1.3 空间向量及其运算的坐标表示(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”现有一阳马 P-ABCD,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,M为底面ABCD内（包含边界）的一个 动点，且满足PM=V5,则PM.BM的取值范围是() A.1-22,1+2W2] B.[-1,2] c.l-V2,] D.[-l,1] 2.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，侧棱长为2，AC=BC=1,∠ACB=90°，D是AB的 中点，F是侧面CCB,B(含边界)上的动点，若ABL平面CDF,则CF长度的最大值为( B 5 3 A.1 B.2 C.2 D.2 3正三棱柱4BC-ABC中，AB=2,4=5,O为BC的中点，M是梭BG上一动点，过 O作ON⊥AM于点N,则线段N长度的最小值为() 3√6 √6 3v3 A.4 B.2 C.4 D./3 4.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点M是侧面ADDA(含边界)上的一个动点， 满足BC·BM=1,则BC与BM的夹角的最大值为) 元 交 A.2 B.3 C.4 D.6 5.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面4DD4上运动， 满足BQL平面AD,P,则线段P吧的长度的最小值为() D B D A.3 B.1 c.v2 D.3 6.在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=2,∠CAB=90°，M4=VB,O为BC的中点，M MN MO 为棱B,C上的动点，N为线段AM上的动点，且MOMA,则线段MN长度的取值范围为( 3557 2347 B. 5,7 c47 D.57 7.(多选)己知单位向量i,j,k两两的夹角均为0<8<π，且2)，若空间向量“满足 a=xi+月j+zk,其中y,2∈R,则称有序实数组（化，y为向量a在“仿射”坐标系Oxz (0为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作“=(x,少2)。.下列说法正确的有() A.若a=(2,1,)0,b=(4,2,2)9,则a/b B.若a=4,3,-2),b=(4,0,2)0,则ab=0 C若a=(x,,a,b=(2b,则+b=(x+,y+2,+)。 0A=1,0,0).0B=(01,0).0C=(0,0,10. D若 3， 3， 3,则三棱锥0-ABC的表面积S=V2 &.(多选)在正三棱柱ABC-4B,G中，AB=AA=1,点P满足P=xAB+yAC+zA4 x,yze[0,1,则() A.当y=2 2时，A=1 B.当x+y+z=1时，AP与BB异面 C若BC平面P4,则=) D.若点P在平 BAC内，则x+z=1 9,如图，正三棱柱MBC-ABC的各棱长均为1，点O为棱BC上的中点，点E为棱4B上的 动点，则OE在B,C上的投影向量的模的取值范围为 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=AB=2,点 E,F分别为CD,CP的中点，点I为△PAB内的一个动点（包括边界），若CTI平面AEF, 则点T的轨迹的长度为 D 1已知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,CDMB,BC⊥AB,PC=BC=CD=)AB 1,点 E为PA中点，平面EBC交PD于点F,则四边形EFCB的面积为 B 12把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=3O°将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角 (1)证明：PB⊥平面PCD: (②)若P,B,C,D在同一个球面上，求该球的半径： (3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值， 答案以及解析 1.答案：D 解析：如图，连接M,由PA⊥平面ABCD,得PA⊥AM,则AM=VPM-PA=1,四边 形ABCD为矩形，则AB,AD,AP两两垂直以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0),P(0,0,2),设 0∈0， M(cos0,.sin6,0),2,则PM=(cos,sin6,-2),BM=(cos0-2,sin6,0),所以 π P7,BM=c0s8cos日-2)+Sin9=co329+sin20-2c0s9=1-2c0s0因为∥2】，历 cos8∈[0，]，则1-2cos0∈[-l1,1,所以PM·BM∈[-l,1] B 2.答案：B 解析：如图，以C为原点，C4,CB,CC的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直 a系，则Aa2Bo0c0000520.g8=-刀 CD-0,设0a,0≤aS1,0shs2,则CT=0a,风为18上平百Gpr, 11 所以4B.CF=0+a-2b=0,解得a=2b,则F(0,2b,),又0≤a≤1,0≤b≤2，a=2b, 之，所以GF=v46+8=v56 0sbs1 √5 所 2,即CF长度的最大值为2 c C, D 3.答案：B 解析：因为正三棱柱1BC-ABG中，O为BC的中点，取BC中点Q,连接O0, 如图，以O为原点，OC,OA,O0为x,y,z轴建立空间直角坐标系， B 则0(0,00)，4(0,5,0)，B(-10,3),C10,3） 因为M是棱BG上一动点，设M(a,0v5),且a∈-l刂，所以 oM.0A=(a,0,5)0,5,0=0,则0A10M, MN MO 因为ON⊥AM,所以在直角三角形OMA中可得：△OMN∽△AMO,所以MOMA, 郎Mw=Mo a2+3 a2+3 MA a+5+后a+6,于是令：=+6'fe[6,v]: a2+3--3=1-3 所以Va2+6t t∈[V6,v],又函数y=1-在1∈[6，]上为增函数， 所以当，6时，（》=6-交-5 6 0√后2，即线段MN长度的最小值为2故选：B. 4.答案：B 解析：以D为坐标原点，分别以D1,DC,DD的方向为x轴、y轴、轴的正方向，建立空间 直角坐标系，则B1,0),C(0,1D,BC=(10,D.设M(x0,),其中0≤x≤1,0≤z≤L, 则BM=(Gx-1,-l,2),所以BCBM=1-x+z=1,所以 =丽少F2r-2r7tc)=0,0,则 BC·BM 1 1 cos0= BCBM x2-2x+22x+1 4 0. 1 OS0= 2 且y=cos0在 2」上单调递减，所以当 02时，8取得最大值，为3 5.答案：A 解析：以D为坐标原点，D4,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 2 B 则A1,0,0),D(0,0,),B,1),设P(0,m,0),Qn,0,,0≤m≤1,0≤n≤1,0≤1≤1， 所以B,2=(n-l,-1,t-),AD=(-1,0,1),AP=（1,m,0).因为B21平面ADP,所以 B0AD=1-n+i-1=t-n=0,故t=n,B0AP=1-n-m=0,故m=1-n,又 PO=(n,-m,t),所以 @=+(m+r-n-2*1-e写 人+3，故当3时， n= P0fm5,此时 2 2 2√6 =1-n= 3满足要求，所以线段P口的长度的最小值为V33故选A. 6.答案：B 解析：由题意，以A为原点，AC,AB,4的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直 角坐标系，如图所示，则O11,0),A(0,0,0),设BM=a,0≤a≤2V2,则 a-2+2-a+3 2 =Va2-22a+5 -j-29s--2w9 MN MO 因为MOMA,所以 MN=M0=a2-22a+5 MAva2-22a+7,令t=va2-22a+7=Va-2+5,则 MN=a2-22a+5=-2=1-2 Va-22a+7ti,又0≤a≤22，所以V5≤Va-2)2+5≤万，即 同散”子在5同上年阳西师清型5-后万房 7,即 SMNS 35 355W7 5 7,故线段N长度的取值范围是L5、7 B 、N 7.答案：AC 解析：对于A,a=(2,10,b=(4,2,2)0,则a=2i+j+k,b=4i+2j+2k,可知b=2a, 则ab,故A正确： a.b=(i+3j-2k)(4i+2k)=4i2+12ij-6i.k+6jk-4k2 对于B, 0≠ =4+12×1×1×cos0-6×1×1×c0s0+6×1×1×cos0-4=12c0s0,因为0<0<元，且2，所 以cosB≠0，所以ab≠0，故B错误； “仿射”坐标的定义可得，a+b=(xi+yj+zk)+(xi+yj+z,k) 对于C,根据 =(x+x)i+(以+乃2)j+(名+2)k,故4+b=(:+,乃+，+22加，故C正确： 元 对于D,由题意得OA=i,OB=j,OC=k,且单位向量i,j,k两两的夹角均为3，则 4BHOB-0Hj--2j-+-2xlx1xcos ,同理， 1BC=1,|AC卡1，所以三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，其表面积 =4xx1x5-5 2 ,故D错误 8.答案：ACD 解析：正三棱柱1BC-4B,G中，以4为原点建系如图所示， 2小 B 4(0,0,1)B,0,0,) c兽 由C+:得华标为+小kG0心对于4 -人要网图得-份，因 此A正确： 对于B,当x+y+z=1时，取特殊值：x=1,y=z=0,满足x+y+z=1,此时P(L,0,O)即点 B,P=丽，AP与BB相交于A,不是异面直线，因此B错误： 对TC苦C平面4无计算s-司兽 平面AP4中4=0,0，)？已有 元石0，头所示瓦亚引9号=园 此C正确： 对于D,若点P在平面BAC内，则P=A+4+4(4C)(,ueR),又4B=,0-), 1+2+“=x+3 2 ,所以2“= ,整理得x=1+2,所以 -=z y=u AB=1,0,0) z=-九 x+z=1 因此D正确 9.答案： OA,则AO⊥BC,又三棱柱ABC-AB,C为正三棱柱，则CC1平面 解析：如图，连接 ABC,OAC平面ABC,所以CC⊥OA又BC∩CC=C,BC,CCC平面BCCB,所以 O中面出瑞系维直所能5系，黄0.，4厚 的动点，设BE=B4,元e[0,】,则 E-0i+8E=0瓜+84-301 小号匹6片腰 在B,C上的投影向量的模为 九G上H的限宽用成米为 0 B 5 10.答案： 3 解析：取AB的中点G,连接CG,因为四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，所以 AGIICE,且AG=CE,所以四边形AGCE为平行四边形，所以CG∥AE,又CG女平面AEF, AEc平面AEF,所以CG∥平面AEF,连接GT并延长交PB于点H,连接CH,因为CT∥ 平面AEF,CT,CG是平面CHG内的相交直线，所以平面CHG∥平面AEF,所以线段GH 即为点I的轨迹.由题意知AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，AB,AD,AP所在直线 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 2个 则A(0,0,0),E(L,2,0),F1,1,1D,C(2,2,0),P(0,0,2),B(2,0,0),所以PB=(2,0,-2), CP=(-2,-2,2),AE=(1,2,0),AF=41,),设PF=1PB，元∈[0，]，则 C豆=CP+PF=CP+2PB=(-2,-2,2)+2(2,0,-2)=(2元-2，-2,2-21)，设平面AEF的法向量 AE⊥n, AE.n=x+2y=0, 为n=(x,y2),则AF1n则AFn=x+y+2=0,令y=1,得n=(-21,),因为C币1n, 2 所以222-2)-2+2-21=0，解得2-5，则C 面-c+团-20+号2号)得.所a丽5号当.即点7流 1,4V5 √5 的长度为3. Ⅱ答东5k 解析：因为四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,且BC⊥AB,所以如图所示，以C为坐标原 点，分别以CD,CB,CP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系则 C(0,0,0),D1,0.0),A(2,10),B(01,0)P(0,01,则 c)m-(10).c=0-1o,E-》0--1o 设DF=DP=(元0，)，则BF=BD+DF=(1-,-l,2) 因为F∈平面EBC,则存在实数m,n,使得BF=mBC+nBE 2 m=- 1-λ=n 3 2 所以1=m2”,解得n= 3所以 1 = =3 居》 BEBF 2++ 326 4 BE BF 614V21, F⑨（周9 所以sn∠E8F-s血(E,BF）--cos(a死，a丽-V月 co,F）- BC-BF 1 3 BC BF 1414, 3 所um<C8F=smC丽到--eos(oc,丽可-月 Ar的方限rmr-年原-誓 △Bcr的为方C-乎原-9 5,55 5 所以四边形EFCB的面积为6+63.故答案为：3 ZA 12.答案：(1)证明见解析 (②)v6 5 (3)5 解析：(I)二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD, 又因为CD⊥BC,CDC平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC, 所以CD⊥平面PBC. 又因为PBC平面PBC,所以PB⊥CD 由题意PB⊥PC,CD∩PC=C,CD,PCc平面PCD, 所以PB⊥平面PCD ZA M (2)取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM, 则OM⊥BC,OM/CD, 因为CD⊥平面PBC,OPc平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP, 在△ABC中，PB=PC,O为BC中点，所以OP⊥BC. 以OB,OM,0严}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系0-9z, 设该球的球心坐标为（比，y), * 则 ,解得=0，少6 2,z=0 2 3√2 x2+y2+ 618=6 2 V44 所以该球的半径为 (3)法一：取BC中点O,在△BCD中，过O作OH⊥BD,垂足为H,连接PH, 平面PBC⊥平面BCD,OP⊥BC,OPC平面PBC, 平面PBC∩平面BCD=BC,所以OP⊥平面BCD 而BDC平面BCD,故OP⊥BD, 又因为OH⊥BD,OP∩OH=O,OP,OHc平面OPH,故BD⊥平面OPH, 而PHc平面OPH,所以PH⊥BD, 则∠PHO为平面PBD与平面BCD的所成角. 直角三角形ABC中， 0P-32 2， OH=0B×sin30°=3V2x13W2 224 3V2 cos∠PHO= OH 4 5 PH 3232 5 √5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5 法二：平面BCD的一个法向量为乃=(O,0,1), BD=(-3V2,V6,0） 32.3W2 乃·BP=0, 2x+ z=0, 2 设平面PBD的法向量为”=(x,y),则元·BD=0,即-32x+6y=0. 取x=L,得平面PBD的一个法向量为元=15， cos(,西) 21√5 √5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5.