1.4.1.3空间中直线、平面的垂直同步练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，例题精练聚焦综合应用，基础夯实覆盖基础概念与技能，形成从单一知识点到综合问题解决的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|空间垂直关系的综合证明（线线、线面、面面垂直）|以正方体、四棱锥为情境，含多问递进证明题，提升逻辑推理能力| |基础夯实|法向量应用、垂直关系判定与性质|选择、填空、解答题结合，基础题占比高，如法向量垂直判定、正方体中垂直关系判断，强化模型观念|

1.4.1.3　空间中直线、平面的垂直 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【例2】如图，在四棱锥中，平面 ，底面 为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【基础夯实】 一、单选题 1．若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 2．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 3．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 4．已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A．B．C． D． 6．如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 7．已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 8．已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 三、填空题 10．在空间直角坐标系中，点的坐标为，过点作平面的垂线，则垂足的坐标是__________. 11．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时，______. 12．已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是________. 四、解答题 13．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1.3　空间中直线、平面的垂直 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1) 证明：在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. (2) 证明：设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. (3) 证明：在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【例2】如图，在四棱锥中，平面 ，底面 为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明：在菱形 中，， 又平面 ，平面 ， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . (2) 【分析】（1）通过平面 可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）设 ， 交点为，则， 以为原点，以，，分别为 轴， 轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 【基础夯实】 一、单选题 1．若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】由题设，且， 综上，法向量既不平行，也不垂直，则平面与平面相交. 2．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据空间两直线所成角，以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. 3．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得． 4．已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点为平面内任意一点，有，由题意可得，可得x，y，z的关系，将选项分别代入检验，即可得答案. 【详解】设点为平面内任意一点，有， 所以，可得. 对于选项A：，故在平面内，故A错误； 对于选项B：，故在平面内，故B错误； 对于选项C：，故不在平面内，故C正确； 对于选项D：，故在平面内，故D错误； 故选：C 5．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量法可解. 【详解】 不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则， ， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 6．如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 二、多选题 7．已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 8．已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确. 故选：ABD 9．如图，正方体中，点分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 10．在空间直角坐标系中，点的坐标为，过点作平面的垂线，则垂足的坐标是__________. 【答案】 【解析】由于在平面内，可得横坐标为0，根据平面，可得答案. 【详解】由于垂足在平面内，可设， 因为直线平面，所以两点的纵坐标、竖坐标都相等， 点的坐标为，所以，可得. 故答案为：. 11．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时，______. 【答案】 【分析】据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据，即可求解. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设，则，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 故答案为：. 12．已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由得，即，利用二次函数即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以.    故答案为：. 四、解答题 13．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． (2)取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $