1.1.1 空间向量及其线性运算(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 1.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( ) A. B. C. D. 2.如图，在三棱锥中，设，，.若，，则( ) A. B. C. D. 3.下面关于空间向量的说法正确的是( ) A.若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B.若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C.若A，B，C，D四点不共面，则，不共面 D.若A，B，C，D四点不共面，则，，不共面 4.已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是( ) A.O，P，Q B.P，Q，R C.O，Q，R D.O，P，R 5.如图，M是三棱锥的底面的重心.若，，y，则的值为( ) A.1 B. C. D. 6.在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则( ) A. B. C. D. 7.（多选）在平行六面体中，记，，，设，则下列结论中正确的是( ) A.若点P在直线上，则 B.若点P在直线上，则 C.若点P在平面内，则 D.若点P在平面内，则 8.（多选）已知正方体的棱长为1，点P满足，，，（P，B，D，四点不重合），则下列说法正确的是( ) A.当时，的最小值是1 B.当，时，平面 C.当，时，平面平面 D.当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为 9.对于空间中的非零向量，，，有下列各式： ①； ② ③； ④. 其中一定不成立的是_________.（填序号） 10.在四面体OABC中，，，，平面FAB，平面DBC，平面EAC交于点P，则向量用，，表示为______. 11.如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为__________. 12.已知四面体ABCD. （1）若该四面体为正四面体，球O与其四个面都相切，证明：该四面体与球O的体积之比等于它们的表面积之比. （2）设点G满足，过点G的平面分别与直线AB，AC，AD交于点P，Q，R，且，，，证明：. （3）若空间内一点H满足（a，b，c，d均为实数，且全不为0），证明：. 答案以及解析 1.答案：C 解析：空间中的四点M，A，B，C共面，只需满足，且即可. 对于A，，故M，A，B，C四点不共面； 对于B，，故M，A，B，C四点不共面； 对于C，原式可变形为， 即，，故M，A，B，C四点共面； 对于D，原式可变形为，， 故M，A，B，C四点不共面.选C. 2.答案：A 解析：如图，连接，， 则 .故选A. 3.答案：D 解析：对A：若非零向量a，b平行，则a，b所在直线可能平行，也可能重合，若其中一个向量为零向量，则a，b所在直线位置关系不确定，故错误；对B：若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b可以通过平移从而共面，故错误；对C：若A，B，C，D四点不共面，则，可以通过平移从而共面，故错误；对D：若A，B，C，D四点不共面，则，，可以两两共面，但是三个向量无法共面，故正确.故选D. 4.答案：D 解析：若，则存在唯一实数使得，即， 所以无解，所以，不共线，则O，P，Q三点不共线； 若，则存在唯一实数使得，即， 所以无解，所以，不共线，则P，Q，R三点不共线； ，若，则存在唯一实数使得，即，所以无解，所以，不共线，则O，Q，R三点不共线；，所以，又点P为两向量的公共点，所以O，P，R三点共线.故选D. 5.答案：C 解析：如图，连接，并延长交于D. 是三棱锥的底面的重心，为线段的中点，且，是三棱锥的底面的重心，为线段的中点，且，，. ，y，，，，. 6.答案：A 解析：连接如图，设中点为R，，连接，由P，R，C，Q，S，G共面可知，与平面的交点即与的交点D. 因为，，，设，， 则，设，， 则，故，故，解得，代入可得，即.由重心性质可得，设，， 又，， 则，故，解得. 故，故. 故选：A. 7.答案：BCD 解析：如图，在平行六面体中，若点P在直线上，则，则，由三点共线，得，A错误；若点P在直线上，则，，由， ，得，B正确；若点P在平面内，则四点共面，由，得，C正确；若点P在平面内，则P，B，D，四点共面，即，则，由，得，D正确. 8.答案：BCD 解析：当时，， 则， 可得， 则，可知点P在平面内，如图①所示. 设点A到平面的距离为d，由题可知， 由可得，解得， 所以的最小值是，故A错误. 当，时，，可得， 则，由正方体的性质可知，，且， 即，则，可知点P在直线上，直线即为直线，如图②所示. 因为，平面，平面，所以平面，即平面，故B正确. 当，时，连接， ，取的中点M， 可得，可知点P即为点M. 因为平面，平面ABCD，所以， 设，连接，，，如图③， 由图③可知，，，平面，所以平面. 因为平面，所以，同理可得， 且，，平面，所以平面. 又因为O，P分别为，的中点，所以，所以平面. 因为平面，所以平面平面，故C正确. 当，时，，可知点P在平面内， 如图④所示，因为平面平面，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成的角， 因为平面，所以直线与平面所成的角为，可得. 又因为，即，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，可知的最小值为， 则的最大值为，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确. 故选BCD. 9.答案：② 解析：根据空间向量的加、减运算法则可知，对于①，恒成立； 对于③，当，，方向相同时，有； 对于④，当，方向相同且与，方向相反时，有. 只有②一定不成立. 10.答案： 解析：设.由，点P是平面FAB内一点，得，且①；由，点P是平面DBC内一点，得，且②；由，点P是平面EAC内一点，得，且③.由①②③，解得，，，所以. 11.答案：1 解析：因为，所以.因为，，，所以.因为M，D，E，F四点共面，所以，所以.因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1.故答案为1. 12.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 解析：（1）设正四面体ABCD的棱长为a，其内切球的半径为r，如图1，过点A作底面BCD于点F，则F为的中心，连接DF并延长交BC于点M，连接AM，故，， 所以， 故正四面体的体积为， 又，所以， 故内切球的体积为， 故， 设正四面体与球O的表面积分别为，， 则，因此. （2）如图2，由， 可得， 解得， 由G，P，Q，R四点共面，点A不在平面PRQ内， 可得， 又，，， 所以， 因此，结合， 故，即. （3）假设，则， 代入， 可得，即. 又，，不共面，所以， 从而，这与a，b，c，d全不为0矛盾，所以. 由， 得， 即， 如图3，设平面ABC的单位法向量为n， 则， 故，从而， 设点H，D到平面ABC的距离分别为h，，则，， 所以， 两边同乘得， 即，即， 同理可得，，， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $