1.1.1第2课时共线向量与共面向量同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础-中档-拔高三层设计，以共线与共面向量概念为起点，逐步过渡到几何体中的综合应用，强化空间观念与逻辑推理，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|共线/共面向量概念、简单判定|单选题1-5（如正方体中向量共面判断）、填空题8-9，直接考查定义与定理应用| |中档|共线与共面综合、简单证明|多选题7（共面定理辨析）、解答题10（四点共面证明），结合正方体情境提升应用能力| |拔高|空间几何体中的复杂应用|单选题11-13（如平面判定）、填空题15-16（体积计算），需多步推理与空间想象，培养数学思维|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第2课时　共线向量与共面向量 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 2.已知非零向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 3.下列命题中正确的是(　　) A.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb B.向量a，b，c共面即它们所在直线共面 C.-=是a，b共线的充要条件 D.空间中任意两个向量共面 4.已知非零向量a=3m-2n-4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m，n，p不共面.若a∥b，则x+y等于(　　) A.-13 B.-5 C.8 D.13 5.若a，b，c是空间一组不共面的向量，则下列向量中不共面的一组向量为(　　) A.a-b，b+c，c+a B.-a+c，-b-c，a+b C.a+b，b-c，a+c D.a+b，a-b，c 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足=t，若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于(　　) A. B. C. D. 7.(多选)下列命题中为真命题的有(　　) A.若p=xa+yb(x，y∈R)，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p=xa+yb(x，y∈R) C.若=x+y(x，y∈R)，则M，P，A，B四点共面 D.若M，P，A，B四点共面，则=x+y(x，y∈R) 8.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=　　　　. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且D1E=EB，点F在棱D1C1上，若A，E，F三点共线，则=　　　　　　　. 10.(13分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有=+7+6-4，那么点M必(　　) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 12.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间中一点，且满足=λ+μ，λ，μ∈，则(　　) A.当λ=1时，点P在棱BB1上 B.当μ=1时，点P在棱B1C1上 C.当λ+μ=1时，点P在线段B1C上 D.当λ=μ时，点P在线段BC1上 13.已知向量a，b，c不共面，则使向量m=2a-b，n=b+c，p=xa+5b+3c共面的实数x等于(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.4 14.(15分)如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA=1∶3.求证：B，G，N三点共线. 15.如图，点O是棱长为2的正四面体PABC底面ABC的中心，过点O的直线交棱AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线交于点Q，与棱PB的延长线交于点R，则++=　　　　　　. 16.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，=-++，则三棱锥A-MBC的体积是　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练第2课时　共线向量与共面向量参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共72分 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 答案　C 解析　由正方体的性质可得，=，由图形(图略)易知，，共面. 2.已知非零向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 答案　A 解析　∵=+=2a+4b=2， ∴A，B，D三点共线. 3.下列命题中正确的是(　　) A.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb B.向量a，b，c共面即它们所在直线共面 C.-=是a，b共线的充要条件 D.空间中任意两个向量共面 答案　D 解析　若a∥b，当b=0，a≠0时，不存在实数λ，使a=λb，A错误； 空间中三个向量共面是指这三个向量能平移到同一平面内，而不是说它们所在的直线在同一平面内，B错误； 由a，b共线可知a，b方向相同或相反，当a，b同向时，+=， 当a，b反向时，=，故a，b共线不能推出|a|-|b|=|a+b|，C错误； 空间中任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，D正确. 4.已知非零向量a=3m-2n-4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且m，n，p不共面.若a∥b，则x+y等于(　　) A.-13 B.-5 C.8 D.13 答案　B 解析　∵a∥b且a≠0， ∴设b=λa(λ∈R)，则(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp， 又m，n，p不共面， ∴解得 ∴x+y=-5. 5.若a，b，c是空间一组不共面的向量，则下列向量中不共面的一组向量为(　　) A.a-b，b+c，c+a B.-a+c，-b-c，a+b C.a+b，b-c，a+c D.a+b，a-b，c 答案　D 解析　对于A，a-b+(b+c)=c+a，所以a-b，b+c，c+a是共面向量； 对于B，-a+c+(-b-c)=-a-b=-(a+b)，所以-a+c，-b-c，a+b是共面向量； 对于C，a+b-(b-c)=a+c，所以a+b，b-c，a+c是共面向量； 对于D，令a+b=x(a-b)+yc(x，y∈R)，即a+b=xa-xb+yc， 则显然方程组无解，故a+b，a-b，c不是共面向量. 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CC1上靠近点C的三等分点，点N满足=t，若N为AM与平面BDA1的交点，则t等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 由点M是棱CC1上靠近点C的三等分点， 得=++=++， 即=t=t+t+， 由N为AM与平面BDA1的交点， 则N，B，D，A1四点共面， 则t+t+=1，所以t=. 7.(多选)下列命题中为真命题的有(　　) A.若p=xa+yb(x，y∈R)，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p=xa+yb(x，y∈R) C.若=x+y(x，y∈R)，则M，P，A，B四点共面 D.若M，P，A，B四点共面，则=x+y(x，y∈R) 答案　AC 解析　由空间向量的共面定理可知，A和C是真命题； 对于B，当a与b共线，且p与a，b不共线时，满足p与a，b共面，但不存在x，y∈R，使p=xa+yb成立，故B是假命题； 对于D，当M，A，B三点共线且P与M，A，B不共线时，满足M，P，A，B四点共面，但不存在x，y∈R，使=x+y成立，故D是假命题. 8.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，且A，B，D三点共线，则k=　　　　. 答案　-8 解析　由已知得=- =(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R， 使得=λ. ∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2， ∵e1，e2不共线， ∴∴k=-8. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在对角线D1B上，且D1E=EB，点F在棱D1C1上，若A，E，F三点共线，则=　　　　　　　. 答案　 解析　因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=+=+， 设D1F=λFC1(λ∈R)，又D1E=EB， 所以4=+，即=+， 因为A，E，F三点共线，所以+=1，解得λ=，即=. 10.(13分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 证明　令=a，=b，=c. 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， 所以=-=b-a， =+=a+c， =++=-a+b+c. 设=λ+μ， 则-a+b+c=λ+μ =(μ-λ)a+λb+μc， 所以解得 所以=2+， 所以向量，，共面. 又向量，，过同一点M， 所以M，N，P，Q四点共面. 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有=+7+6-4，那么点M必(　　) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 答案　C 解析　=+7+6-4 =++6-4 =++6-4 =+6(-)-4(-) =11-6-4，又11-6-4=1， 于是M，B，A1，D1四点共面， 所以点M必在平面BA1D1内. 12.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间中一点，且满足=λ+μ，λ，μ∈，则(　　) A.当λ=1时，点P在棱BB1上 B.当μ=1时，点P在棱B1C1上 C.当λ+μ=1时，点P在线段B1C上 D.当λ=μ时，点P在线段BC1上 答案　BCD 解析　当λ=1时，=+μ，即-=μ，所以=μ，则∥，又μ∈[0，1]，故点P在棱CC1上，故A错误； 同理当μ=1时，∥，故点P在棱B1C1上，故B正确； 当λ+μ=1时，μ=1-λ，所以=λ+，即=λ，又λ∈[0，1]，，有公共点B，所以点P在线段B1C上，故C正确； 当λ=μ时，=λ=λ，又λ∈[0，1]，，有公共点B，故点P在线段BC1上，故D正确. 13.已知向量a，b，c不共面，则使向量m=2a-b，n=b+c，p=xa+5b+3c共面的实数x等于(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.4 答案　A 解析　因为m，n，p共面，所以存在实数s，t，使得p=sm+tn=s(2a-b)+t(b+c)=2sa+(t-s)b+tc=xa+5b+3c， 所以解得 14.(15分)如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA=1∶3.求证：B，G，N三点共线. 证明　取CD的中点E，连接AE，BE(图略)， 因为M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心， 所以点M在BE上，点N在AE上， 设=a，=b，=c， 因为M为△BCD的重心， 所以=+=+×+) =++) =+-+-) =++)=(a+b+c). 因为GM∶GA=1∶3， 所以==(a+b+c)， 所以=+=-a+(a+b+c)=-a+b+c， 同理得=+=++)=-a+b+c=， 所以∥， 又BN与BG有公共点B，所以B，G，N三点共线. 15.如图，点O是棱长为2的正四面体PABC底面ABC的中心，过点O的直线交棱AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线交于点Q，与棱PB的延长线交于点R，则++=　　　　　　. 答案　 解析　=+=++)=+-+-) =++)=·+·+·； 因为O，S，Q，R四点共面，故++=1，又||=||=||=2，即++=. 16.已知三棱锥P-ABC的体积为15，M是空间中一点，=-++，则三棱锥A-MBC的体积是　　　　. 答案　9 解析　方法一　因为=-++， 则15=-+3+4， 即15=--+3+3 +4+4， 即9=-+3+4， 所以=-++， 因为-++=1， 则在平面ABC内存在一点D， 使得=-++成立， 即=，所以=， 即=，则=， 又三棱锥P-ABC的体积为15， 则VA-MBC=VP-ABC=×15=9. 方法二　延长PM交平面ABC于点D(图略)，则可设=λ(λ≠0)， 所以λ=-++(λ≠0)， 所以=-++， 又因为A，B，C，D四点共面， 所以-++=1， 解得λ=，所以=， 所以=， 又三棱锥P-ABC的体积为15， 所以VA-MBC=VP-ABC=×15=9. . 学科网（北京）股份有限公司 $