§1.4.1 第1课时：空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习 - 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何同步练，分层设计科学，从基础概念到综合应用再到迁移挑战，梯度清晰，巩固路径完整，适配新授课教学，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|方向向量、法向量的概念及基本计算|选择、填空为主，结合各地阶段检验题，强化概念理解| |提能力|法向量与平面向量关系、正方体中方向向量综合应用|多选题及分步解答题，培养综合思维与推理能力| |迎挑战|向量方向取线段、法向量证明及面积计算|证明与实际问题结合，发展创新意识与应用能力|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第1课时：空间中点、直线和平面的向量表示 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（24-25高二下·湖北·阶段检验）若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏·期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知向量，平面α的一个法向量，若，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林·期末）已知向量，平面的一个法向量，若，则 A．， B．， C． D． 6．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二下·福建·期末）已知，，，若点在平面内，则______. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知向量，点，，若在直线上存在一点，使得（为原点），则点的坐标为______． 11．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·新疆·期中）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 14．（25-26高二下·甘肃·单元测试）已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·河南·期末）从点沿向量的方向取线段长，则点的坐标为 A． B． C． D． 16．（25-26高二上·湖南·期末）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，. （1）求证：是平面的法向量； （2）求平行四边形的面积. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第1课时：空间中点、直线和平面的向量表示 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（24-25高二下·湖北·阶段检验）若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】由题意可得：直线的一个方向向量， 又∵， ∴是直线的一个方向向量． 故选：A． 2．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 3．（25-26高二下·江苏·期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】由题知：， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知向量，平面α的一个法向量，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到得到，从而得到关系式. 【详解】由题意可知，故， 故选：C 5．（25-26高二上·吉林·期末）已知向量，平面的一个法向量，若，则 A．， B．， C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，列出比例式得到结果. 【详解】因为，所以，由，得，. 故选A 6．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 7．（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点在平面内，则该点与构成的向量与的数量积为0，由此依次判断选项即可得到答案. 【详解】对于A，，则，故A不正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C不正确； 对于D，，则，故D不正确； 故选：B 8．（24-25高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中，为平面的中心，为的中点.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线的一个方向向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的坐标，求得坐标，即可判断. 【详解】由题意得，则，所以为直线的一个方向向量. 故选：B 9．（25-26高二下·福建·期末）已知，，，若点在平面内，则______. 【答案】 【分析】求出平面的法向量，由法向量求参数值． 【详解】设平面的一个法向量是，又， 所以，取得， 在平面上， 则，． 故答案为：． 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知向量，点，，若在直线上存在一点，使得（为原点），则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出向量，由共线向量定理得，由向量的线性运算求出，再根据垂直向量的数量积为0求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】 ∵在直线上,设，则， ， 因为，则，所以， 解得， 因此存在点，使得， 此时点的坐标为． 故答案为： . 11．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量. 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积运算的坐标形式以及法向量的性质计算求解. 【详解】， 由为平面的一个法向量，得 得 解得，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 13．（24-25高二上·新疆·期中）（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案. 【详解】由题意，，，，，. 对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，得，故D不正确. 故选：AC. 14．（25-26高二下·甘肃·单元测试）已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出即可作为直线的一个方向向量； （2）由，可得为平面的一个法向量，所以，由此能求出，，满足的关系式． 【详解】（1），， ， 即为直线的一个方向向量．（答案不唯一） （2）由题意得， 平面，， ，则， ， ． 化简得． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·河南·期末）从点沿向量的方向取线段长，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点坐标，表达出，得到，根据，求出，从而求出点坐标. 【详解】设点坐标为，则， 即， 因为，所以，解得：， 所以． 故选：A 16．（25-26高二上·湖南·期末）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量； （2）求平行四边形的面积. 【答案】 (1)∵， . ∴，，又，∴平面， ∴是平面的法向量. (2). 【详解】试题分析： (1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量. (2)利用平面向量的坐标计算可得，，，则，，. 试题解析： （1）略 （2）∵ ，， ∴， ∴， 故， . 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $