1.4.1.2空间中直线、平面的平行同步练习题- 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，基础夯实与例题精练结合，从单一知识点到综合应用，培养空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|直线与平面平行的判定、性质及向量应用|选择、填空到解答题梯度，聚焦法向量、方向向量等基础考点，强化运算能力| |例题精练|复杂几何体中平行关系的综合证明|长方体、四棱台等情境化问题，需确定点位置及平面平行判定，培养空间想象与逻辑推理|

1.4.1.2　空间中直线、平面的平行同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【例2】如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面. 【例3】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【基础夯实】 一、单选题 1．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 3．已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 5．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 7．若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 9．如图，点A，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线平面的是（    ） A． B．   C．   D．   三、填空题 10．若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 11．已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，写出平面的一个法向量______（答案不唯一） 12．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 四、解答题 13．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1.2　空间中直线、平面的平行同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【分析】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【详解】略 【例2】如图，在四棱台中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，，P为AB的中点.求证：平面. 【答案】 底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD， 故，，两两垂直. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 在四棱台中，，，P为AB的中点， 故， 则， 所以，即， 且平面，平面， 故平面. 【分析】建立空间直角坐标系，证明，再用线面平行的定理证明即可. 【详解】略 【例3】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】略 【基础夯实】 一、单选题 1．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 2．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 3．已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间平行向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4．已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 6．在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，利用可得，继而即可求解. 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为平面， 所以，所以， 所以点P的轨迹长度为. 故选：. 二、多选题 7．若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解. 【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确； B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确； D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 8．已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 9．如图，点A，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则直线平面的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】利用空间向量、正方体的特征及线面平行的判定定理、面面平行的性质定理一一判定选项即可. 【详解】对于A项，如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 所以, 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 显然，即与不垂直，故直线与平面不平行，故A错误；    对于B项，如图所示取侧棱中点D，连接AD，BD，由正方体的特征可知， 所以平面即平面，平面，平面， 所以直线平面，故B正确；    对于C项，由正方体的特征易知平面侧面，侧面， 所以直线平面，故C正确； 对于D项，如图所示取正方体一棱中点G，连接， 由正方体的特征可知：， 易知六点共面，故D错误.    故选：BC 三、填空题 10．若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 【答案】平行或直线在面内 【分析】由题意可得，进而可得结论. 【详解】由，， 可得，所以， 所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 11．已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，写出平面的一个法向量______（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用直线与平面平行时直线的方向向量与平面的法向量垂直这一性质来求解. 【详解】已知直线的一个方向向量为，平面的法向量为， 因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直. 根据向量垂直的性质，两个垂直向量的数量积为，则. 可得，即，移项得到. 为了得到平面的一个法向量，我们可以给赋值. 不妨令，将代入，可得. 所以平面的一个法向量可以是. 故答案为：（答案不唯一） 12．在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 四、解答题 13．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $