3.3.1 抛物线及其标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

109 3.3 抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程以及参数p的几何意义： 数学抽象、直观想象 2.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题. 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 世界上跨度最大的拱形桥一上海卢浦大桥，喷泉，彩虹等都给我们呈现 平面内与一个定点F 和一条定直线1(l不 出抛物线的形状，数学中，满足什么条件的曲线才是抛物线呢？ 经过点F)的距离相等 的点、的轨迹叫做勉 物线 [知识点反思1] (1)“一动三定”：一 动点M;一定点F(即 [提示] 焦点)，一定直线1 (即准线)，一定值1 ●新知初探 (即动，点M到定点、F 知识点一抛物线的定义 的距离与到定直线( 的距离之比为1). 平面内与一个定点F和一条定直线(1不经过点F)的距离 的 (2)若点F在直线1 点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 直线1叫做抛物线 上，则到定点F和定 的 ●[知识点反思1] 直线1距离相等的点 的轨迹是过点F且垂 知识点二 抛物线的标准方程 直于直线l的直线. [知识点反思2] 图形 米并华未 (1)p的几何意义是焦 点到准线的距离。 (2)抛物线的结构特 标准 征：焦点在坐标轴 上，准线与焦点所在 方程 的坐标轴垂直，坐标 原点与焦点的距离等 焦点 坐标 号0 -50 0号 0,-号 于其到准线的距离. (3)抛物线的开口方 准线 向：抛物线的开口方 方程 x=号 y=-号 =号 向取决于标准方程中 一次项变量(x或y) [知识点反思2] 及其系数的正负 110 知识点三 抛物线的焦半径公式 [知识点反思3] (1)由焦半径公式 图形 1MF1=o+?可知 2 M(xo-Yo) IMFI的最小值为 y2=-2px 此时M在顶点. 方程 y=2px x2=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) (2)焦半径的夹角形 式：倾斜角为α的直 焦半径 线AB过抛物线y2= (IMFI) +2 ~。+2 %+E -Yo+ 2 2x(p>0)的焦点，则 IAFI=1-a BF [知识点反思3] =1+cos a 自预习自测 1.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线 2下列关于抛物线C:=-之的说法正确的是 4开口向下，雅线方程为y=号 R开口向左，准线方程为x=日 C开口向下，准线方程为y:一日 D.开口向左，准线方程为x=-。 8 题型探究 提技能 题型一 抛物线的定义及标准方程 [方法总结1] 1.求抛物线的标准方 例1.(1过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为 ( 程一般采用待定系数 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 法，即先定位（确定 (2)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： 抛物线的开口方 ①过点(-3,2). 向)，再定量（确定参 ②焦点在直线x-2y-4=0上. >[方法总结1] 数p的值).其中“定 位”很关键，一般结 合图形确定方程形 式，避免漏解 2.若仅知道焦点在x 轴上，可设抛物线的 标准方程为y2=mx (m≠0)；若仅知道焦 点在y轴上，可设抛 物线的标准方程为 x2=my(m≠0). ●111 )》跟踪训练1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a≠0). [方法总结2] (1)根据抛物线的定 义，可以用抛物线上 一个点的坐标x(或 题型二 抛物线定义的应用 者。)直接求得焦 例2(I)已知抛物线C:=x的焦点为F,4(6)是C上一点，MF1: 半径. (2）根据抛物线的定 4,则x等于 义，抛物线上任意一 A.1 B.2 C.4 D.8 点到焦点的距离等于 它到准线的距离，因 (2)点A(3,2)为定点，点F是抛物线y=4x的焦点，点P在抛物线 此，由抛物线定义可 y2=4x上移动，则当IPA|+1PF1取得最小值时，点P的坐标是 以实现点、点、距与点线 ●[方法总结2] 距的相互转化，从而 简化某些求最值的 〉跟踪训练2 问题. (1)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点P是抛物线C上一点，若1PF1= 5,则点P的横坐标是 () A.-4 B.1 C.4 D.-4或4 (2)已知点P是抛物线y=2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离 与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为 ( B.2 C.5 112 题型三 抛物线的实际应用问题 例3苏州市“东方之门是由两标超高层建筑组成 的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲 线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图， 已知ICD|=30m,1AB1=60m,点D到直线AB 的距离为150m,建立适当坐标系，求“门”的内 [方法总结3] 解抛物线实际应用问 侧曲线所在的抛物线方程，并求抛物线顶端O 图1 图2 题的五个步骤 到AB的距离. P[方法总结3] 建系 建立适当的坐标系 假设 设出合适的灿物线标 准方程 计算 通过计算求出抛物线 的标准方程 求解 求出需要求出的量 还原 还原到实际问题中 从而解决实际问题 〉跟踪训练3 有一个隧道内设双行线公路，其截面由一矩形和一抛物线构成，示意图及 相关数据如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道 顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m,若行车道总宽度为7.2m,则 车辆通过隧道时的限制高度为 m 2.4 m A 5.6m3.6m, 9.6m 随堂检测 重反馈 1抛物线y=8的准线方程是 ( 1 A.x=32 B.x=2 1 C.y=2 D.y=4 2.已知抛物线y=2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为 () A.(1,0) c.(o. D.(0,1)》 113 3.(多选)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程可以为 A.y=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 4.如图是抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽 米 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[32] 3.3.2抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解抛物线的简单几何性质！ 数学抽象 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题， 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 抛物线旋转形成的抛物面在生活中有着广泛的应用， 主要是利用它的物理特性与几何特征.本节课类比用 方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，从图 形、范围、对称性、顶点、焦点、离心率等多方面来研究 抛物线的几何性质， e新知初探 知识点一 抛物线的简单几何性质 标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)》 [知识点反思1] (1)抛物线与双曲线 不同，抛物线没有渐 图形 近线. (2)抛物线只有一条 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴、一个顶点、 一个焦点、一条准线 对称轴 轴 轴 轴 轴 (3)所有抛物线的离 焦点坐标 r50 F-5,0 0号 r0,-号 心奉均为1；焦点到 准线的距离为P 准线方程 号 顶点坐标 0(0,0) 离心率 e=1 [知识点反思1]题型探究提技能 例1：【解析】(1)由题意作出花瓶 上半部分轴截面，并建立平面直 角坐标系，如图： 设双曲线的方程为： 2 0 =1, A a 6 (a>0,b>0). 由题意，瓶口直径为40cm,最小 瓶口直径为A1A2=20, 所以a=10,M(20,20) 故00_400=1，解得62=400， 100b2 3 所以双曲线这部分的方程为040=10≤1x1≤20) 3 (2)c2=100+400=3,所以c=1021 3 3 ,所以e=2红 31 跟踪训练1：B 22 4 =1,=4.6=2.A不符合题意：子 x2 4 1 3 3 =1,b=1,6=1,B符合题意：买- 4-4 =1,实轴在x轴上，C 3 不符合题意： -y2=1,实轴在x轴上，D不符合题意.故 3 选B. 例2：【解析】由=x-1:得(1-2)2+2-2=0. 1x2-y2=1 由题意知该方程有两个不同实根， 故-0， 14=(2k)2-4(1-2)×(-2)>0 k2≠1，. “公2”-5<<万且k≠±1，缘上，k的取值范国为 (-2,-1)U(-1,1)U(1,2). 跟踪训练2：D将y=+2代人x2-y2=6,得(1-2)x2-4hx (4=16k2+40(1-2)>0, 4k -10=0,则5+61二F>0, 解得至<- -10 5-R>0, 例3：【解析】（1)因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程 为号若=1a>0,6>0. 由题意得2c=4,所以c=2,① 又双曲线C的一条渐近线为y= 3, 又a2+b2=c2,③ 联立上接式子解得a=5,6=1,故所求方程为号-2=1 (2)设A(1y1),B(22), [=2x-1, 联立 参理得子+3x-6=0, 3-=1, 由4=3-4××(-6)=15>0，所以+5=-12,5=-24， 2 即AB1=+R·属+-4西=√+（兮）· (-12)2-4×(-24)=105. 跟踪训练3：【解析】(1)因为双曲线C与双曲线：-之=1有 相同的渐近线， 所以可设英方程为2-号=AA0), 将，点(2,0)的坐标代入得入=4，则所求 双准线的不准方系为号-古 =1. (2)设A(x1,y1),B(x2),因为AB的 中点为M(3,3),则x1+x2=6,y1+y2 =6. 48 48 所以g（0+)0-)=子4+)x- 即gx6×(-⅓)=子×6x(西-)，测g(-) 子(-)，所以二空=2， x1-x2 所以直线AB的方程为y-3=2(x-3),即2x-y-3=0 当直线为2x-y-3=0时，联立491与 [2x-y-3=0, 得2x2-12x+17=0,4=122-4×2×17>0,符合题意， 故直线AB的方程为2x-y-3=0. 随堂检测重反馈 1.B直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切 （直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直 线与双曲线一定有唯一交点 2.C将y=x-1代人2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦 的中点的横坐标为产=号。-1，纵4坐标为-1-1=-2 3.2由通径公式得 6_2×3=2. 3 4.43由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y= ±√3x,把x=2代入渐近线方程，得y=±25，故1AB1=45. 3.3 抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 相等焦点准线 知识点二 y2=2px(p>0）y2=-2px(p>0）x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 预习自测 1.B动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相 等，而点(3,0)不在直线x=-3上，所以动点P的轨迹是以点 (3,0)到直线x=-3的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物 线.故选B. 2A抛物线2=-7，的开口向下，准线方程为y=令故 选A 题型探究提技能 例1：(1)D(2)见解析(1)如图，点P到点 A的距离IPAI等于点P到y轴的距离IPB1, 故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物 B 线上，故点P的轨迹为抛物线. (2)①设所求的抛物线方程为y2=-2px或 x2=2y(p>0), 2或P 由过点(-3,2)知4=-2印×(-3)或9=2p×2,得p= 故所求的抛物线方程为少=-子或父=号 ②令x=0,得y=-2;令y=0,得x=4. 故抛物线的焦点为(4,0)或(0，-2). 当焦点为(4,0)时，号=4，故p=8, 此时抛物线的方程为y2=16x: 当焦点为(0，-2)时，号=2，故p=4, 此时抛物线的方程为x2=-8y 从而所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-8y. 跟踪训练1：（解折】(1）因为刀=7，所以焦点坐标是（子，0， 准线方根是：=子 (2)将抛物线的方程化为标准形式为=子，因此刀=了， 所以盒点坐标是(0,0），准线方程是y=一0 (3)当a>0时，2印=a,p=2, 焦点为F(朵，0)，准线方程为x=-子 当a<0时，y=-(-a)x 2p=-a,p=-受，焦点为F(子0）小 准线方程为x=一4 a 综上，抛物线的焦点坐标为F(行，0），准线方程为x=-异 例：(1)A(2)(1,2)(1)由题意，知抛物线的准线方程为x =-本因为1A1=子o,根据抛物线的定义，得0+4= MF1=手o,所以=1. (2)准线方程为x=-1,设点P到准线的距离为d,则IPAI+ IPFI=IPAI+d.当过A点的直线与准线垂直时，IPAI+ 1PF1取得最小值，易得点P的坐标为(1,2). 跟踪训练2：(1)D（2)A(1)由题意得p=2,设P(xo,o),则 由抛物线C的焦半径公式得1PF1=%+号=6+1=5，得。 =4,所以x6=4y。=16,即x0=±4. 23 (2)如图，由抛物线定义知IPAI+1PQ1= IPAI+IPFI,则所求距离之和的最小值转 化为求IPAI+IPFI的最小值，则当A,P,F 三点共线且P在A,F中间时，IPAI+IPFI 取得最小值又A(0,2),F(分，0）， (P1+IP)=M=√(0-) +(2-0)2=7 例3：【解析】以O为坐标原点，建立如图所示的 平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x2=-2py(p>0), 由题意设D(15,h),h<0,B(30,h-150), 图四仁器 所以抛物线的方程为x2=-4.5y, 抛物线顶端0到AB的距离为50+150= 200(m). 跟踪训练3：3.8由题意，如图建系，则E(-48,A -4.8),F(4.8,-4.8),D(-4.8,-7.2), C(4.8,-7.2),设抛物线方程为 y=a2,将E代人，可得-4.8=a· (-48)尸，求得a=8=齐放抛 1 E 物线方程为y=引，将x=3.6代人 抛物线方程，可得y=-4×(3.6)2=-2.7,7.2-0.7-2.7 =3.8. 随堂检测重反馈 .C将y=8子化为标准方程x=-8y,由此可知准线方程 为y=2. 2.C由抛物线y=2px过点(1,4)，可得p=2,∴.抛物线的标准 方程为2=女则熊点坐标为(0，石) 3.AC若抛物线的焦点在x轴上，因为抛物线经过点P(4, -2),可设抛物线的方程为y2=2x(p>0),所以(-2)2=2p ×4,解得P=),所以抛物线的方程为)=x若抛物线的焦 点在y轴上，因为抛物线经过点P(4,-2),可设抛物线的方 程为x2=-2(p>0),所以42=-2p×(-2),解得p=4,所 以抛物线的方程为x=-8y. 4.26建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则 点(2，-2)在抛物线上，代人可得p=1,所 以抛物线的方程为x2=-2y,水位下降1 米后，y=-3,代人得x2=6,所以此时水 面宽为26米. 3.3.2抛物线的简单几何性质 第1课时抛物线的简单几何性质 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 xx yy 知识点二 1.p-x1-2y+y3+pp-y-y2 2.2p 3