练案9 第一章 1.4.1 第3课时空间中直线，平面的垂直-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[9]第一章1.41.4.1[第3课时空间中直线、平面的垂直] A组·基础巩固 7.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1, 1.若直线1的方向向量为m,平面的法向量为 2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB, n,则能使lL的是 则点M的坐标为 A.m=(0,2,1),n=(-1,0,1) 8.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) =90°，AC=2,BC=√J13,SB=√29，则直线SC C.m=(1,2,0),n=(-2,-4,0) 与BC是否垂直 (填“是”或“否”). D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1) 9.在棱长为a的正方体OABC-O1AB1C1中，E, 2.已知平面a的一个法向量为a=(1,2,-2), F分别是AB,BC上的动点，且AE=BF,求证： 平面B的一个法向量为b=(-2,-4,k),若 A,F⊥C1E. ⊥B,则k= A.4 B.-4C.5 D.-5 3.在正方体ABCD-A,B1C,D1中，若E为AC 的中点，则直线CE垂直于 () A.AC B.BD C.AD D.AA 4.如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方 形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥ 阳时新 10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD A.2 B.1 C.2 D.3 为矩形，PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别 5.(多选)给出下列命题，其中是真命题的为 为CD,PB的中点.求证：EF⊥平面PAB. A.若直线1的方向向量4=（1，-1,2)，直线 m的方向向量b=(2,1,-2),则1与m垂 直 B.若直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面x 的法向量n=(1,-1,-1),则1⊥ C.若平面ax,B的法向量分别为n1=(0,1,3), n2=(1,0,2),则ax⊥B D.若平面经过三点A(1,0,-1),B(0,1, 0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面a 的法向量，则u+t=1 6.已知w=(a+b,a-b,2)是直线l的一个方向 向量，n=(2,3,1)是平面a的一个法向量，若 l⊥，则a,b的值分别为 —141 B组·综合运用 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 11.(多选)如图，以等腰直角三角形ABC斜边 ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2, BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折 BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且 成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下 四个结论，其中正确的是 ( =号求证：平面APL平面PD A.AB.AC=0 B.AB⊥DC C.BD⊥AC D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量 互相垂直 12.如图，已知点E,F分别是正方体ABCD- ABCD1的棱AB,AA1的中点，点M,N分别 是线段DE,C,F上的点，则与平面ABCD垂 直的直线MN有 条 A 13.如图所示，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB ⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中 点.证明：平面AEC1⊥平面AA,C,C. B A,/ —142 C组·拓展提升 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D1 15.斜三棱柱ABC-A,B,C的各棱长都为4， 中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,AB1,AD1 ∠AAB=60°，点A1在下底面ABC的投影为 的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动， 且DP=BQ=λ(0<λ<2). AB的中点O.在棱BB,（含端点)上是否存在 一点D使A,D⊥AC?若存在，求出BD的 D NM B 长；若不存在，请说明理由， A Pr-- D A E D (1)当入=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ; (2)是否存在入，使平面EFPQ⊥平面PQMW? 若存在，求出实数入的值；若不存在，说 明理由. 143取x1=1,则n1=(1,1,2) 又因为BD=(-1,-1,1),QD=(0,-1,1-m) 设平面D,BQ的法向量为n2=(x2,y2,2), 则有n2⊥BD1,n2⊥QD, 因此{为+名=0， l-y2+(1-m)z2=0, 取a2=1,则n2=(m,1-m,1). 要使平面D,BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2, 这时0(01，) 故当Q为CC,的中点时，平面D,BQ∥平面PAO. 练案[9] 1.C直线l的方向向量为m,平面a的法向量为n,当m=（1, 2,0),n=(-2,-4,0)时满足n=-2m,故C正确.对于A、 B、D显然不存在向量共线的条件.故错误 2.Da1B,a1b,.a·b=-2-8-2k=0,k=-5. 3.B建立如图所示的空间直角坐标系 D Dxz.设正方体的棱长为1，则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1), D A元=(-1,1,0)，B=(-1,-1,0) A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1).C2.B⑦=(-1)× 3+(-1)x(-分)+0x1=0cE1B0 4.B建立如图空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1， PA=a, 则B(1,0,0),E(7,1,0）P(0,0,a).设F(0,0),则B脉 (-1y0),成=（分l,-a因为F1PE,即.成 (-1)×7+y=0,解得y=7,即F(0,7,0)是AD的中 点，故折=1.故选B 5AD对于A,ab=1×2-1x1+2×(-分)=0，则a1b, 所以直线l与m垂直，故A是真命题：对于B,a·n=0,则a⊥ n,所以l∥a或lC,故B是假命题；对于C,1·2=6,所以 u1B不成立，故C是假命题；对于D,易得A正=(-1,1,1)， B元=(-1,1,0)，因为向量n=(1,u,t)是平面a的法向量，所 ge -2L 65,-11au/m2写-2a-5,6=-1 2 3 7(-2,2,1）设M(x,),则由已知，得成=A A(-1,1,0)=(-A,入，0).又Ai=(x,y,2-1),.x=-A, y=A,z=1..M(-,入，1).又c7.A2=0,Ci=(-A-1, 入-2,4)，AB=(-1,1,0),.(-A-1,A-2,4)·(-1,1,0) =0(A+1)+(A-2)=0,A=3M点坐标为(-分， 8.是如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC,AS 所在直线分别为y轴z轴建立空间直角坐标系， 则由AC=2,BC=√13，SB=√29，得B(-√13,2,0)，S(0,0, 23),C(0,2,0),S元=(0,2，-23)，C2=(-√3,0,0).因 为s元.CB=0,所以SC⊥BC. 9.【证明】以0为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 0 A B O E 则A(a,0,a),C(0,a,a). 设AE=BF=x, 则E(a,x,0),F(a-x,a,0). A市=(-x,a,-a), CE=(a,x-a,-a). Af.CE=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a） =-ax+ax-a2+a2=0, .A7⊥C正，即AF⊥CE. 10.【证明】以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所 示的空间直角坐标系。 设E(a,0,0),其中a>0, 则C(2a,0,0),4(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),Fa,7, ) =(0)i=(2al,-), AB=(2a,0,0) 所以E求.P2=0,E京.AB=0, 所以EF⊥PB,EF⊥AB, 又PBC平面PAB,ABC平面PAB, PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB. 11.BC建立以D为坐标原点，分别以DB,DC,DA所在直线为 x,y,z轴的空间直角坐标系（图略），设斜边BC=2,则B(1, 0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A(0,0,1),AB=(1,0,-1),AC =(0,1,-1),D元=(0,1,0)，B=(-1,0,0),从而有AB· A元=0+0+1=1，故A错误：A正.D元=0，故B正确：B⑦·AC =0,故C正确；易知平面ADC的一个法向量为向量B配= （-1,0,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由AB·n= x-z=0,AC·n=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1, 1,1),BD·n=-1,故D错误 12.1假设存在满足条件的直线MN,建立空间直角坐标系如图 所示，不妨设正方体的棱长为2， R D N CM、 E D A 则D1(2,0,2),E(1,2,0),设M(x,y,z),D1M=mD1(0≤m ≤1)，所以(x-2,y,z-2)=m(-1,2,-2),x=2-m,y= 2m,z=2-2m,所以M(2-m,2m,2-2m),同理，若设C,= nCf(0≤n≤1)，可得N(2n,2n,2-n),M=(m+2n-2, 2n-2m,2m-n),又因为MN1平面ABCD,C=(2,0,0), C2=(0,2,0),所以M·C元=0，M·C=0,即 2 「m+2n-2=0, 「m= 解得 3, 2n-2m=0, 2 即存在满足条件的直线MN, n=3 有且只有一条. 13.【证明】由题意得AB,BC,BB两两垂直.以点B为原点， BA,BC,BB,所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系。 B C E x 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E0,0, 25 则A4=(0,0,1),A元=(-2,2,0)， C=(-2,21),=(-20,2） 设平面AAC,C的一个法向量为m1=(x1,y1) rn·A4=0,「a1=0, m·花=0→{-2+2=0 则 令x1=1,得y=1. ∴.n1=(1,1,0). 设平面AEC1的一个法向量为n2=(x,2,2). 「n2·AC=0,「 -2x+2y2+232=0, → 。1 n2·A正=0 l-2+2=0, 令32=4，得x92=1,y2=-1. ∴.2=(1，-1,4). n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴.n1⊥n2, ∴.平面AEC1⊥平面AAC,C. 14.【证明】如图，以D为原点，分别以DA,DC为x轴，y轴，过 D作AP平行线为z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,2),E(1,0,1), B(3,2,0), 所以D元=(0,2,0)，P元=(-2,2，-2). 因为咒分所以序-尼， 所以=-22，-2)+2.0,2)=（手号号） 即（告号告） 所以=(-号号号)正=(-10，， 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 亦子+子+学=0， 则 Ln·A正=-x+z=0, 令x=z=1,则y=-1,所以n=(1,-1,1), 设平面PCD的法向量为m=(a,b,c), m·D元=2b=0, 则 m·P元=-2a+2b-2c=0, 令a=1,则c=-1,所以m=(1,0,-1), 所以n·m=1×1+0×(-1)+1×(-1)=0, 所以n⊥m, 所以平面AEF⊥平面PCD. 15.【解析】因为点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O, 故AO⊥平面ABC, 连接OC,由题意知△ABC为正三角形，故OC⊥AB, 以0为原点，OA,OC,0A,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建 立如图所示空间直角坐标系， 则A(2,0,0),A1(0,0,25),B(-2,0,0),B1(-4,0,2√5)， C(-2,25,25), 可得BB=(-2,0,25),AC=(-4,25,25),AB= (-2,0,-23), 设Bi=入BB=(-2,0,23),A∈[0,1]， 可得AD=AB+BD=(-2A-2,0,25A-25), 假设在棱BB,(含端点)上存在一点D使A,D⊥AC1, 则A,D·AC=4(2x+2)+25(25x-23)=0, 解得A=5 所以存在一点D使A,D⊥AC, 此时BD=5B,=寺 16.【解析】(1)证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系. D 由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0), P(0,0,A),M(2,1,2),N(1,0,2), BC=(-2,0,2),F2=(-1,0,A),F2=(1,1,0), M=(-1,-1,0),N2=(-1,0,A-2). 当入=1时，F序=(-1,0,1)， 因为BC=(-2,0,2), 所以BC=2FP,即BC∥F 又BC,与FP无公共点，所以BC,∥FP 而FPC平面EFPQ,且BC,￠平面EFPQ 故直线BC,∥平面EFPQ: (2)假设存在符合题意的入.设平面EFPQ的法向量为n= (x,y,z）, F2.n=0 则由 可得厂+y=0, F.n=0, -x+λz=0 于是可取n=(A,-入，I).同理可得平面PQMN的一个法向 量为m=(入-2,2-入，1). 则m·n=(入-2,2-入，1)·（入，-入，1）=0， 即λ（入-2）-入(2-入)+1=0， 解得人=1±号故存在人=1±受 —25 使平面EFPQ⊥平面PQMW. 练案[10] 1.A因为M=(1,1,1),所以M的一个单位方向向量为u= 号（1,1.)因为成=(1.-1,3)，故1m1 下+(-+-T成=91-1+3)=，所以 点P到直线MW的距离为√PM产-1PM.u2=√1-3= 22 2.B两平行平面EFD,B,和平面GHDB之间的距离，就是点F到 平面GMDB的距离4=D.n-1x2+0x(-2)+0x1山 √22+(-2)2+1 2 3 3.D分别以PA,PB,PC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系， 则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),Pi=(1,0,0).可以求得 平面ABC的-个法向量为m=(11,1),则d=P,mL-尽 4.B由题意知A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),所以BC=(0, 20-123所u-(六是活) 112 I4 CI 所以点B到直线A,C的距离d=TBC-(B心. IA CI 5.B以C为坐标原点，C⑦所在直线为x轴，C2所在直线为y 轴，CC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系（图略），则F(4, 2,0),E(2,4,0),G(0,0,2),B(0,4,0),所以B2=(2,0,0), F正=(-2,2,0)，E元=(-2，-4,2).设平面EFG的法向量为 m·FE=0, m=(x,y,z),则 即 -2x+2y=0, m·E元=0,1-2x-4y+2z=0. 令x=1, 则y=1,z=3,则m=(1,1,3),所以点B到平面EFG的距离d 1B2·ml2T Iml 11 6.BC以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1, 0),4(0,0).c111,).D0,10,(20,1）0(2