 y=b:令y=0,得x=子4由题意，得子·161·0=6， .b2=16,.b=±4.故直线1的方程为y=-3x±4. 8.y=√5x-6或y=-√5x-6因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或 -5,又因为在y轴上的截距为-6，所以直线的斜截式方程 为y=5x-6或y=-5x-6. 9.【解析】(1)1∥L2, .两直线的斜率相等. .m2-2=-1且2m≠1， ∴.m=±1. (2):41h2m-1=2 1 3 .m=4 10.【解析】当直线I的斜率不存在时，l的方程为x=2,经检验 符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线I的方程为y-2=k(x-2), 令y=0,得x=2h-2 由三角形的面积为2.得}×24：引 2k-2×2=2 解得6=2 可得直线1的方程为y-2=分(x-2). 综上可知，直线（的方程为x=2或y=2x+1. 11.C对于选项A,y=ax过坐标原点，且a>0,直线y=x+a在 y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题 意；对于选项B,y=ax过坐标原点，且a>0,直线y=x+a在 y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题 意；对于选项C,y=ax过坐标原点，且a<0,直线y=x+a在 y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意； 对于选项D,两直线均不过原点，不符合题意 12.D结合图象易知，sin0<0,cos0>0,则角0是第四象限角. 9 13.y=x+5由题意，方程x2-2x+1=0的根为1，所以k=1, 又在y轴上的截距为5，则直线1的方程为y=x+5. 14y=5x-2厅-1因为已知直线的斜率为停即ma=有， 所以a=30°，所以直线l的斜率k=tanB=tan2a=tan60°= √5，又l过点(2，-1)，所以1的方程为y-(-1)=√5(x- 2),即y=√3x-25-1. 15y=-子+号因为AB=4C,所以△ABC外心，重心，垂心 都位于线段BC的垂直平分线上，设线段BC的垂直平分线 3-0 的斜率为k,则·kx=-1,因为c=0=3,所以 k=-子，又因为BC的中点坐标为(-号，)，所以△ABc 13 的欧拉线方程为一(+）化成斜式为了= 14 -3x+3 16.【解析】(1)证明：由y=kx+2k+1, 得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2,1) (2)设函数f代x)=kx+2k+1,显然其图象是一条直线（如图 所示)， /1 23-2-1123x 若要使当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足3)≥0，即3张+2k+1≥0， f(3)≥0， 3k+2k+1≥0， 解得-行≤k≤1 所以实数么的取位范国是[号，小 练案[15] 1.C因为-21,5≠1，则直线1的方程为仁二号，整 理得4x+3y-7=0,所以直线1的方程为4x+3y-7=0.故选 C. 2D由两点式得直线方程为名本号即x+5y-27=0,令 y=0,得x=27. 3.AC当直线过点(0,0)时，直线方程为y=子x,即x-4y=0: 当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x+Y=1,把(4,1) a 代人，解得a=5,所以直线方程为x+y=5.综上可知，直线方 程为x+y-5=0或x-4y=0. 4.A由中点坐标公式可得M(2,4),N(3,2),再由两点式可得 直线Mv的方程为奶二-考二号即2x+-8=0 5A将两方程化为截距式武4：若+古么=1,6：方+之。=1假 定l,的位置，判断a,b的正负，从而确定L,的位置，知A项 符合. 26 6-3过复，N两点的直线方程为-二（二号又 2)在此直线上，所以当y=2时，x=-3. 7.2x-y=0或x-y+1=0当直线过原点即在坐标轴上的截 距均为零时，得直线方程为2x-y=0;当在坐标轴上的截距不 为零时，可设直线方程为x-上=1，将x=1,y=2代人方程 aa 可得a=-1,得直线方程为x-y+1=0.∴.直线方程为2x-y =0或x-y+1=0. 8(-0,-1)U(3,+∞） y 设直线 ×A(1,2) 的斜率为k,如图，过定点A的直线经 B 3-2-1012大 过点B(3,0)时，直线1在x轴上的截 距为3，此时k=-1:过定点A的直线经过点C(-3,0)时，直 线在x轴的栽距为-3，此时太=了，满足条件的直线1的斜 /1 率范围是(-0，-1)U(2,+∞ 9.【解析】过A,B两点的直线的两点式方程是+=x,4 3+1--2-4 化为底斜式为：+1=-子(x-4),斜藏式为：y=-弓+ 子距式为：+山 5 23 10.【解析】(1)：直线1过点P(4,1),Q(-1,6), 直线1的方限为。行4 --1-4 即x+y-5=0. (2)由题意知，若直线过原点， 则有0.4即-4y=0: 若直线不过原点，则直线！的斜率存在且不为0，故设直线 在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a, 心该直线的方程可设为后+名=1， 解得a=号，即2x+)-9=0, 综上，直线1的方程为x-4y=0或2x+y-9=0. 1山.x-6y+6=0或x-6y-6=0设直线1的方程为÷+古= 1时1且会-石将得化66所以 直线1的方程为石+六=1或6+十=1，即x-6y+6=0 或x-6y-6=0. 12.2x+y-6=0设直线的方程为音+古=1(a>0,6>0),因 为直线过点P(1,4),所以士+=1.则截距之和a+6=(a 、ab +6)(合台)-5+台+号5+2√合要-9，当且仅 当合仁即2a=6时取得最小位，所以日+名=1，解得 a 0