练案7 第一章 1.4.1 第1课时空网中点，直线和平面的向量表示-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

解得m=-子，这与0≤m∈2矛质。 所以在棱CC,上不存在点N,使得异面直线AB,和MN所成 的角等于45°. 练案[7] 1.AC设点A(1,-2,-1),B(3,-1,2),那么AB=(2,1,3),即 为空间直线1的一个方向向量，4店=4(-2，-1，-3) =(-分，-子，子)也是空间直线1的一个方向向量故 选AC. 2.C显然a与b不平行，设平面的法向量为n=(x,y,z),则有 an=0即2+3y+:=0,令=1，得x=-2,y=1,n lb·n=0,l5x+6y+4z=0. =(-2,1,1). 3.ABC由题意知PA⊥平面ABCD,所以PA与平面内的AB,CD 都垂直，A,B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对 角线BD⊥平面PAC,故PC⊥BD,即P乙⊥Bi,C选项正确 4.B设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),又AB=(0,-1,1), B元=(-1,1,0)，则 AB·n=-y+z=0, BC.n=-x+y=0, x=y=2,又：单 位向量的模为1，故只有B正确。 5B对于B,40=(-1,4-分），则m…0=(3,1,2)· (-1,4,-2）=0,n1d,则点0（1,3,3)在平面 a内. 6.ACc=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4, -4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面a的一个法向 量，得Ca=0,得0+4+m+2n-4+m-n+1=0, 解得 c·b=0,2(m+2n-4)-(m-n+1)=0, fm=-1, Ln=2. 7.-2012~直线的方向向量平行…言5==8， .x=-20,y=12. 8.(1,1,1)(答案不唯一)由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所 以DB,=(1,1,1),即直线DB,的一个方向向量是(1,1,1). 9（-子至）因为2.0，-10，(-15，)，所以m =(-3,5,2),所以1M1=4,所以直线1的方向向量的单位 向量是=女(-35,2)=（是9）】月 1M4 10.【证明】设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐 标系， 24 则41,0.0).(1,1，）D(0.0.0,F(0,70）4(1, 0,1) =（0,12)D市=(0,3，-14D=(-1,0,0) 证0-(o1,3）(0,2-1==0, AD=(0,1,2)(-1,0.0)=0, .A正1D,市，A应1AD, 即AE⊥DF,AE⊥AD 又A1D1∩D1F=D1,AD1,DFC平面ADF, .AE⊥平面A1DF, .A立是平面ADF的一个法向量. 11.ACD因为直线1经过点A(1,1,1),B(3,2,0),所以AB= (2,1,-1),即n=(2,1,-1)是直线l的一个方向向量，故A 正确：因为m·AB=2+2-4=0,所以m⊥AB,则l∥a或 1Ca,故B错误；因为v·AB=-2+1+1=0,所以y⊥AB,故 l∥B或lCB,当l∥B时，因为l⊥a,所以a⊥B,当lCB时，因 为lLa,所以⊥B,综上，a⊥B成立，故C正确：因为A(1,1, 1),B(3,2,0),所以0A=(1,1,1),02=(3,2,0),则0A+ 20=(7,5,1),而0元+20i=(7,5,1),故0i+20店=0元 +20i,即0元-Oi=2(0成-0i),得到A元=2D,即A,B, C,D四点共面，故D正确.故选ACD. 12.BC对于A,设Q(2,3,3),则A0=(1,4,1),所以A0·n= 1×2+4×(-1)+1×2=0,故Q在平面a内；对于B,设 R(3,-3,4),则A=(2,-2,2),所以A·n=2×2+(-2) ×(-1)+2×2=10≠0，故R不在平面a内：对于C,设 M(-1,2,0),则Ai=(-2,3,-2),所以A7·n=-2×2+3 ×(-1)+(-2)×2=-11≠0，故M不在平面a内；对于 D,设N(-2,-3,4),则A7=(-3,-2,2),所以A·n= -3×2+(-2)×(-1)+2×2=-6+2+4=0,故W在平 面内. 13.(1,1,1)(答案不唯一)x+y+z=3由题意知，0A上a,直 线0A的一个方向向量为0=(1,1,1).因为Pe&,所以0 1AP,所以(1,1,1)·(x-1,y-1,2-1)=0,所以x+y+z =3. 14.【解析】(1)证明：因为A·A店=（-1,2，-1)·(2，-1， -4)=0, Ap.Ad=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0, 所以AP⊥AB,AP⊥AD. 又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD. 5 所以AP是平面ABCD的法向量， (2)因为1AB1=√22+(-1)2+（-4)=/2T, 1A1=√42+22+02=25， AB.AD=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6, 所以cos(AB,Ad)= 6 2T×25V35 故im(店，动》= 32 SGANCD 1ABI.IADIsin(AB,AD>=86 15.x+2y+3z-5=0过点P(1,-1,2),法向量为v=(1,2,3) 的平面的方程为1(x-1)+2(y+1)+3(z-2)=0,即x+2y +3z-5=0. 16.【解析】以D为原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系，如图所示， 设DA=2,则D(0,0,0),P(0,0,2) C(0,2,0),E(0,1,1),B(2,2,0), AL .P2=(2,2,-2),D2=(0,1,1), PB.D呢=2×0+2×1+(-2)×1=0， .PBLD成 设F(x,y,z),P序=P, (x,y,2-2)=A(2,2,-2), rx=2, y=2, z-2=-2λ， .F(2λ，2A,2-2A), .D7=(2λ，2入，2-2入). :PB.D=0,.4λ+4A-2(2-2λ)=0， A=写 F为线段PB的一个三等分点（靠近P点） 练案[8] 1.AB对于A,易知a=-,所以{/店，A正确：对于B,a -2b,所以l41∥L2,B正确；对于C、D,由于a与b不共线，所以 不能判断l1∥L2,C、D不正确， 2.AC因为a=(λ+1,0,2)，b=(6,2u-1,2λ)，l1∥l2,令a= b,则（入+1,0,2）=t(6,2μ-1,2入)=(6t,(2-1)t,2t),即 「入=2. 「入=-3， rA+1=6t, 1 1 0=(2μ-1)t,解得“=2'或u=2, 2=2λt, 1 t二2 t=-3 3.D因为a·u=-3+4-1=0,所以a⊥u.所以l∥或lCax 4.CD对于A,与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向 量，A不正确；对于B,与平面垂直的直线的方向向量都是平 面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯 一，B不正确；对于C,两平面的法向量平行，即这两平面可以 垂直于同一直线，则两平面平行，C正确：对于D,若两直线平 2 行，则它们的方向向量平行，与已知两直线的方向向量不平行 矛盾，即两直线平行是错的，则两直线不平行，D正确。 5.Ba/B,a的法向量与B的法向量也互相平行.子 3 A-2入=6. 6.B根据题意建立空间直角坐标系如图， D B A 设正方体的棱长为2，则A(2,2,2),A（2,2,0),C(0,0,2), B(2,0,2),.M(2,1,1),N(1,1,2),.M=(-1,0,1).又平 面BB,CC的一个法向量为n=(0,1,0),.M·n=-1×0 +0×1+1×0=0,.M⊥n,又MWt平面BB,C,C,.MN ∥平面BB,CC. 7.平行AB=(0,1,-1),A元=(1,0，-1)，n·AB=(-1, -1,-1)·(0,1,-1)=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1) =0,n·A元=(-1，-1，-1)·(1,0，-1)=-1×1+0+ (-1)×(-1)=0,.n1AB,n1A元..n也为a的一个法向 量，又a与B不重合，∴a∥B 8(-品-) 由题意，知·b=0,即 la·c=0, 「-x+4y-=0，解得 、9 x=一52' 3x+y=0, y= 27 所以 a 521 9.【证明】证法一：如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线 分别为x轴y轴、z轴建立空间直角坐标系， 1 A 设该正方体的棱长为1， 则D0,0,0,A(10,1),B(1,1,0),M(0,1,2）N(21, 小. 于是DA=(1,0,1),D2=(1,1,0), =(30)月 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), 「n·DA=x+z=0, ln·D2=x+y=0, 取x=1,则y=-1,2=-1, 所以平面ABD的一个法向量为n=(1,-1,-1). 又n=(分0,2)1，-1，-0=0， 6练案[7] 第一章1.41.4.1[第1课时 空间中点、直线 和平面的向量表示] A组·基础巩固 8.棱长为1的正方体ABCD- 1.（多选)设(1，-2，-1)，(3，-1,2)是空间直 AB,C,D1在空间直角坐标系 线l上的两点，则直线l的一个方向向量的 中的位置如图所示，则直线 坐标可以是 ( DB,的一个方向向量为 A.(2,1,3) B.(4,1,6) c) D.(2,-4,-2) 9.若M(2,0,-1),N(-1,3,1)在直线1上，则 直线的方向向量的单位向量为 2.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,10.在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是 6,4),则该平面的一个法向量为 ( A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) BB,DC的中点，求证：AE是平面A,D1F的一 C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 个法向量， 3.（多选)若PA是平面ABCD的法向量，且四边 形ABCD为菱形，则以下各式成立的是( A.P上A正 B.Pi⊥C⑦ C.PC⊥BD D.P元⊥A店 4.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面 ABC的一个单位法向量是 A.(1,1,1) R停 c(传号) n停厚 -5 3 5.已知平面内有一个点A(2,-1,2),的一 个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中，在平 面a内的是 ( A.P(1,-1,1) BQ(1,3,) CM1.-3,2) n(-1,3-) 6.（多选)已知平面a内两向量a=(1,1,1),b= (0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c 为平面α的一个法向量，则 ( A.m=-1 B.m=1 C.n=2 D.n=-2 7.已知直线1的一个方向向量为(-5,3,2)，另 一个方向向量为(x,y,8),则x= Y= —137 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.（多选)已知直线1经过点A(1,1,1),B(3,2,15.17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐 0),则下列命题是真命题的是 标系，将代数对象与几何对象建立关系，从而 A.n=(2,1,-1)是直线1的一个方向向量 实现了代数问题与几何问题的转化，创立了 B.若平面α的一个法向量是m=(1,2,4), 新分支—解析儿何，我们知道，方程x=1 则l∥a 在一维空间中，表示一个点；在二维空间中， C.若平面B的一个法向量是y=(-1,1, 它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个 -1),且1⊥，则x⊥B 平面.过点P(1,-1,2),法向量为v=(1,2, D.若0为坐标原点，且0C+20D=(7,5, 3)的平面的方程是 1),则A,B,C,D四点共面 16.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD, 12.(多选)已知平面过点A(1,-1,2),且其法 PD=AD=DC,底面ABCD为正方形，E为PC 向量n=(2,-1,2),则下列点中不在平面ax 的中点，点F在PB上，点F在何位置时，PB 内的是 为平面DEF的一个法向量？ A.(2,3,3) B.(3,-3,4) C.(-1,2,0) D.（-2,-3,4) 13.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1,1, 1),平面过点A并且与直线OA垂直，动点 P(x,y,z)是平面a内的任一点，则直线OA 的一个方向向量为 ,点P的坐 标满足的条件为 14.已知，点P是平行四边形ABCD所在平面外 点，如果AB=（2,-1,-4),AD=(4,2,0), AP=(-1,2,-1) (1)求证：AP是平面ABCD的法向量； (2)求平行四边形ABCD的面积. 138