1.3 空间向量及其运算的坐标表示（能力提升）练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.已知向量，，且与互相垂直，则( ) A.-1 B.2 C. D. 2.已知正方体不在同一表面上的两个顶点，，则正方体的体积为( ) A.32 B.64 C.48 D. 3.设，向量，，，且，，则( ) A. B.3 C. D.4 4.空间四边形ABCD中，，，，则的值是( ) A. B. C. D.0 5.向量，，，若，则a与c的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.在边长为2的正方体中，E，F分别为BC，的中点，P，Q分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段PQ的长度最小值为( ) A. B.2 C. D. 7.在空间直角坐标系中，，，，点Q在直线上运动，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.P是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知向量，，则下列结论中正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.不存在实数λ，使得 D.若，则 10.（多选）已知点P是四边形ABCD所在平面外一点，若，，，，则下列结论正确的是( ) A. B. C.四边形ABCD为平行四边形 D.若，则点E为PD的中点 11.（多选）在空间直角坐标系中，向量，，则下列结论错误的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若为锐角，则 D.若a在b上的投影向量为，则 12.已知向量，，且向量a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是_________. 13.在空间直角坐标系中，点P坐标可记为.定义柱面坐标系：在柱面坐标系中，点P坐标可记为.如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为，，.则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为___________. 14.已知向量，，，且，，则______________. 15.已知一个正八面体ABCDEF的棱长是2（如图），建立适当的空间直角坐标系，并求下列问题. （1）若P，Q分别为棱AB，AD的中点，求； （2）若P，Q分别为棱AB，AD上的动点，求的最小值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意得，，又与互相垂直，则，解得. 2.答案：B 解析：，又因为，两点不在同一表面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长.设正方体的棱长为a，则，解得，所以正方体的体积为.故选B. 3.答案：B 解析：由题可得解得所以向量，，所以，所以.故选B. 4.答案：D 解析：在空间四边形ABCD中，，，，则，所以.故选D. 5.答案：B 解析：由已知可得，且.又，故，即，故，.又，故.故选B. 6.答案：A 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，，，设，，，.因为，所以，即，所以，当时，线段PQ的最小值为.故选A. 7.答案：C 解析：由点Q在直线上运动，故可设，， 则，， 所以，故当时，取得最小值.故选：C. 8.答案：B 解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，设，，，，，，当时，取得最小值，当或1，或1时，取得最大值0，所以的取值范围是.故选B. 9.答案：ACD 解析：对于A项，由可得，解得，故A项正确；对于B项，由可得，解得，故B项错误；对于C项，假设存在实数λ，使得，则，所以不存在实数λ，使得，故C项正确；对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选ACD. 10.答案：ACD 解析：，所以，A正确；因为，，所以不平行，B错误；，所以，所以四边形ABCD为平行四边形，C正确；若，则，又，所以，故点E为PD的中点，D正确. 11.答案：ABD 解析：对于A：，，因为，所以可设，即方程组无解，故不可能成立，A错误； 对于B：若，则，解得，B错误； 对于C：因为a与b不可能共线，若为锐角，则，解得，C正确； 对于D：，，若a在b上的投影向量为，即，则，解得，D错误.故选ABD. 12.答案： 解析：若，则，当时，则，解得，此时，a，b方向相同，故a，b的夹角为锐角时，且，故答案为. 13.答案： 解析：由题意，点与点的空间直角坐标分别为，，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为. 14.答案： 解析：因为，，，且，所以，即，解得.又，设，则解得.所以，，所以，所以. 15.答案：（1）1 （2）-2 解析：（1）如图，连接BD，CE，交于点O，连接AF，易得O为AF的中点，且OA，OC，OD两两垂直.以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，， 又P，Q分别为棱AB，AD的中点，所以，， 所以，， 所以. （2）由（1）知，，. 设，，则，，所以，，所以，， 所以， 所以当时，取得最小值，为-2. 学科网（北京）股份有限公司 $