练案5 第一章 1.3.1 空间直角坐标系-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[5] 第-章1.3 A组·基础巩固 1.点A(-2,3,-4)关于坐标平面0xz对称点A' 的坐标为 A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4) C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4) 2.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x 轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且OB= -i+j-k,则点B的坐标是 A.(-1,1,-1) B.(-i,i,-k) C.(1,-1,-1) D.不确定 3.如图，在长方体0ABC-01AB1C1中，0A=3, OC=5,001=4,点P是B,C1的中点，则点P 的坐标为 A.(3,5,4) R(34) c(房5,4 D.(5,22） 4.已知0A=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k, c=k+i,{i,j,k}是空间向量的一个单位正交 基底，则点A的坐标为 A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,10,12) D.(4,2,3) 5.已知点B的坐标是(-1,2,1)，则10B1= A.√6 B.6 C.5 D.5 6.在空间直角坐标系中，已知点P(1,√2,3)， 过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q的坐 标为 7.已知三棱锥P-ABC中， ∠ABC=90°，PB⊥平面 ABC,AB=BC=PB =1,M,N B- 分别是PC,AC的中点，建立 如图所示的坐标系Bxyz,则 向量MN的坐标为 1.3.1空间直角坐标系 8.在空间直角坐标系Oxyz中，已知空间向量a= (1,-2,3),则向量a在坐标平面Oxy上的投 影向量的坐标是 9.如图所示的空间直角坐标系中，ABCD是正方 形，AB=2,PA=4,则PD的中点M的坐标为 M D C 10.已知ABCD-A,B1C,D1是棱长为2的正方 体，E,F分别为BB,和DC的中点，建立如图 所示的空间直角坐标系，试写出DB,D正，D正 的坐标。 33 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴15.若p=xa+yb+c,则称(x,y,z)为p在基底 的对称点为B,则点B到z轴的距离为 {a,b,c}下的坐标.若一向量p在基底{a,b, c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底 A.√5B.√10 C.3 D.√13 {a+b,a-b,c}下的坐标为 ()》 12.（多选)如图，在长方体ABCD-AB,CD1中， A(分3) R(3-23) AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1 分别为x轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标 32) n(-323j 系，则下列说法正确的是 16.已知，在棱长为2的正四面体ABCD中，以 D △BCD的中心0为坐标原点，OA为z轴，OC B 为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为 AB的中点，求OM的坐标 A x B A.点B,的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8，-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB,A1对称的点为(8,5,0) 13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P在平面 Oxy上的射影为P(1,2,0),在平面Oyz上的 射影为P2(0,2,1),则点P的坐标为 14.如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD,PB 与底面所成的角为45°， 底面ABCD为直角梯 形，∠ABC=∠BAD= 90,PA=BC=24D=1 B 请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的 坐标 —134所以IAB1=√4+a,1BD1=√8+a,所以1cos(AB,BD)1 LAB·BD la2-41 号，整理可得0 5 =成1.丽4+8·V8+云 -13a2+12=0,可得a2=1或a2=12,解得a=1或25.所 以A41=1或A41=2√5.故选B. 14.Bi+M+N⑦√⑩ 在矩形ABCD 2 中，AB=1,BC=5,则可得AM= 2 BM=9,CN=之，ND=5,MN=1.因 为平面ABC与平面ACD垂直，BM⊥AC,平面ABC∩平面ACD =AC,BMC平面ABC,则BM⊥平面ACD,所以BM L ND, 由题可得B成=B立+M+N⑦，所以1B12=(Bi+M+ N⑦)2=B12+1M2+1Wi12+2(B成.M+M.N+ 成.=()++()+2×0+0+0)=多所 以励1= 15.5-1设A店=a,Ad=b,AA=c,则{a,b,c}构成空间的 个基底.设AB=1,因为BD1AW,所以Bi·A=0,因为B Ai-A=b-a,A=AA+A=c+Ab,所以(b-a)·(c+ Ab)=0,所以7+A-号-分=0，所以A=5-1 16.【解析】连接AG并延长交BC于点H,连接DM(图略). 由题意，可令P,PB,P乙}为空间的一个基底， 成=成=子i+ 4 A+5×延 2 =可+4(Pi-pi+(P元-pi) =4+4+4元 :点D,E,F,M共面，.存在实数入4使得Di=入D成+uD 即Pi-Pi=(P龙-P)+u(P成-Pi), :.PM=(1-入-)Pi+入P呢+4P市=(1-A-u)mPA+ n产店+P元，由空间向量基本定理，知子=(1-A-)m, 子=An, +。+=41-A-0)+4纵+拟=4，为定值 ”十 m n 练案[5] 1.A点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数 即得A'的坐标为(-2，-3，-4) 2 2.A由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为 (-1,1,-1). 3.C由题图知，点P在x轴y轴、z轴上的射影分别为P,P2, B,它们在坐标轴上的坐标分别是子，5,4，放点P的坐标是 (354小 4.A0A=8(i+j)+6(G+k)+4(k+i)=12i+14+10k=(12, 14,10) 5.A由B点坐标是(-1,2,1)，得0B=-i+2i+k,故10B12= 1+4+1=6,枚10B1=√6. 6.(0,√2,5)由于垂足在平面0z上，所以纵坐标、竖坐标不 变，横坐标为0. 7(分0，之）m=证+=分+成)+分（厨 +脑)=厨成==(30，） 8.(1,-2,0)设a=0A=(1,-2,3),得A(1,-2,3),所以点 A在坐标平面Oxy上的投影A'(1,-2,0),所以a在坐标平面 0灯y上的投影向量的坐标为(1，-2,0). 由题意知P0=√PA-OA平= PA'- () =√4，点M在x轴、y轴、z轴上的射影 分别为以0，以，它们在坐标轴上的坐标分别为-三，0 ,所以点N的坐标为(-号0，) 10.【解析】DB=DA+D元+DD =2i+2j+2k=(2,2,2), 呢-i+D成+D =2i+2j+2×2k =2i+2j+k=(2,2,1), 亦=2元=3×25j=j=(0,1,0). 11.A因为点A(1,2,3)关于x轴的对称点为B,所以B(1,-2, -3),所以点B到z轴的距离d=2+(-2)2=5.故 选A. 12.ACD根据题意知，点B,的坐标为(4,5,3)，选项A正确：B 的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B 对称的点为(8,5，-3)，选项B错误；在长方体中AD1=BC =√AD2+AA=5=AB,所以四边形ABC,D,为正方形，AC 与BD,垂直且平分，即点A关于直线BD对称的点为C(O, 5,3),选项C正确；点C关于平面ABBA对称的点为(8,5， 0),选项D正确. 13.(1,2,1)因为点P在平面Oxy上的射影为P(1,2,0),在 平面0yz上的射影为P2(0,2,1),所以P(1,2,1) 14.【解析】因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD,且AB⊥AD, 所以分别以AB,AD,AP所在直线为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 得/C,所以“2=2m名0-3所以m=0,n=0,所 6 系，如图， 以m+n=0. 因为PA⊥平面ABCD,PB与底面所 6.(-1,3,3)设点P(x,y,z),则由A=2P2,得(x+1,y-3, 成的角为45°， rx+1=-2-2x, 所以∠PBA=45°，所以AB=PA=1,/x z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),则y-3=6-2y,解得 则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),A(0,0,0),B(1,0,0) z-1=8-2z, 15.B设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a +2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+z0=(x+y)a+(x-y)b+ y=3,即P(-1,3,3). 3 x=2 z=3, x+y=1, zc,所以x-y=2,解得 1故p在基底a+b.a-b,7.号=(03,3)，4亡=(-1,10)=32，C z=3 y=-2 2,A店.A元=0×(-1)+3×1+3×0=3，.cos(AB,AC)= z=3, c下的坐标为（含，-子3） 惑需台成恋号 16.【解析】 易知△BCD的中线长为5x2=5,则0C=2 ·由BPL平面ABC,可得BP⊥AB,BP⊥BC,又AB⊥BC, 2 3 0A=Ac-0c=√4-3=3， -426 A店.B元=0， 3+5-2z=0, B.AB=0,即x-1+5y+6=0, 设ij,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的 解得x=9y 3(x-1)+y-3z=0, 交点为E, B.B武=0， 则0E号80：子 9=4+y9-号-9 401525 o成=2(oi+应=2(oi+0成+a 9.【解析】a=(1,2,-1),b=(-2,3,4), .∴.ka+b=(k-2,2k+3,-k+4), =2(i+o元+2 a-2b=(5,-4,-9). (1)(ka+b)∥(a-2b), =[a+0元+3(o正-0d1 小号转兰标得分 5 -4 =子证元+2i-得+e (2):(ka+b)L(a-2b), ∴.(ka+b)·(a-2b)=0, 成=（宁）】 即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0, 练案[6] 解得太=号 10.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 1.Aa-b+2c=(9,3,0),.1a-b+2cl=9+32+0= 3/10. 2.Dka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),(ka+b)·(2a -)=3(k-)+26-4=0,解得6=子 3C由题意得B中点M(2.子，3）又C(01,0),所以C= (2,7,3）,故M到C的距离为CM=11= 则D00.0),(0.0,).c0.1,0),F(分70 +(3）+= c,1,）片 4.C因为4B=(3,4,-8),B元=(2，-3,1)，A元=(5,1，-7)， 所以成=（分，） 于是B元.A元=10-3-7=0，而1BC1=√4,1AC1=55,所 =(分-20.d=(1.o,2） 以△ABC是直角三角形. 5A因为=(m-1,1m-2n-3),4=(2,-2,6),由题意 成=(0-1）月 243