第三章 圆锥曲线的方程全章27大题型（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

学科网·上好课 第三章 目常考题型精准突破 题型1圆锥曲线定义的应用 题型2圆锥曲线的方程 题型3椭圆与双曲线的焦点三角形问题 题型4和差最值问题 题型5双曲线的浙近线 题型6方程表示曲线求取值范围 题型7圆锥曲线上的点到定点距离问题 题型8轨迹方程问题 题型9圆锥曲线的几何性质 题型10离心率 题型11离心率的取值范围 题型12直线与圆锥曲线的位置关系 题型13弦长问题 题型14面积问题 题型15中点弦问题 题型16定值定点问题 题型17解答题中的弦长 题型18解答题中的面积 题型19解答题中的定点 题型20解答题中的定值 题型21解答题中的定直线 题型22解答题中的斜率 题型23解答题中的共线 题型24解答题中的角度 题型25解答题中的切线 vw.zxxk.com 上好每一堂课 圆锥曲线的方程 内容概览 1/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型26解答题中的内切圆 题型27解答题中的共圆 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1圆锥曲线定义的应用 1.(25-26高二陕西咸阳期末)已知两定点M-5,0,N5,0,动点A满足AM+AN=12,则点A的轨迹 是() A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 2.(25-26高二上云南文山州马关县第一中学校月考)已知A0,-5,B0,5引，动点P满足PA-PB=6, 则点P的轨迹是() A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.射线 3.精圆+兰=1的左、右底点分别为F,F友P在精圆上.若Pr4,则Pr 167 4.(25-26高二·陕西渭南华阴·期末)已知椭圆 +上=1的左、右焦点分别是P,F,A是该椭圆上一点，侧则 65 AF+AF2= 5.(26-27高二上浙江Z20名校联盟)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,若C上的一点Q到直线x=-4的 距离为8，则QF= ◆题型2圆锥曲线的方程 1.若抛物线C的焦点F关于准线的对称点为-3,0，则C的标准方程为() A.y=4x B.y2=2x C.x2=4y D.x=2y x y2 2.已知双曲线C: ab =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线1：x十2y=0垂直，且C的焦点到1的距 离为5，则C的标准方程为() Ay B.大￥=1 x.y=1 4 3.阿基米德（公元前287年一公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家他利用“逼近 2/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴， 3 焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为2，面积为8m,则椭圆C的标准方程为(） x+y=1 B.34 X+=1 C.416 4.(25-26高二上江苏常州高级中学·期末)以双曲线169 义.义=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 () A.y2=47x B.y2=10x C.y2=20x D.y2=27x 5.(25-26高二山西太原期末)已知双曲线C以圆x2+y-4x=0的圆心为右焦点，其渐近线方程为 y=±3x,则双曲线C的标准方程为() A.X2.上=1 y B. -x=1 3 3 c.26 D. 62 ◆题型3椭圆与双曲线的焦点三角形 1.526商二下宁夏银川水宁中学已知P为椭园X+号=1上在意一点，F,F,是它的两个焦点，则 2 △F1PF2的周长是() A.1+2 B.1+9V/3 c.2+2V2 D.2+2V3 2,2526高下河南新乡部分学校期末已知F1,F2为双曲线C:6号=1的左、石焦点，点P在双曲线 右支上，且∠F1PF2=120°，则△PF1F2的周长为() A.9V3 B.3V3 c.4V7+10 D.9V3+10 3.已知F1,F2是双曲线C: 兰=1a>0,b>0的两个焦点，P%C上一点，且∠r,PF,=.若 a b2 8V3 △PFF,的面积是3，b=(） A.2V2 B.2V3 C.3 D.4 4.己知椭圆C 64+5=1的左右焦点分别为B,F2,P为椭圆上一点，若3PF=5PF,则△PF,E2 3/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的面积为 5.526商二上河北邢台尼知双圃线C:令兰-1b>0的左、右焦点分别为P,F,点P在双曲线C 8b2 的右支上，PQ是∠F1PF2的平分线，且F1Q⊥PQ,O为坐标原点，则OQ=() A.2V2 B.4 c.4V2 D.8 ◆题型4和差最值问题 1,2526高=下河北衡水第二中学)尼知双曲线C:士兰=1的右焦点为R,P为双曲线右支上一动点， 54 Q7,5,则PQ+PF的最小值为() A.5 B.3V5 C.5 D.10 2.已知F(2,0),点A在椭圆 +上=1止，点B在双曲线. 95 =1上，则△ABF周长的最小值是() 3 A.2 B.4 C.6 D.8 3.526高二上江西魔田家柄中学期末利尼知F,是柄圆C:。+兰=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点， 95 点Q4,3,则PF1+PQ的最大值是( A.6+V10 B.6+23 c.6+V13 D.9 4.已知椭圆C: 的左、有两个焦点分别为P、P,P是C上的动点： E:x2+y2-4x-8y+19=0上任意点，则PQ-PF2的最小值为() A.4-49V2 B.5-4V2 c.4-2V2 D.4+2V2 5.(25-26高二福建福州第三中学.期中)已知抛物线C:y2=16x上任意一点P,定点A(6,2,若点M是圆 (x-4)2+y=4上的动点，则PA+PM的最小值为() A.12 B.10 C.8 D.6 ◆题型5双曲线的渐近线 1.(25-26高二下，内蒙古呼和浩特中央民族大学附属中学呼和浩特分校期末)已知圆C:x2+y-4y+1=0 x2 y2 与双曲线76 =1a>0,b>0的渐近线相切，则双曲线的离心率为() 2V3 3 B.2 c.3 D.3 4/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之.526商=下安撒州部分收期未已知双前酸号苦-1a>0的一条都还做与声我4+y-4=0直 则a的值为() 1 A.2 B.1 c.8 D.16 3.(25-26高二下·云南文山州马关县第一中学校月考)已知双曲线C:2x2-y2=1,其一条渐近线被圆 x-2?+y=8截得的弦长为() 8V3 26 A. 3 B. 3 c.V3 D.2V2 4,25:26商二下重庆西南大学附属中学校期中)尼知M是双由线C:首-y=1的图象上一点，且M位于第 一象限过M向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A,B,若MA+MB=2,则AB=() 7 7 13 V13 A.2 B.4 C.4 D. 2 5.2526有下西k长治部分学花已热双首线C:音芳=1a>0,b~0怕距为8，且C的南线与园 (x-4)2+y=4相切，则C的方程为 ◆题型6方程表示曲线求取值范围 x2 1.己知方程3-m+m+1 1表示焦点在y拍上的椭圆，则m+m的最小值是《) 9 11 A.4 B.5 C.2 D.6 2.若方程3+k2 :=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为() A.（-0,-3) B.(2,+∞ D. 3 3.(25-26高二上云南保山第八中学等校期末)“m>2"是“方程 m+1m-2 =1表示双曲线”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 +y2 4.(2526高二上湖南桃州期末已知方程2+m+1-m =1表示双曲线，则m的取值范围为() A.(-∞，-2U(1,+∞) B.（-2,-1 c.（-2,1)D. 5/31 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-0,-2)U(-1,+0∞) 5.56商上清新孝整期已安效的方程为片-1者白发C夹示前是双自院，则的限 x2 值范围() A.1<m<2 B.m<1 c.m>2 D.m<1或m>2 ◆题型7圆锥曲线上的点到定点距离问题 Q.526高上都分校月考已知骑圆C6+之1，则该稀圆上的点到F2,0的距※的最剂 值为() A.2 B.4 c.2V2 D.2V2-2 2.(25-26高二上·福建福州九师联盟期中)已知椭圆G: 6+5-1(0<b<6)的两个焦点分别为E,F, 短轴的两个端点分别为B,B2,O为坐标原点，点P在椭圆G上，且满足PB1+PB,=PF+PF2.当b 变化时，OP的最小值为() A.2 B.5 c.6 D.4 3.2526高=上辽宁沈阴五校协作体期中1尼知点P是椭圆C:+二=1上的一个动点，F1,F,分别是C 167 的左、右焦点，则Cos∠FPF2的最小值为() 97 1 V7 A.-4 B.8 D.4 4.25:26高二上湖南长沙长那中学期申已知双曲线。6=1Q>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，若 PEP 的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是() PF, A.3,+o B.1,2 c.(1,3 D.1,3 5.(24-25高二上江西南昌江西师范大学附属中学.期中)若2x-1=(x-22+y乙，则x2+y2的最小值为 () A.1 B.2 C.4 D.4 ◆题型8轨迹方程问题 6/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.已知△ABC中，A=60°，△ABC的面积为33，P为BC中点，则点P的轨迹为()的一部分. A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.在平面直角丝标系中，己知点F,F,分别为椭圆C:+y=1的左，右焦点，P为椭圆C上的点，过R, 4 作角F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点H,则点H的轨迹长度为() A.4π B.3π C.2π D.π 3.折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸 活动蕴含丰富的数学内容，例如：用半径为4的圆形纸片，圆心为F,在圆内取一定点E,且EF=2把纸 片对折，使圆周正好通过点E,此时圆周上与点E重合的点记为G;展开纸片后留下折痕，GF与折痕交于 点P.不断重复此过程，得到动点P的轨迹为曲线T.以线段EF的中点O为原点，EF所在直线为X轴建立平 面直角坐标系.已知点M0,3在曲线T上，过点M作两条斜率之积为-1的直线，分别交曲线T于A,B两 点，则直线AB恒过的定点坐标为() 3 B. 0, c.0,-3 D. 0, 7 3 4.(25-26高二上湖北孝感期末)已知圆F:(x-1+y2= 一动圆P与直线X= 2相切且与圆F外切，动 圆圆心P的轨迹为T.M为T上一动点，E3,1为定点，则下列结论正确的是() A.准线l的方程是X=-2 B.ME+MF的最小值为3 C.A,B为曲线T上的两点，点E为线段AB的中点，则AB所在的直线方程为x-2y-10=0 D.以线段MF为直径的圆与y轴相切 5.2526高三上东中山第一中学已知椭圆G:。+名10<b<6的两个焦点分别为P和F2,每轴 的两个端点分别为B和B2,点P在椭圆G上，且满足PB,+PB,=PF1+PF2,当b变化时，给出下 列三个命题： ①点P的轨迹关于y轴对称： ②对任意的b∈0，V6使得椭圆G上满足条件的点P都有4个： ③OP最小值为2 其中，所有正确命题的序号是 ◆题型9圆锥曲线的几何性质 7/31 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2627高上河南南阳方城县第一高级中学考椭圆X+上=1的焦距是2，则实数m的俏为（ m 4 A.5 B.5 C.3 D.3或5 2.526高=下陕西商洛期末椭圆+上=1的短轴长为() 84 A.4V2 B.4 c.2 D.2V2 3.(26-27高二上湖南邵阳)双曲线3x2-y2=1的两条渐近线的夹角为() π A:6 B.4 C.3 x2 y2 4、24-25高二上淘南株洲第=中学期末已知双曲线。=1Q>0,b>0的离心率小于2，其左、右焦 点分别为F1,F2,点Q是双曲线右支上一点，若QF2=2a,且焦点三角形△QFF2的最大内角与最小 2π 内角之和为3， 则双曲线的渐近线方程为() 2 A.y=±2 B.y=±V2x C.y=±5x D.y=±2x 5.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,直线y=kx- 与抛物线C交于点A,B,AB=3,x 轴上一点P满足PA=PB=3,则p的值为() A.2 B.1 C. 3 D.2 ◆题型10离心率 1.2526高三下安徽宿州期末)已知双曲线C:X.上 a2 b2 =1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,以 F,F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P,若2PF,=3引PF2,则双曲线C的离心率为() 12 A.5 13 14 B.5 C.5 D.3 2,设E.F是椭圆文+之10<b<2的左、石焦点，过F的直线交椭圆于A,B两点，老 AF2+BF2最大值为6，则椭圆的离心率为(). 2 A.2 B.2 c5-1 3 2 0.2 3.已知椭圈C:兰+广-1a>b>0的左、右焦点分别是F,F2,点P是C上一点，直线PF的斜半为4， a b2 8131 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线PF的斜率为4，则C的离心率是(） V17 V15 V17 V15 A.5 B. 5 C.10 D.10 2526高二下河南信阳普通高中：期末已知椭圆C:父+之=1a≥b>0的左、右焦点分别为正， a2 b2 且F,为抛物线y=2xp>01的焦点.设抛物线与C在第一象限的交点为P,若PF1HPF,=号，则C的 离心率为() A.2 2 3 B.2 C.3 5.(25-26高二安徽宣城期末)已知F1,F2分别是双曲线C:1 61(a>0,b>0)的左、右焦点，点 P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,且∠F1PF2=60°，则C的离 心率为() 3 V A.2 B.3 C.2 D.7 ◆题型11离心率的取值范围 1.526高三下区宁该摇相未利活双效C:苦长-00的周系近线均与a0.收：了-专湘 交，则C的离心率的取值范围为() .13 4 C 3,+0 D.2,+o 一526高下西审点中学塑校闲在平面直角坐标系x0y冲，若椭圆C:名+卡1a>6>0 在两点A,B,使得OA⊥OB,且OA=3OB,则C的离心率的取值范围是 3.526高二下浙江缙云中学等校尼知点P在双曲线C:兰士=1(a>0,b>0)上，P到两渐近线的 a2 b2 距离为d,d,若dd,≤OP恒成立，则C的离心率的取值范围为 4.2526高三陕西成阳期末已东知双曲线C花多1Q≥0，b>0的左，右焦点分别为P1,F,过点E 且倾斜角为60°的直线！与双曲线C的右支有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围为 9131 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.25-26高三上河北石家庄精英中学调研已知双曲线C:之三1Q>0,b>0的左、右项点分别为 A,B,若双曲线C在第一象限内存在一点P,使得直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且满足 k1+k2=2k1k2,则双曲线C的离心率的取值范围为 ◆题型12直线与圆锥曲线的位置关系 线y=k+1与椭圆X+立=1总有公共点，则实数m的取有 m 2.(24-25高二上河南九师联盟)已知t∈R,若关于x的方程1-2x2=x+t有两个不相等的实数根，则t的 取值范围是() V26 A 2’2 B. 2 D.（-V2,V2 3.(25-26高二上浙江杭州五区期末)已知双曲线C: x y 33 =1,过点P4-2t,t有且仅有2条直线与双曲 线C有1个公共点，则实数t的取值范围是 2 x+y V2 4.已知椭圆C:言+台1(a>b>0)的长轴长为26，离心率为 (1)求椭圆C的方程： (2)若直线：y=x+m与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值. V3 5已知椭圆E:X+1a>b>0的两个焦点分别是E-1,0,FL,0,并且其离心率为3 (1)求椭圆E的标准方程： (2)若直线：y=心-2与椭圆E有两个公共点，求实数k的取值范围， ◆题型13弦长问题 1.25-26商二上四川成都石室天府中学期末已知⊙0：X2+y2=4,点P为椭圆r:父+ 54 =1的右焦点. 过点PV2,V2作⊙O的切线与椭圆「交于A、B两点，则△ABF的周长为( ) A.5 B.2V5 c.V10 D.5 2已知椭圆M:行+了1Q>0的一个焦点为P-L,0,经过点PF的直线与椭圆M交于A,B两点.当直一 线的斜率为1时，则线段AB的长为() 10/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 2 24 26 A.7 B.7 C.7 D.7 3.已知直线：mx-y+1=0与脑圆C:+y=1交于A,B洞点，则AB1的最大值为() 4 8V2 A.2 B. c.43 D.4 5 3 4.526商二下广西南宁第三中学尼知桶圆C:兰+兰=1(Q>b>0的无、右焦点分别为K,F,C上的 a2 b2 点E与C的上、下顶点连线的斜率之积为9·过点F的直线与C交于P,O两点（均异于左、右顶点）， 若2QF=PF1,则cos∠PFQ= 5.(25-26高二江苏南京金陵中学)已知椭圆 X+1a>6>0的左焦点为R,过P且不与坐标轴垂鱼 的直线1交椭圆于A,B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若AB≥3DF,则椭圆离心率的最大值 为 ◆题型14面积问题 1.己知椭圆C:2 1,直线与椭圆C相交于A,B两点，O为坐标原点，月OA1OB. 积的取值范围是 2.2叉6商薪昌吉州期阳图，椭肉。+的左、有焦点分别为，，过焦点的直线交 椭圆于A,B两点，若△ABF2的内切圆（圆心记为C)面积为，A,B两点的坐标分别为X1,y1,x2,y2, 则△ABF2的面积S=,y1y2的值为 入F2 2526高山西运城末已知双曲线C:X·1b>0的一条渐近线方程为x+3y=0, Pnxn,ynxn,yn∈N在双曲线C上，且数列xn递增，则x=,SAOP.P1= 4.(25-26高二上河南新乡、安阳部分学校，已知点010,0，A4,2,B2,-1,点P在双曲线C:￥y=1 11/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上，记△OAP的面积为S1,△OBP的面积为S2,则S1+S2的最小值为 5.(25-26高二上黑龙江哈尔滨第六中学期末)设抛物线焦点为F,准线与对称轴交于点E,过F的直线交 9V3 抛物线于A,B两点，对称轴上一点C满足CA=3B配，若△ACF的面积为4，则F到抛物线准线的距 离为 ◆题型15中点弦问题 226高上福建三明期末若直线：X-y+3=0被双曲线。左京1Q>0,b>0截得的线段4 横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为 2.(25-26高二上湖北十堰普通高中联合体月考)直线与双曲线x2-y=1相交于A,B两点，且线段AB的 中点为C2,1,则直线！的方程是· 3.526高二江苏锡山商级中学期末过点P1,1的直线与脑圆C:兰1交于A,B两点，若P为 43 AB中点，则直线的方程为 4.(25-26高二上山东烟台期末)已知直线经过点P 且与椭圆X+义=1交于A,B两点，若P为 43 线段AB的中点，则直线的方程为 5.已知抛物线C:x=2pyp>0,直线y=kx+2与抛物线相交于A,B两点，且AB的中点为M1,5,则 p= ◆题型16定点定值问题 1.(25-26高二下·云南师范大学附属中学期中)已知抛物线C1:x2=4y的焦点为圆C2:x2+y-1P=1的圆 心，过圆心C的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点A,B,C,D,则AB·CD的值是一 2.已知椭圆 +兰=1，直线y=(k≠0)与辅圆交于4，B两点，F1,F,分别为椭圆的左、右两个焦 95 点，直线AF2与椭圆交于另一个点D,则直线AD与BD的斜率乘积为() A.-9 5 B. V3 3 C.3 D.- 9 3.(2025高三9月四川省巴中市月考)已知椭圆方程为4+3=1(Q>b>0,，AB为过椭圆的左焦点F的 12/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 弦，则AF可F,B的值为（） 4.3 2 B.2 C.3 3 2 D. 4.已知双线C:兰兰=1a>0,b>0的来心率为号，焦距为6，过双面线C上一点P分别作双南线C的 b2 两条渐近线的垂线，垂足分别为M,N,则PMPN=() 14 20 A.3 B. 9 C.6 D.7 5.2526高三下河北邯郸期末已知双曲线C:。1Q>0,b>0的渐近线方程为y士 -X,A,B 6 分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设∠PBA=B,∠APB=Y,则Os2B+Y coSy B 2B+y=β+(B+y)=β+（π-a)=π+(B-a 因此 ◆题型17解答题中的弦长 ,椭C1a>b>0的左焦点-1,0和上顶点(0， (1)求椭圆C的方程； (2直线1：y=X+m与椭圆C交于A,B两点，若AB1=42 3 求m的值. 2.己知椭圆C1: +1，椭圆C:号+ 164 a+合=1a>b>0,C,在C,内部，且C,C,的离心率相同： 分别过椭圆C1的右顶点与上项点任作椭圆C2的一条切线41，↓2. (1)求椭圆C2的离心率； (2)求直线1,2的斜率之积的绝对值； (3)若b=1,直线l1过第二、四象限，过定点P的直线l与椭圆C1交于A,B两点，与l1交于D点.若 APBD=ADBP,求点P的坐标 3.已知稀图E:兰+长=1(o>b>0的左焦点为5，-1,01，离心率为 a b2 (1)求椭圆E的标准方程： 13/31 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过椭圆E右焦点F,1,0的直线1与椭圆E交于A,B两点，若AF2=2BF2,求直线1的方程. 4.已知抛物线C:y=2pxp>0与圆x2+y=7相交于A、B两点，且AB=2V6 (1)求抛物线C的方程： (2)若M、N是C上两点，且线段MN的中点为 33求a。 .2526商河北唐山期末已知点A1,A,分别是椭圆C:等+1Q>6>0的左、右顶点 A1A=4且C的离心率为2： (1)求C的方程： (2)若点P是C上与A1,A2不重合的点，直线A1P,A2P与直线x=4分别交于点G,H,求GH的最小值 ◆题型18解答题中的面积 1.(25-26高二下广东实验中学深圳学校期末)已知双曲线C: a=1a>0,b>0的左焦点为F-2,0. x2 y2 离心率为2. (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线1与C交于P,Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C 的另一个交点为R. (i)若△PQR的面积是△PFO的面积的6倍，求1的方程； (ii)求tan∠PQR的取值范围. 2.526高二下青林长春十一高中设描黑C:兰+关=1a>b>0的左、右焦点分别为5.F.已知 a2 b2 V2 M1,2 V2 在椭圆c上，且△MFF2的面积为2. 、F (1)求椭圆C的标准方程： (2)如图，过点M的直线I与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P,若∠PFM+∠PF1N=T 14/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)求P点的坐标： (i)求△MNF1的面积. ,2526高三广东潮州期末已知椭圆C:之+方=1(a>b>0经过点 其右焦点为F3,0, 左、右顶点分别为A1,A2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点P为椭圆C上任意一点（不与左、右顶点A1,A2重合），求证：直线PA1,PA2的斜率之积为 定值，并求出该定值； (3)若过点B-3,0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，求△A2PQ的面积的最大值. 4.(25-26高二下.内蒙古赤峰期末)已知曲线C上的动点Mx,y与点F1-只3,0，F2只3,0的距离的和等 于4 (1)求曲线C的标准方程； (2)直线l:y=kx+mk≠0与曲线C有唯一公共点P,过点P且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于点A,B, 9 其中O为坐标原点，若△OAB的面积为0， 求实数k的值. V2 5.2526高二新疆乌鲁木齐动点Mx,y与定点F1,0的距离和M到定直线x=2的距离的比是常数2， 设动点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (2)过点F作直线l与C交于A,B两点，线段AB的中点为D,O为坐标原点，直线OD与直线X=2相交于点 E. (i)若△BEF为等腰直角三角形，求的方程； (ⅱ)求四边形OAEB面积的最小值. ◆题型19解答题中的定点 1.(25-26高二下.四川凉山州期末)已知椭圆C: 答+守Q>6>0)的左、有焦点分别为、 点P是C上的点，且PF+Pr=4,离心李e=西 2 (1)求C的标准方程： (2)设M0,-2,N0,2. ①若点P位于第一象限，直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,求k1·k2的取值范围； 15/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②设直线l:x=my+n与C交于P,Q两点（不与M重合），若∠PMO=∠QMO(O为坐标原点)，试 判断直线是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由， 2.(25-26高二.安徽合肥庐江县期末)已知圆x+y2=17与抛物线C:y2=2pxp>0在x轴上方的交点为A, 与抛物线C的准线在x轴下方的交点为B,且点A,B关于直线y=-x对称. (1)求抛物线C的方程； (2)若点M,N是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且直线AM和AN的斜率之和为2，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标 526高下测南部分学校期末已知箱风C:名+丫1，F,F为左、有焦点，点P在C 1)当PF1⊥PF2时，求△PF1F2的面积： (2)在椭圆中有结论：以椭圆 +兰=1la>b>01上一点Px,为切点的切线方程是 xX+yoy=1」 a2 b2 b2 ①设过椭圆C的右焦点F2C,0的直线：x=my+c交C于A,B两点，以A,B为切点的切线l1,l2相交于 点Q,求点Q的纵坐标gm: ②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为a1,a2,得点Ma1,a2:过 点B且与切线l2垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为b1,b2,得点Nb1,b2.证明：直线MN过定点， 并求出定点坐标. 4526尚西南宁部分高中期E知腹G吝+芳1a>h之0的一个项点法0，焦距我 23. (1)求椭圆G的方程和离心率； (2)已知点Hm,0,m>0,与椭圆上的点的距离的最小值为1，求H点的坐标 4V3 (3)设F为椭圆G的右焦点，过点M 3 ,0的直线与椭圆G交于不同两点A,B(A,B异于椭圆的顶点)· 判断光线AF经过x轴反射后是否经过点B？说明理由， 5.(25-26高二下河南洛阳·期末)已知椭圆C: a+方l(a>b>0)的离心率e= 2,且椭圆C经过点 16/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q1,2 B (1)求椭圆C的方程： (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A,B两点(A,B均不与P重合)，直线PA与PB的斜率之 3 积为4，探究：直线1是否过定点？若是，求该定点坐标：若不是，请说明理由. ◆题型20解答题中的定值 1.(25-26高二下·海南海南中学期末)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为X轴，且过点Q1,2,过该抛物 线的焦点F且倾斜角为3的直线L,与抛物线相交于A、B两点. (1)求抛物线的标准方程和线段AB的长， 1 1 2求A+B丽的值. 包2526高下云南前陆良县期末已知P,P分别是椭圆C:。+发1Q>6>0的左、右焦点，D 是CL-点当PF上FF,时，PF=E,F=2 (1)求C的标准方程： (2)若P在第一象限，A,B是C上的两点，若直线PA,PB关于直线X=1对称，证明：直线AB的斜率为定 值 ,x2 3.2526高三下海南海南中学期末)如图，椭圆C0,三+反=1(Q>b>0,a,b为常数)，动圆 C1:x2+y2=t1,b<t1<a.点A1,A2分别为Co的左，右顶点，C1与C相交于A,B,C,D四点. 17/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A2 (1)若a=2,b=1,t1=3,求C与Co的四个交点的坐标. (2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程， 3)设动圆C2:x2+y2=t与Co相交于A,B,C,D四点，其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD与矩形 ABCD的面积相等，证明：t+t为定值 42526高东深圳龙K龙坡高级中学期未利已知双由线C冬1Q>0,6>0的一条渐近线倒 的方程为x-2y=0,C的右焦点F到直线I的距离为1，A1,0. (1)求C的方程： (2)已知C上的动点M,N关于X轴对称，直线AM与C交于另外一点P,证明：直线PN恒过定点： (3)设与C的渐近线不平行的两条直线1,12均与C相切，且交点为Dx,yox≠±2，当11,12的斜率之积 为时，判断是否存在定点B,使得DA+DB为定值？若存在，求出B点的坐标；若不存在，请说明理 由. 52s26高三广东深圳罗湖服期已知双曲线C:等片1Q>0,6>0的实轴长是虚轴长的2倍 焦距为2V5 (1)求C的标准方程： (2)设A,B是C上关于y轴对称的两点，P是C上异于A,B的一点，直线PA,PB的斜率均存在且不为 0,且分别与y轴交于M,N两点. (i)若A,B在X轴上，求MN的取值范围： (ii)设O为坐标原点，证明：OMON为定值. ◆题型21解答题中的定直线 1.25-26高二下重庆第一中学校期末)已知双曲线C: x2 y2 。方-1(a>0,b>0)的其中一条渐近线为 y=只2x,且点2，V2在双曲线上.F1、F2为双曲线的左、右焦点，A1、A2为双曲线的左、右顶点. 18/31 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求双曲线C的标准方程： (2)已知直线l1的斜率k=1,1与双曲线交于A、B两点，以线段AB为直径的圆过双曲线的右顶点A2,求直 线1的方程； (3)过点t,0的直线l2与双曲线的右支交于M、N两点，△F1MN的重心为G,判断重心G是否在定曲线上， 若在，求出该曲线的方程。 2.(25-26高二下陕西安康部分校期末)已知椭圆C: 丈+兰=1的左、右顶点分别为A,A,P是C上与 43 A1,A2不重合的一动点. (1)证明：直线A,P与A2P的斜率之积为定值； (2)直线A1P,A2P与直线x=4分别交于点G,H,求GH的最小值； 3)若不过点A1且斜率为的直线与C交于M,N两点，证明：△A1MN的外心在定直线上. 3伤25育三下河南台阳皆烂高中期末尼稀面C子芳-1a>60的电方29及.且指国上的方 到两个焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P1,0,过点P的动直线l与椭圆C交于M,N两点(M,N均 不同于A,B),直线AM与BN交于点Q,求证：点Q在定直线上，并求出该定直线的方程， 4.(25-26高二下广东广州大学附属中学.调研)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F2,0的距离与到直线l: x=5的距离之比为)，记点P的轨迹为曲线T. (1)求T的方程： (2)点M 过点O的直线l与T交于A,B两点. (i)当MOFO=AOBO时，求l的方程； (ⅱ)若直线l斜率不为0，且直线AM与过点B且垂直于l的直线交于点N,判断点N是否在定直线上，并 说明理由， 5.(25-26高二上广东中山第一中学.期末)已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为0,2V5,离心率为 V5.记C的上、下顶点分别为A1,A2,过点0,4的直线与C的上支交于M,N两点. (1)求C的方程： 2直线A,M和A,N的斜率分别记为k和k,求k+子k2的最小值： 3 19/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)直线A1M与A2N交于点P,证明：点P在定直线上 ◆题型22解容题中的斜率 12526高三下广东深圳龙岗区龙城高级中学期中已知椭圆C:之+方之=1a>b>0的左、右焦点分 别为F1,F2,点2，V2在椭圆上，且椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有且仅有2个. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l与椭圆C交于A,B两点(A在第一象限)，与x轴，y轴分别交于点M,N,且AM=2AN: 点A关于X轴的对称点为D,直线DN与椭圆的另一个交点为E k, (①记直线AN,DN的斜率分别为k1,k2,证明： 为定值： (i)求直线BE的斜率的最小值， 25-26高三下吉林长春东北师范大学附属中学期末已知双曲线℃：·方=1Q>0,b>0的右焦点为 3,0,渐近线方程为y=± -X. 2 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，与双曲线C交于A,B两点，且OA·OB≥4（其中O为坐标原 点)，求k的取值范围， 3,56商二费州货阳已知椭圆E:兰+兰=1o>b>0上顶点为B,左焦点为R,直线肝的解率为 a2 b2 2,且|BF=V5, (1)求椭圆E的方程： (2)过点TO,3且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点P,Q,直线BP,BQ分别与直线y=3交于点M,N, 当TM+TN≤10时，求k的取值范围. 4.(25-26高二下河南新乡.期末)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,M是C的准线与x轴的交点， P(1,t)是C上的一点，且IPF|=|MFl. (1)求C的方程： (2)已知O为坐标原点，过点F的直线l与C交于A,B两点，若G为△MAB的重心，求直线OG的斜率的最 大值。 526商下矿东深累校期宋已知椭圆E:爱十名1a>h>0过点-1，引，且离心率为 20/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求E的标准方程： (2)设E的左、右焦点分别为F1,F2,P为直线：x+y-3=0上的动点，斜率为k1的直线PF1与E交于A, B两点，斜率为k2的直线PF2与E交于C,D两点. )证明：k1k2+2k1-k2为定值： (im若PA|PB=|PCPD,求P的坐标. ◆题型23解答题中的共线 1.(25-26高二上山东烟台期末)平面直角坐标系x0y中，点P到点A(1,0)的距离比它到直线x=-2的距离 小1. (1)求点P的轨迹C的方程： (2)若E,F为直线X=-2上两点，且OE⊥OF,过点E,F依次作x轴的平行线分别交C于M,N两点，判 断：M,A,N三点是否共线？并说明理由 3 杭州杭州第二中学期村已知双商线北：士10>0，b>0过点2 a2 b2 23 心率e= 3 (1)求双曲线E的标准方程： (2)已知动点N 辽t 33 且t>1.过双曲线E的右焦点F的直线交E于A,B两点，直线AN交双曲线E于另一 点C,直线BN交双曲线E于另一点D,且AB‖CD (i)取G、H分别为AB,CD的中点，O为坐标原点证明：N、O、G、H四点共线： (i)记△ABN的面积为St,求St的最小值. 3.(24-25高二下.重庆拔尖强基联盟（西南大学附属中学校等）)已知在平面直角坐标系xOy内，点P到直 线m:x=2的距离是到点F1,0的距离的V2倍，设点P的轨迹为曲线C, (1)求曲线C的方程， (2)已知m上一动点T,过F且垂直于FT的直线l交曲线C于A、B两点，线段AB的中点为M ①证明O、M、T共线： ②若曲线C上存在点N,使得ON=λOM,且入∈3,3，求四边形AOBT面积的取值范围. 4.(24-25高二上河北沧州部分学校·月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(Xo,yo)在C上. (1)判断直线yoy=2(x+x,)与C的公共点个数： (2)若直线PF与C交于另外一点Q,直线QR与C的准线垂直，垂足为R,O为坐标原点，求证：点P, 21/31 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O,R共线 5.2324高=下广东深那期未利已知畅圆E:兰+广=1a>b>0的焦距为25，直线：y=:+1过点 a b 且与椭圆E相交于P,Q两点，M是线段PQ的中点，O为坐标原点. (1)求椭圆E的方程： (2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆E上，且AB/ICD,对角线AC和BD交于点M,线段AB,CD的中点分 别为G,H, ()证明：G,H,O,M四点共线： ()试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. ◆题型24解容题中的角度 。526高下河北N20名校联合体期闲已知双留线C:。左1>0，b>0的右焦点为F2.0,包 点F的直线l与双曲线C交于M,N两点，且MN的中点为3,1： (1)求双曲线C的方程： (2)过P(1,1向双曲线C作两条切线，切点分别为A,B. (i)证明：直线AB的方程为x-3y-3=0: (i)设F1为双曲线C的左焦点，证明：∠AF1P+∠BF,P=π 2之5高下重庆西南大学附属中学校期末如图，椭圆E:令十长三1Q之b>0]的左、右焦点分 为F1、F2,点A和点B是椭圆的左顶点和上顶点.从椭圆E上一点P向X轴作垂线，垂足恰好为右焦点F2, 且AB∥OP,AF1=2-V2 B (1)求椭圆E的方程： (2)直线l过椭圆E的右焦点F2,且与E相交于M、N两点， 22/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V6 ①若SAOMN= 2， 求直线的方程： ②在x轴上是否存在点Q,使得无论I如何变化，∠MQN被x轴平分，如果存在，求出Q点坐标；如果不存 在，请说明理由、 3.(25-26高二下四川成都)已知双曲线C: x y 京。=1a>0,b>0l的右焦点为F401,一条新近线为， y=V3x. (1)求C的方程： (2)设C的左顶点为A,点P在l上，且PA=PF. ①求△APF的外接圆的标准方程； ②设直线AP与C交于另一点B,求∠ABF的大小. 42526高三下广西梧州期末已知椭圆℃：Qb月 X+号=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,离心 1 率为，直线l过点F2且与C相交于A,B两点，若AB最小值为3. (1)求C的方程； 3 (2)若△AFF2的面积为)，求AF1·AF2: |F2A_5 3若F,B3 ,求COS∠AF1B. 5.(25-26高二下，云南文山州马关县第一中学校月考)已知椭圆C: +y=1a之b0)的离心率为} 3 且点1,2在C上，0为坐标原点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)过椭圆C右焦点F的直线！与椭圆交于A,B两点. (i)若点M的坐标为4,0，证明：∠OMA=∠OMB: (i)若AF=λFB,当入∈ 22时，求弦长AB的取值范围. ◆题型25解容题中的切线 .2526高三下甘肃临洮中学、临洗县第三中学等校期末尼知椭圆C:士+ a+尔-1a>b>0的离心率 23/31 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 为2， 抛物线T:y=2pxp>0的焦点为F,椭圆C与抛物线T交于点A-8+6V2,m,且 |AF=-7+6V2. (1)求椭圆C及抛物线T的标准方程： (2)若直线与椭圆C、抛物线T都相切，求直线的方程. 2 526高广东广雅中学期中已知椭圆正：d+京1Q>6>0的离心率为 椭圆E的焦距为 2V2, (1)求椭圆E的方程： (2)已知点Mx,yox≠0为椭圆E上一点，直线l:Xx+2yoy-4=0, (ⅰ)证明直线l与椭圆E相切： (i)设O为原点，直线l与直线y=2,y=-2分别交于A,B.设△OAM和△OBM的面积为S1,S2, S OA 比较5，与OB的大小， 3.(25-26高二下湖南长沙第一中学.开学考)双曲线C: 号兰=1的实轴长为23.且过点l2,3,双曲 a2 b2 线的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,过F的直线交双曲线右支于M,N两点，设直线AM、BN交 于点卫 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：点P在定直线h上： (3)连接AN交直线h于点Q,证明：以PQ为直径的圆与直线l相切. I x=my+293 设： 联立乙得3m-1y+12V3my+27=0, 因为直线支交于两点，放<m<的 3 3m-1,y= 1223m 27 设Mx1,y1,Nx2,y2,所以y1+y2=- 3m2-11 24/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故lmy=,5x+3=x+】 x1+V3 my1+33 七专33=当 且law:y=业 x-3! my2+3 所t9Em+393y_myy+33y Xp-93 my2+93y1 my2y1+93y1 12V3m 因为t当=3m-1- 4V3m yiy2 27 9,所以my1y2=-a/万y1+y2, 3m2-1 9 代入得 o距45+yF3329y+27y业=3 xp-/3 45y+y,+3y1 9 3y1-9y2 3 故xp= 2 所以P点在定直线h:x= 2上 4526高三广东宿领县商溪中学与中尼起过C若+若=1a>b0l它的-个佐有为E-L0. 2V3 且经过点M-1, (1)求椭圆C的方程： (2)已知圆的方程是x+y2=a2+b2,过圆上任一点P作椭圆C的两条切线l1与l2,求证l1⊥12： 5.(25-26高二下·云南开远第一中学期中)已知抛物线C的标准方程为：y2=2px(p>0),且点P(3,23】 在抛物线C上. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点P作两条倾斜角互补的直线l1,12,两直线与抛物线C的另外一个交点分别为G,H,求直线GH的 斜率： (3)过点P作圆M:(x-3P+y=r(0<r<3)的两条切线PA,PB,切线与抛物线C的另外一个交点分别为 A,B.且直线AB与圆M也相切，求圆M的标准方程. ◆题型26解答题中的内切圆 1.(25-26高二上广东广州三校期末)平面直角坐标系中，己知椭圆E的焦点为F1-2,0,F,2,0, 点P在E上，且PF2⊥x轴，△PF1F2的内切圆半径为V2-1. (1)求椭圆E的标准方程： 25/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2已知圆0：×+y-=手，直线1与圆0相切.且与E相交于R,5两点，求证1O5, (3)过点H1,0作斜率之积为1的两直线l1,2,若l1交E于A,B两点，2交E于C,D两点，M,N分别为 AB,CD的中点，求△MNH面积的最大值. 2.已知椭圆C: +芝=1a>b>0. 2 椭圆C的左、右焦点分别是F,F2,FF=2,离心率为2， (1)求椭圆C的标准方程： (2)过F2的直线与椭圆C交于A,B两点. (i)若OA⊥OB,记线段AB的中点为M,求M的坐标： (i)若点A在第一象限，直线AF1交椭圆C于另一点D,设r1,r2分别是△AF1B,△AF2D的内切圆半 径，求r1r2的最大值， 3.(24-25高二下，云南保山·期中)法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互 相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和 算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”·如图，已知椭圆C:怎+岁(Q>b>0的蒙日圆方程 2 ×2+y2=12,离心率为2： (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P是第一象限内椭圆C上一点，PF1,PF2的延长线分别交C于A,B两点，设r1,r2分别是△PF1B, △PF2A的内切圆半径. (i)若点P的横坐标为2，求△PFB内切圆的方程： (i)求r1~r2的最大值 4.(24-25高二下.安徽临泉田家炳实验中学.开学考)抛物线C:x=2pyp>0,直线l:y=1交抛物线C于 P,Q两点，且S△oPo=2,已知点M0,3,且⊙M与1相切. (1)求⊙M及抛物线C的方程. (2)已知NX1,y1,A,B为抛物线C上不同的三点，且X1≠±P,证明：无论点N的位置怎么变化，一定存 26/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在A,B两点，使得⊙M为△ABN的内切圆. 5.(24-25高二上广东广州期末)已知椭圆E: X+上=1a>b>0的焦距为42，点P22,2在椭圆E 上 (1)求椭圆E的标准方程： (2)点A,B,D为椭圆E上不同三点，且B,D关于原点对称，以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD, 已知平行四边形ABCD存在内切圆， ()判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程： (i)求平行四边形ABCD的面积的取值范围。 ◆题型27解答题中的共圆 25:26高二上浙江温州浙南名校联朋，期中如图，从椭圆X+义=1上一点P(异于椭圆的左、右 43 点)射出的光线照射到椭圆的右焦点F2上，经x轴反射，反射光线过椭圆上的另一点Q (1)写出F2的坐标： (2)证明：直线PQ过定点： (3)O、F2、P、Q四点能否共圆？请说明理由 2.已知动点Px,y分别与定点A-1,0和B1,0连线的斜率乘积kA·kB=3. (1)求动点P的轨迹方程E: (2)F是E的右焦点，若l过点F,与曲线E交于C,D两点，是否存在x轴上一定点Tt,0,使得以CD为直 径的圆恒过该定点？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由. 3.(25-26高二上四川成都石室天府中学期末)设动圆M的半径为r,它与圆C1:x+3}+y2=1外切，且 与圆C2:x-3}+y2=1内切. (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点P-1,0,直线：y=kx+m与曲线E相交于A,B两点. 27/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若AB的中点为M2,1,求直线1的方程： ②若以AB为直径的圆恒过点P,试判断直线1是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点， 请说明理由. 4.(25-26高二下·海南部分校期末)已知椭圆C: 之+=1a>b>01的离心率为，左、右焦点分别为Em F2,且F1F2=2 (1)求C的方程. (2)设C的上顶点为P,过点F2的动直线与C交于A,B两点. (i)若B与C的下顶点重合，求△ABP的面积： (ⅱ)过点B作y轴的垂线，与直线x=4交于点Q,证明：直线AQ被圆E: X 512 2 y=1截得的弦长为 定值 5.(25-26高二下·广东广州华南师范大学附属中学期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线 C:y2=2pxp>0的焦点为F,Ax1,y1,Bx2,y2为抛物线C上两个不同的动点.当AB中点横坐标为2 时，AF+BF=6 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线AB过点D2,O,在x轴上是否存在点T,使得T恒在以线段AB为直径的圆内？若存在，求出点T 横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由 综合攻坚·知能拔這 一、单选题 1.(25-26高二河南信阳准滨县期末)已知抛物线y=8x的焦点为F,点P,Q在抛物线上，且满足 ∠PFQ=号，设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则 PQ d+2 的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.2526高二安徽合肥庐江县期末我们知道，对勾函数y=x+的图象实际上是双曲线，它是由标准双 X 曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质。则函数y=2x+乙的图象对应的双曲线的离心率为《) A.10-4V5 B.V210-3 c.2V10-3 D.10-49V5 3.己知抛物线C:y=12x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，与圆x-3P+y=4交于M,N 两点若点A,M在第一象限，则AM+3BN的最小值为() 28/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.63+4 B.3V3+4 c.10 D.7 4.(25-26高二下河南许昌禹州十一校联考·期末)过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F的直线1与C交于 A,B两点(A在第一象限)，点D- P V3p 2’3 ⊥AFL=() 若∠ADB=90°，则BF 1 1 A.3 .2 C.2 D.3 二、多选题 5.(25-26高二广东潮州期末)抛物线E:y=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=k(x-2)过点F且与抛物 线E交于A,B两点，点A在第一象限，则() A.抛物线E的焦点F到准线的距离为4 B.若点P的坐标为(3，V15),则△APF周长的最小值为9 C.当AF=3BF时，k=3 D.当k变化时，AB的最小值为8 62526高下四家山州期闲E痴，F分别是双画线C,名，《Q>0,b>0)的左、右年 点，A为其右支上一点（异于右顶点），△AF1F的内切圆与X轴相切于点M,则下列说法正确的是 () A.点M到y轴的距离为2 B.若MF1+3MF,=0,则C的渐近线方程为y=±V3x 若2F1F,A=120°且AF=2C,则C的离心率为 D.若AF11AF2,则△AF1F的周长为2c+2Vb+c2 7.(25-26高二·河南驻马店部分校期末)已知椭圆M: 之+父=1的左、右焦点分别为F,F,点P为椭 259 圆M上的点，O为坐标原点，则() A.若OP=4,则S△PF,E,=9 B.M与圆x- 121 2026 +y2027 =16有四个交点 C.△PF1F2的重心G的轨迹方程为 5x2 9 +y=1(y≠0) D.△PE,E的内心I的轨迹方程为6+6三1(y0) 29/31 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、填空题 8.526商二福建厦门第六中学月考过双曲线C:兰兰=1a>0,b>01的左焦点F,作斜车为2的直线1 a2 b2 交C于M,N两点.若MF1=3FN,则双曲线的离心率为 9.(25-26高二广东广州艺术中学.期末)已知抛物线C:y2=2x的顶点为O,经过点M1,0的直线与抛物线 C相交于A、B两点，直线OA与直线I:x=-1相交于点D,则点A到直线BD的距离的最小值是 10.2526高二安做宜城期末已知双脂线C:二=1（口>0，b>0)的一条新近线的斜率为5，左右 a b2 顶点分别为A1,A2,右焦点为F,且M,N是双曲线C位于第一象限的两点，A2M∥NF,若NF=4a, 则tan∠A1MA2= 11.(25-26高二上·安徽宿州第二中学期末)已知直线1与焦点为F的抛物线C:y=2px(p>0)相交于M, V两点，且∠MFN=3 线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则 MNI2 4， 的最小值为 四、解答题 x2,y2 V2 12.6:27高二上浙江20名校联盟已知椭圆C:。+方=1的离心率为2，过左焦点F1,0的直线交 椭圆C于M,N两点，交y轴于点P,且满足PM=λMF,PN=μNF (1)求椭圆C的方程： (2)求入+μ的值： (3)已知点E-3,0, 111 Q 62 过点Q的直线l交椭圆C于A,B两点，直线EA,EB与椭圆C的另一个交 点分别为G,H,证明：直线GH的斜率为定值. 13.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校期末)已知抛物线：y=2pxp>0,直线y=x+1与抛物线有 且只有一个交点， (1)求抛物线的方程： (2)若直线l与抛物线交于异于原点O的两点AX1,y1,Bx2,y2,若OA⊥OB,过O作AB的垂线，垂足 为DXo,yo,求证：直线l恒过定点，并求出Xo+yo的取值范围. 4,2526高下东韶关期表已知双前线C1Q>0,6>0的焦距为4，色的一条新近线的预 斜角为3 30/31 耐学科网·上好课 www.zxxk.com (1)求双曲线C的方程： (2)已知点M 过双曲线C的右焦点F的直线交C的右支于A, 一点N (i)证明：AM·BF=AF:BM: (i)若NA·NB=495,求直线AB的方程 31/31 上好每一堂课 B两点，△MAB的外接圆交X轴于另 第三章 圆锥曲线的方程 常考题型·精准突破 题型1 圆锥曲线定义的应用 题型2 圆锥曲线的方程 题型3 椭圆与双曲线的焦点三角形问题 题型4 和差最值问题 题型5 双曲线的渐近线 题型6 方程表示曲线求取值范围 题型7 圆锥曲线上的点到定点距离问题 题型8 轨迹方程问题 题型9 圆锥曲线的几何性质 题型10 离心率 题型11 离心率的取值范围 题型12 直线与圆锥曲线的位置关系 题型13 弦长问题 题型14 面积问题 题型15 中点弦问题 题型16 定值定点问题 题型17 解答题中的弦长 题型18 解答题中的面积 题型19 解答题中的定点 题型20 解答题中的定值 题型21 解答题中的定直线 题型22 解答题中的斜率 题型23 解答题中的共线 题型24 解答题中的角度 题型25 解答题中的切线 题型26 解答题中的内切圆 题型27 解答题中的共圆 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 圆锥曲线定义的应用 1．(25-26高二·陕西咸阳·期末)已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断的轨迹. 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 2．(25-26高二上·云南文山州马关县第一中学校·月考)已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】 4 【详解】由题可知，又， 所以. 4．(25-26高二·陕西渭南华阴·期末)已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 【答案】 【分析】由题可得，再根据椭圆的定义即可求解． 【详解】对于椭圆，则，即， 由椭圆的定义得． 故答案为：． 5．(26-27高二上·浙江Z20名校联盟·)已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【详解】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. ◆题型2 圆锥曲线的方程 1．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 2．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以 ， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 3．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意,设椭圆的标准方程为， 由椭圆的离心率为，面积为， 得，解得， 即椭圆的标准方程为. 4．(25-26高二上·江苏常州高级中学·期末)以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的右焦点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程. 【详解】双曲线的右焦点为，所以抛物线的焦点为， 所以抛物线的方程为：, 故选：C 5．(25-26高二·山西太原·期末)已知双曲线以圆的圆心为右焦点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过圆得到双曲线的右焦点，再结合渐近线方程得到，利用 关系求得双曲线方程. 【详解】由圆的方程得， 所以圆心为，即为双曲线的右焦点，故， 设双曲线的标准方程为， 又因为渐近线方程为，所以，即； 由得， 故双曲线的标准方程为. 故选： ◆题型3 椭圆与双曲线的焦点三角形 1．(25-26高二下·宁夏银川永宁中学·)已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 2．(25-26高二下·河南新乡部分学校·期末)已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 3．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 4．已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 5．(25-26高二上·河北邢台·)已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，是的平分线，且为坐标原点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】画出图分析可知是等腰三角形，即，为的中点，为的中点，所以，然后结合双曲线的定义求解即可. 【详解】如图，延长，交于点，    因为是的平分线，且，所以与全等， 所以，为的中点，为的中点，所以， 由于双曲线的左、右焦点分别为， 所以，，所以双曲线的定义可知：， 所以，即， 所以. 故选：A ◆题型4 和差最值问题 1．(25-26高二下·河北衡水第二中学·)已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以 ， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 2．已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得 ， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 3．(25-26高二上·江西鹰潭田家炳中学·期末)已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 4．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 5．(25-26高二·福建福州第三中学·期中)已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． ◆题型5 双曲线的渐近线 1．(25-26高二下·内蒙古呼和浩特中央民族大学附属中学呼和浩特分校·期末)已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 2．(25-26高二下·安徽滁州部分校·期末)已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以. 3．(25-26高二下·云南文山州马关县第一中学校·月考)已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离及几何法求弦长即可. 【详解】双曲线:的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线、圆的对称性，故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 4．(25-26高二下·重庆西南大学附属中学校·期中)已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析几何思想，借助点到直线的距离公式来求出点，然后再继续求出交点的坐标，最后可求距离. 【详解】 设双曲线上第一象限的点， 则由双曲线可得渐近线方程为，即 所以由点到直线的距离公式可得： 由， 由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得， 即，则代入双曲线得：， 则过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 所以. 5．(25-26高二下·山西长治部分学校·)已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为________． 【答案】 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，得， 故得，又双曲线C的渐近线方程为， 整理为一般式为，圆的圆心为，半径， 由于的渐近线与圆相切，故圆心到渐近线的距离等于半径， 由点到直线的距离公式可得：，结合，解得， 进而 ，因此双曲线C的标准方程为. ◆题型6 方程表示曲线求取值范围 1．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 3．(25-26高二上·云南保山第八中学等校·期末)“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由方程表示双曲线，得或，则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件． 4．(25-26高二上·湖南郴州·期末)已知方程表示双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解. 【详解】由方程表示双曲线，得，解得或， 所以的取值范围为. 故选：A 5．(25-26高二上·湖北孝感·期末)已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【详解】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D ◆题型7 圆锥曲线上的点到定点距离问题 1．(25-26高二上·重庆部分校·月考)已知椭圆 ，则该椭圆上的点到 的距离的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以右顶点坐标为，. 根据椭圆性质可知，椭圆上到右焦点距离最短的点为右顶点， 所以最小值为. 故选：A. 2．(25-26高二上·福建福州九师联盟·期中)已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为为坐标原点，点在椭圆上，且满足.当变化时，的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】由题设条件，结合椭圆的定义得到点是椭圆与椭圆的公共点，两方程联立化简得到即可求解. 【详解】由题可知， 所以点同时也在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为. 联立即 即 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为4，即的最小值为2. 故选：A. 3．(25-26高二上·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值，利用余弦定理求解即可. 【详解】当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值， 因为， 所以， 所以. 故选：. 4．(25-26高二上·湖南长沙长郡中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 5．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期中)若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. ◆题型8 轨迹方程问题 1．已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    2．在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，根据椭圆的定义以及外角平分线的性质可得，利用中位线定理可得，得到点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆． 【详解】根据题意可得 延长交延长线于点，因是的外角平分线且， 故为等腰三角形，即，为中点， 由椭圆定义：， 则， 在中，为中点，为中点， 根据三角形中位线定理：， 所以点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆， 则轨迹长度（圆周长）：． 3．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用半径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内取一定点，且.把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；展开纸片后留下折痕，与折痕交于点.不断重复此过程，得到动点的轨迹为曲线.以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.已知点在曲线上，过点作两条斜率之积为的直线，分别交曲线于，两点，则直线恒过的定点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的定义求椭圆的标准方程，设，根据已知及斜率的两点式得，进而判断直线斜率的存在性，并设，联立椭圆方程，应用韦达定理代入前式化简整理求参数，即可得到定点坐标. 【详解】设，由题意，且， 点的轨迹是以E，F为左、右焦点的椭圆， 长轴长，焦距， 所以椭圆的标准方程为：， 设，所以， 因为，所以， 若直线AB的斜率不存在，则， 此时两条直线MA、MB的斜率分别为：， 因为，则，化简得到， 又因为，解得，即直线为轴，不合题意； 设直线AB：， 联立方程，得到， 由， ， 因为， 所以， 化简得到， 即， 化简得到，解得， 当时，直线为，恒过点，与题意不符（异于M），舍去； 当时，直线为，恒过点. 4．(25-26高二上·湖北孝感·期末)已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切，动圆圆心的轨迹为.为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．的最小值为3 C．为曲线上的两点，点为线段的中点，则所在的直线方程为 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出轨迹的方程，然后根据抛物线的定义、中点公式等知识逐项计算即可. 【详解】圆的半径为，圆心，设动圆圆心，半径为，则根据题意可得 ，化简得，所以准线方程为，A错误； 根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离， 所以的最小值为点到准线的距离，即，B错误； 因为为线段的中点，根据抛物线的对称性可知，直线的斜率存在， 设，因为为线段的中点， 则，由相减可得 ，所以. 所以直线的方程为，即，C错误； 设，则的中点为，中点到轴的距离为， 而，故圆的半径为，等于中点到轴的距离， 因此该圆与轴相切，D正确. 故选：D. 5．(25-26高二上·广东中山第一中学·)已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②对任意的使得椭圆上满足条件的点都有个； ③最小值为 其中，所有正确命题的序号是______ 【答案】①②③ 【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过的变化，可得②正确；先联立两个椭圆方程，消去得到、关于的表达式，再代入并化简，令换元，将式子整理为含的形式，通过分析分母的最小值求出的最小值，进而得到的最小值为2，从而判断结论③正确。 【详解】椭圆的两个焦点分别为和， 短轴的两个端点分别为和， 设，点在椭圆上，且满足， 由椭圆定义可得，， 故在以为焦点的椭圆上， 即有在椭圆上. 对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确； 对于②，由图象可得轨迹关于轴对称，且，则椭圆上满足条件的点有4个，故②正确; 对于③，点同时在两个椭圆上，联立方程组： 由第一个方程得 代入第二个方程化简得： 所以 展开分子: 令，则： 当时，分母取得最小值，此时： 即的最小值为2，故③正确. ◆题型9 圆锥曲线的几何性质 1．(26-27高二上·河南南阳方城县第一高级中学·)若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【答案】D 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 2．(25-26高二下·陕西商洛·期末)椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 3．(26-27高二上·湖南邵阳·)双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线化为标准方程，根据渐近线公式求出两条渐近线，再由两条渐近线的倾斜角求夹角． 【详解】双曲线 可化为 所以 ，，两条渐近线为 直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，因此两条渐近线的夹角为 4．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 5．已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设，联立得到，由得到，又由题可知点P在线段垂直平分线上，设线段中点为，则，进而得到点，再求出，结合两点距离公式可得，再由求出． 【详解】设， ，， ，， 即， 又，则点P在线段垂直平分线上，设线段中点为， ，， 则直线的方程为， ， 又， 所以，即， 整理得， ，解得， 代入得，解得． ◆题型10 离心率 1．(25-26高二下·安徽宿州·期末)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    2．设，是椭圆 的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 根据椭圆的定义，， 所以，当最小时，最大， 又当轴，即为椭圆通径时，最小，为， 此时，所以，所以， 所以，. 3．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 4．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点．设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“椭圆右焦点与抛物线焦点重合”，建立的等量关系，结合椭圆定义与题干给出的，联立方程组求出、关于的表达式，根据抛物线定义，把转化为点到抛物线准线的水平距离，求出交点的横坐标，由准线垂直轴，构造直角三角形，使用勾股定理建立含的等式，化简等式得到的倍数关系，代入离心率公式算出最终结果. 【详解】由题意得椭圆的右焦点为，则， 因为抛物线焦点坐标为，且为抛物线的焦点， 所以，解得，而抛物线准线方程， 这条准线恰好经过椭圆左焦点， 因为，所以， 两式相加得，解得， 两式相减得，解得， 因为抛物线上点到焦点距离等于它到准线的距离，所以， 因为准线，所以到准线的水平距离， 因此，解得，则， 因为在抛物线上，所以，即， 因为垂直准线，所以为直角三角形， 所以，即， 即， 解得，椭圆离心率，则选项D正确. 5．(25-26高二·安徽宣城·期末)已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得，再由双曲线的定义得，最后由余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，结合， 所以， 又由，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 所以. ◆题型11 离心率的取值范围 1．(25-26高二下·辽宁凌源·期末)若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 2．(25-26高二下·江西重点中学盟校·期末)在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 3．(25-26高二下·浙江缙云中学等校·)已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 4．(25-26高二·陕西咸阳·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据双曲线渐近线斜率与直线的斜率之间的大小关系，得出不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为， 因直线与双曲线的右支有两个交点，又可得， 即可得， 所以，又双曲线离心率，可得， 则双曲线的离心率的取值范围为, 故答案为：. 5．(25-26高二上·河北石家庄精英中学·调研)已知双曲线的左、右顶点分别为，若双曲线在第一象限内存在一点 ，使得直线的斜率分别为，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为_________________ . 【答案】 【分析】设，代入双曲线方程可得，求出，再将和用表示，由推得，进而得到，推出，即得，再利用离心率公式即可求得其取值范围. 【详解】设点的坐标为，则，且，可得， 又因，则， ， 可得，可得， 将代入，可得， 因，则有，即，又，则得， 因， 即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. ◆题型12 直线与圆锥曲线的位置关系 1．若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有公共点，需在椭圆上或椭圆内，注意椭圆的参数范围，进而求得的范围． 【详解】直线恒过点， 由直线与椭圆恒有公共点， 所以在椭圆上或椭圆内， 又椭圆且． 故实数的取值范围是． 2．(24-25高二上·河南九师联盟·)已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和椭圆的位置关系，结合图象求得的取值范围. 【详解】由两边平方得，对应图象是椭圆的上半部分， 画出半椭圆和的图象如下图所示， 设半椭圆的左右顶点为， 由两边平方并化简得， 由，解得（负根舍去）， 当过点时，， 结合图象可知，要使关于的方程有两个不相等的实数根， 则需 故选：A 3．(25-26高二上·浙江杭州五区·期末)已知双曲线，过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，得到满足或点在双曲线的渐近线上，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 因为过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点， 则满足或点在双曲线的渐近线上， 由，可得，解得或， 由点在双曲线的渐近线上，可得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：． 4．已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 5．已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. ◆题型13 弦长问题 1．(25-26高二上·四川成都石室天府中学·期末)已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据切线性质可得切线方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，利用弦长公式求，利用焦半径公式求，，即可得结果. 【详解】因为，所以点在上， 又因为，所以过点作⊙O 的切线斜率为， 所以切线方程为，即， 设，， 联立，消去整理得， 则， 所以 ； 由椭圆，可得，所以，所以， 所以右焦点， 则 ， 同理得， 所以， 所以. 2.已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由焦点求出椭圆标准方程，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式求解弦长. 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 3．已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值. 【详解】设，，联立，消去整理得， 不妨令或，则，，则，， 所以 ， 所以当，即时，最大值. 故选：C 4．(25-26高二下·广西南宁第三中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为．过点的直线与交于P，Q两点（均异于左、右顶点），若，则_____________. 【答案】/ 【分析】设点坐标，利用上下顶点连线斜率关系及椭圆方程，解得离心率，设焦半径长度，由椭圆定义及焦点三角形内角互补条件建立方程，求出各边长度后，在三角形中用余弦定理得结果. 【详解】设，上下顶点坐标分别为和，所以，得， 因为在椭圆上，所以，整理得， 所以，化简得，离心率； 设，则，，因为，所以，则，整理为，得，所以 ，中，根据余弦定理. 5．(25-26高二·江苏南京金陵中学·)已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 【答案】 【分析】设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理利用弦长公式求解，进而求出线段AB的中垂线所在直线方程，求出和，利用得，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，，，则直线， 联立方程，消去y得：， ，则 ， ，， 则， 设线段AB的中点，则，，即， 线段AB的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，即椭圆离心率的最大值为. ◆题型14 面积问题 1．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且，则面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】分类讨论、所在直线与两坐标轴是否重合，求出原点到直线的距离为定值；再联立方程求出，再表示出三角形面积即可. 【详解】①当、所在直线与两坐标轴重合时，原点O到直线l的距离为； ②当直线、的斜率存在且都不为零时，设直线的方程为， 则直线OB的方程为， 联立，可得，所以， 同理可得， 所以原点到直线的距离为， 综上所述，原点到直线的距离为定值． ①当、所在直线与两坐标轴重合时，； ②当直线、的斜率存在且都不为零时，则， 令，则 ， 因为，所以，则，所以， 所以，所以，所以． 2．(25-26高二·新疆昌吉州·期末)如图，椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆（圆心记为C）面积为两点的坐标分别为，则的面积______，的值为______． 【答案】 【分析】对①，根据椭圆的定义，由（其中为周长，为内切圆半径）求解；对②，由求解. 【详解】由椭圆方程可得， 对于①：的周长为 ， 设内切圆半径为，由内切圆面积为，得，解得， 所以； 对于②：由图，， 因为，所以， 所以. 故答案为：；. 3．(25-26高二·山西运城·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________. 【答案】 / 【分析】先根据双曲线渐近线方程求出的值，进而得到双曲线方程，再结合点在双曲线上以及数列递增的条件求出，最后根据点的坐标求出的面积. 【详解】已知其中一条渐近线方程为，即，所以， 则双曲线的方程为， 因为点在双曲线上，所以，即， 由于、，，即，故， 当时，，符合题意； 不妨设，， 由得， 可得， 对比可得，所以， 所以，整理可得， 不妨取，则，此时，，符合题意， 所以，， 先证明一个结论：在中， 若，，则． 证明： ． 本题中，， 所以. 故答案为：；. 4．(25-26高二上·河南新乡、安阳部分学校·)已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式、两点间距离公式及三角形面积公式表示出三角形面积，进而表示出三角形面积和，结合基本不等式计算即可. 【详解】设点，则. 直线的方程：，即；直线的方程：，即. ， 点到直线的距离：， . ，点到直线的距离：， . 所以. 设，，则，. ，当且仅当，即时，等号成立. 因此的最小值为. 故答案为：. 5．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第六中学·期末)设抛物线焦点为F，准线与对称轴交于点E，过F的直线交抛物线于A，B两点，对称轴上一点C满足，若的面积为，则F到抛物线准线的距离为______. 【答案】 【分析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，设出过点的直线方程与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，结合得到，解得，，根据相似得到，从而列出方程，求出，再考虑焦点在轴上，同理可得到，求出答案. 【详解】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为， 由题意得，， 当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不符合要求，舍去， 设过点的直线方程为，， 与抛物线联立得， 设，， 则，， 因为，设， 则，即， 将代入，中，解得， 如图所示，可知，，. 因为∽，所以，故， 即，解得， 则到抛物线准线的距离为， 假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为 同理可得，故到抛物线准线的距离为， 综上，到抛物线准线的距离为. 故答案为：. ◆题型15 中点弦问题 1．(25-26高二上·福建三明·期末)若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______. 【答案】 【分析】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 由点差法可得，据此可得答案. 【详解】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 因，则. 又，两式相减并化简可得.即， 则双曲线渐近线方程为：. 故答案为：. 2．(25-26高二上·湖北十堰普通高中联合体·月考)直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是_____． 【答案】 【分析】设出两点，代入双曲线方程，利用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可确定直线的方程. 【详解】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 3．(25-26高二·江苏锡山高级中学·期末)过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，则，， 则， 又，故，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 4．(25-26高二上·山东烟台·期末)已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________． 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内，故直线与椭圆相交， 设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，， 又，代入，可得，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 5．已知抛物线，直线与抛物线相交于两点，且的中点为，则__________. 【答案】 【分析】利用中点在直线上，解得斜率，设点，代入抛物线方程并作差，结合中点坐标、斜率公式，即可得解. 【详解】根据题意，点在直线上，所以，解得. 设点， 则，两式作差得， 整理得， 又，且，解得. 故答案为：. ◆题型16 定点定值问题 1．(25-26高二下·云南师范大学附属中学·期中)已知抛物线：的焦点为圆：的圆心，过圆心的直线与抛物线和圆交于自上而下的四个点，，，，则的值是______. 【答案】1 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，直线的斜率存在，设直线方程为：， 由消去得，设，， 由韦达定理得，则， 由抛物线的定义知，，， 所以，， 所以. 2．已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】 直线过原点，可设，则，； ，， ，. 故选：B. 3．(2025高二·9月四川省巴中市·月考)已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1：对直线有无斜率进行讨论，当直线有斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式，进行化简整理，可得结论；方法2：从选择项发现所给问题为定值，则由于数学问题的特殊与一般的统一性，取点在特殊位置求值即可. 【详解】方法1：如图： 易知：. 若直线斜率不存在，则弦为椭圆通径，此时，所以； 若直线斜率存在，可设直线方程：，代入椭圆方程得： ， 整理得：. 设，（不妨令）， 则：，. 所以 . 所以 . 又，. 所以 . 综上可知：. 方法2：如图： 可取为椭圆的长轴，则，， 所以. 故选：C 4．已知双曲线的离心率为，焦距为6，过双曲线上一点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意求得双曲线的方程为，设点的坐标为，根据点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由题意可知，，， 可得双曲线的方程为，渐近线方程为， 如图，设点的坐标为，    则，化简可得， 由点到平面的距离公式得. 故选：B. 5．(25-26高二下·河北邯郸·期末)已知双曲线的渐近线方程为，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上位于第一象限的动点，设，，则________． 【答案】 【分析】根据渐近线及已知可得，由题设，设，结合三角形内角的性质及三角恒等变换得 ，且，，即可得. 【详解】双曲线的渐近线为， 已知渐近线为，故，即， 所以，则，即， 由题设，设，则， 因此， 故，又， 故， 因此 ， 由几何意义得，， 因此， 所以. ◆题型17 解答题中的弦长 1．椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，代入可得答案； （2）根据题意，联立方程，设，进而结合韦达定理与弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点和上顶点 所以，， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 2．已知椭圆：，椭圆：，在内部，且，的离心率相同；分别过椭圆的右顶点与上顶点任作椭圆的一条切线，． (1)求椭圆的离心率； (2)求直线，的斜率之积的绝对值； (3)若，直线过第二、四象限，过定点的直线与椭圆交于，两点，与交于点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据离心率的定义求出椭圆的离心率，进而即可得到椭圆的离心率； （2）先设直线，的斜率分别为，，从而根据题意得到直线，的方程，再分别联立椭圆的方程，再根据椭圆切线的定义得到，，从而得到，，进而即可求出； （3）先结合（2）求出直线的方程，设，，，，当斜率存在时，结合韦达定理求出点和的值；再验证当斜率不存在时，得到的点是否同时满足条件①：此时直线与椭圆有两个不同的交点，条件②：，进而即可得到点的坐标． 【详解】（1）依题意可得椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 则其半焦距为， 所以椭圆的离心率为， 又，的离心率相同，所以椭圆的离心率为． （2）显然直线，的斜率都存在，不妨设直线，的斜率分别为，， 又椭圆的右顶点为，则直线的方程为， 结合（1）得，得， 联立，整理得， 又是椭圆的一条切线，则，得， 又椭圆的上顶点为，则直线的方程为， 联立，整理得， 又是椭圆的一条切线，则，得， 所以，得， 故直线，的斜率之积的绝对值为． （3）由，则结合（2）得， 又直线过第二、四象限，则，即， 所以直线的方程为， 设，，，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，则， 即，整理得（*）， 联立，解得， 联立，整理得， 由韦达定理得，， 将，，，代入（*）式化简得， 又上式对任意实数都成立，则， 若，得，代入（2）式，得，解得，或； 若，即，代入（2）式，得，解得，， 验证当斜率不存在时，，，是否满足题意． 对于，过该点的竖线与椭圆只有一个交点，不符合题意； 对于，过该点的竖线与椭圆只有一个交点，不符合题意； 对于，过该点的竖线与椭圆有两个交点， 联立，解得，，即，，， 此时，，满足，符合题意． 综上，点的坐标为． 3．已知椭圆的左焦点为，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过椭圆E右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据椭圆焦点坐标特点，结合椭圆离心率公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用转化法进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，离心率为， 所以， 所以椭圆E的标准方程为； （2）当直线l斜率为零时，此时A，B为左右顶点，不管A，B哪一个为左顶点，均不满足， 当直线l斜率不存在时，此时根据椭圆的对称性，显然不成立， 当直线l存在斜率且不为零时，设直线l的方程为， 于是有， 显然， 设，则有， 因为，所以，即， 因此由 ， 所以直线l的方程为，或， 化为一般式为，或. 4．已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线与圆都关于轴对称，得到垂直轴，结合弦长求出点坐标，代入抛物线即可求出. （2）用点差法，根据中点纵坐标求出直线的斜率，写出直线方程；再联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出. 【详解】（1）因为抛物线与圆都关于轴对称， 所以交点关于轴对称，弦垂直于轴， 因为，所以点纵坐标， 把代入圆方程：，解得， 因为，所以，所以， 将代入抛物线方程， 得到，解得，即， 抛物线的方程为：. （2）设，，两点都在抛物线上， 则有， 两式作差可得 ， 由中点，得， 直线斜率， 直线方程：，整理得， 联立， 把代入抛物线，得到 ， 由韦达定理可得：， 又 则， . 5．(25-26高二·河北唐山·期末)已知点，分别是椭圆：的左、右顶点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)若点P是上与，不重合的点，直线，与直线分别交于点G，H，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出，进而求出椭圆方程； （2）根据椭圆的性质，利用几何法求出，求出表达式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值，进而求出的最小值． 【详解】（1）由题意，点，分别是椭圆左、右顶点，，故，得， 离心率，故，则， 故的方程为：． （2）由（1）知，，设在椭圆上，且， 则， 直线与交于点，则，解得， 直线与交于点，则，解得， 故， ，故， 又， 故， 令，求导得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 故在处取得最小值， ， 故， 当时，，即时，取得最小值，最小值为． ◆题型18 解答题中的面积 1．(25-26高二下·广东实验中学深圳学校·期末)已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 2．(25-26高二下·吉林长春十一高中·)设椭圆的左、右焦点分别为，．已知在椭圆C上，且的面积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点M的直线l与椭圆C交于另一点N与x轴交于点P，若． （ⅰ）求P点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）； 【分析】（1）根据三角形面积和椭圆定义可得，，进而求出，得到椭圆方程； （2）（ⅰ）求出直线的方程，联立椭圆方程，求出点坐标，进而得到直线的方程，得到； （ⅱ）利用求出答案. 【详解】（1）的面积为，解得， 因为左、右焦点分别为， 所以， 解得，因为， 故椭圆方程为； （2）（ⅰ）由于，，故， 因为，所以，故， 直线的方程为， 联立直线和椭圆方程得， 解得或1，故点的横坐标为， 此时，故点的坐标为， 因此，所以直线的方程为， 即，令得，故， （ⅱ）的面积为 3．(25-26高二·广东潮州·期末)已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． (3) 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 4．(25-26高二下·内蒙古赤峰·期末)已知曲线上的动点与点，的距离的和等于. (1)求曲线的标准方程； (2)直线与曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于点，其中为坐标原点，若的面积为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得到，且，结合椭圆的定义，即可求解； （2）联立方程组，根据直线与曲线相切，求得，再由根与系数的关系，求得，得到，求得的方程为，得到的坐标，根据的面积为，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为曲线上的动点与点，点的距离的和等于， 可得，且， 由椭圆的定义，可得，所以，则， 所以曲线的标准方程为. （2）解：联立方程组，整理得 因为直线与曲线有唯一公共点，即直线与曲线相切， 所以，即，整理得， 设，可得， 即，所以直线的方程为，可得， 令，可得；令，可得， 所以的面积为， 整理得，即，解得或， 所以或，即实数的值为或. 5．(25-26高二·新疆乌鲁木齐·)动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点． （ⅰ）若为等腰直角三角形，求的方程； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)(i)或 (ii) 【分析】（1）通过题目条件列出相应距离等式求解. （2）（i）通过联立直线与椭圆方程后，利用韦达定理求解坐标间的关系，表示出相应线段斜率求解垂直关系后，通过线段长度相等求解；（ii）通过将四边形面积转化为两个三角形面积之和以及点到直线距离公式求解面积. 【详解】（1）由题意得，，， 得到. （2）(i)设直线为，，， 联立椭圆方程可知，， 由韦达定理可知，，， 则. . 因为为中点，所以，即， 直线为，时，，即， 所以直线斜率为， 又直线斜率，，所以恒为. 所以当为等腰直角三角形时，满足. ， ， 若，解得，即. 当时，，解得， 所以，解得，直线为. 当时，，解得， 所以，解得，直线为. (ii)可将四边形面积分为和. 点到的距离， 点到的距离， . 所以. 所以最小值为，此时. ◆题型19 解答题中的定点 1．(25-26高二下·四川凉山州·期末)已知椭圆：，（）的左、右焦点分别为、，点是上的点，且，离心率． (1)求的标准方程； (2)设，． ①若点位于第一象限，直线，的斜率分别为，，求的取值范围； ②设直线：与交于，两点（不与M重合），若（为坐标原点），试判断直线是否过定点，如果是，请求出定点，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②直线过定点，理由如下： 设，， 设直线， 联立，消去得，整理得， 则，由可知，则， 所以 ，即，即， 所以，整理得， 即，故， 所以直线， 令，即，此时，则直线过定点. 【分析】（1）由椭圆定义直接求出；由离心率算出；用求出，即可写出椭圆标准方程. （2）①先设第一象限内点，写出两条直线斜率，相乘得到；利用椭圆方程把替换成含的表达式，将乘积化为只含的函数；根据在第一象限，确定，再利用函数单调性求出取值范围.②条件，几何意义是直线关于轴对称，等价于斜率之和；把直线和椭圆联立，得到一元二次方程，用韦达定理写出与；将斜率相加为的式子通分展开，再把韦达定理的结果代入化简，得到的关系式；把关系式代回直线方程，整理成点斜式，令参数的系数为0，求出定点坐标. 【详解】（1）由椭圆定义得到，故， 所以由离心率得， 由得， 所以椭圆的标准方程为. （2）①设，因为点位于第一象限，所以且满足，即， 因为，，所以，则， 令，由在第一象限，得，故， 则， 因为，所以，所以，则，即，即， 所以的取值范围是. ②略 2．(25-26高二·安徽合肥庐江县·期末)已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 3．(25-26高二下·湖南部分学校·期末)已知椭圆，，为左、右焦点，点P在C上． (1)当时，求的面积； (2)在椭圆中有结论：以椭圆上一点为切点的切线方程是． ①设过椭圆C的右焦点的直线交C于A，B两点，以A，B为切点的切线，相交于点Q，求点Q的纵坐标； ②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点；过点B且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点．证明：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)9 (2)①；② 【分析】（1）利用椭圆的定义，结合垂直条件，求出两直角边乘积，面积即为其乘积的一半，或设，由垂直得，联立椭圆解得，可得面积； （2）①设，切线方程分别为，，两式分别乘以后相减消去，代入直线方程，可得交点坐标；②由切线斜率得垂线方程，求得截距得点，同理求。联立直线与椭圆得韦达定理，求 斜率及中点，写出直线方程，故恒过定点. 【详解】（1）方法一：设，， 又， ，所以的面积是9． 方法二：设，又，， 则，， ， 又，所以，， 所以的面积是； （2）①设，， 则以A，B为切点的切线方程分别为，， 且，， 于是：对于，，两边分别同乘，相减可得： ， ； ②以点A为切点的切线的斜率为， 过点A且与以A为切点的切线垂直的直线方程为， 进而得，，所以， 同理可得， 另一方面，把代入中，得， 所以， 直线的斜率为， M，N中点的横坐标是 ， M，N中点的纵坐标是， 所以直线方程为， ， ， ， 可知直线经过定点． 4．(25-26高二下·广西南宁部分高中·期末)已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)已知点，与椭圆上的点的距离的最小值为1，求点的坐标. (3)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 【答案】(1), (2) (3)光线经过轴反射后经过点 【分析】（1）据椭圆的顶点和焦距，利用椭圆的基本性质求出的值，进而得到椭圆方程和离心率. （2）设椭圆上任意一点，根据两点间距离公式表示出，再结合椭圆方程消去，根据二次函数的性质求出最小值，进而得到的值. （3）设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再根据光线反射的性质判断光线经过轴反射后是否经过点. 【详解】（1）已知椭圆的一个顶点为， 则，又因为焦距为.，所以，即， 根据椭圆的性质，可得，即， 所以椭圆的方程为，椭圆的离心率为. （2）设椭圆上任意一点，已知， 根据两点间距离公式， 因为点在椭圆上，所以， 则，， 令，其对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 则，由，解得（舍去）或， 当，即时，， 由，解得（舍去），因此点的坐标为. （3）如图，作出符合题意的图形， 由（1）可知，设直线的方程为，， 联立，消去可得， 展开并整理可得， 得到，即 由韦达定理可得：， 直线的斜率，直线的斜率， 要判断光线经过轴反射后是否经过点，只需判断是否成立， 而 ， 所以光线经过轴反射后经过点. 5．(25-26高二下·河南洛阳·期末)已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程； （2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． ◆题型20 解答题中的定值 1．(25-26高二下·海南海南中学·期末)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． (1)求抛物线的标准方程和线段的长． (2)求的值． 【答案】(1)抛物线的标准方程为， (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程，然后将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦点弦长公式可求得的值； （2）利用抛物线的焦半径公式和韦达定理可求得的值． 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设点，，易知抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立可得，， 所以，， 故． （2）． 2．(25-26高二下·云南曲靖陆良县·期末)已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． (1)求的标准方程； (2)若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)设，．由题可知直线与的斜率互为相反数， 当，代入椭圆方程得， 又在第一象限，故． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 于是直线的方程为，直线的方程为 代入，的坐标并作差，得．①   由，得． 由韦达定理，得，即，②   同理可得．③   将①②③代入，得， 故直线的斜率为定值 【分析】（1）通过焦距确定，通过椭圆定义求得，进而可求解； （2）设，．直线的斜率为，得到直线的斜率为，通过点在直线上作差，及直线方程和椭圆方程联立，进而可求解. 【详解】（1）由题可知，即， ， 所以，即， 则， 故的标准方程为． （2）略 3．(25-26高二下·海南海南中学·期末)如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点．    (1)若，，，求与的四个交点的坐标． (2)求直线与直线交点的轨迹方程． (3)设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值． 【答案】(1)，，， (2) (3)证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，故 因为点，均在椭圆上，所以， 由，知，所以．从而 因此为定值． 【分析】（1）联立椭圆与圆的方程即可得出交点坐标； （2）设出直线的方程、直线的方程，求得交点满足的方程，利用在椭圆上，化简即可得到M的轨迹方程； （3）根据矩形与矩形的面积相等，可得坐标之间的关系，利用均在椭圆上，即可证得为定值. 【详解】（1）当，，时联立，得解得 ∴四个交点坐标分别为，，， （2）设，，又知，， 则直线的方程为 直线的方程为 由得 由点在椭圆上，故， 从而代入得 ； （3）略 4．(25-26高二下·广东深圳龙岗区龙城高级中学·期末)已知双曲线的一条渐近线的方程为，的右焦点到直线的距离为1，． (1)求的方程； (2)已知上的动点，关于轴对称，直线与交于另外一点，证明：直线恒过定点； (3)设与的渐近线不平行的两条直线，均与相切，且交点为，当，的斜率之积为时，判断是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由题知直线的斜率存在且不为零，设其方程为，     与联立，消去并整理得，                        则，且，即，且．                   设，，则， 则，，，                         直线的方程为，                                 令，得，                        所以直线过定点．                                                   (3)存在，定点（椭圆的左焦点） 【分析】（1）根据距离公式和渐近线中关系，求出，得到的方程. （2）设直线截距式方程与双曲线联立，结合判别式确定参数取值范围，利用韦达定理得到交点纵坐标关系；由对称点写出直线方程，令化简横坐标，借助韦达结论消参求得定点横坐标，完成定点证明. （3）设过动点且不与双曲线渐近线平行的切线方程，与双曲线方程联立，利用直线与双曲线相切时判别式建立等式，整理得到以切线斜率为变量的一元二次方程，结合韦达定理与两切线斜率乘积的定值条件化简，推导出动点的轨迹椭圆，再根据椭圆的定义，结合椭圆的两个焦点，确定使为定值的定点. 【详解】（1）设，由到渐近线的距离为1，得．解得， 又由及，解得，， 所以的方程为． （2）略. （3）设过点，与只有一个公共点，且与的渐近线不平行的直线方程为， 与联立，消去整理，得. 则，由，得， 整理得， 设的斜率分别为，则是上面关于的方程的两个实根， 所以，整理得， 所以动点在椭圆上，且点为其右焦点， 所以存在定点（椭圆的左焦点），使得，为定值． 5．(25-26高二·广东深圳罗湖区·期末)已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点． （i）若在轴上，求的取值范围； （ii）设为坐标原点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）设，则，， 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, ||||， 因为，在双曲线上，所以，，即，， 将，代入上式可得 ， 所以为定值. 【分析】（1）利用实轴长，虚轴长，焦距和求解； （2）（i）设，用表示，再求取值范围；（ii）设，则，用的坐标表示再求解化简. 【详解】（1）实轴长，虚轴长，焦距得 实轴长是虚轴长 2 倍得，即 因为，所以 所以的标准方程是 （2）（i）双曲线与x轴交点：令，得，故 设在双曲线上：， 斜率，直线方程 令，得纵坐标： 斜率，直线方程 令，得纵坐标：， 由，得， 由，得 ，，所以 ， 故取值范围是； （ii）略 ◆题型21 解答题中的定直线 1．(25-26高二下·重庆第一中学校·期末)已知双曲线：（，）的其中一条渐近线为，且点在双曲线上．、为双曲线的左、右焦点，、为双曲线的左、右顶点． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线的斜率，与双曲线交于、两点，以线段为直径的圆过双曲线的右顶点，求直线的方程； (3)过点的直线与双曲线的右支交于、两点，的重心为，判断重心是否在定曲线上，若在，求出该曲线的方程． 【答案】(1) (2) (3)（） 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程以及点在曲线上代入求解即可. （2）设出直线方程，联立双曲线方程，根据韦达定理以及向量垂直求解即可. （3）先联立直线与双曲线方程，通过韦达定理得到交点坐标的和与积；再利用右支交点条件确定参数范围；最后用重心坐标公式将参数消去，得到重心轨迹的曲线方程. 【详解】（1）由题意得：双曲线的一条渐近线方程为，则①. 点在双曲线上，代入得②. 由①②得，，双曲线的标准方程为：. （2）由（1）得：，设点，. 设直线的方程为：，与联立得， ，. 则，. ∵以为直径的圆过， . ， 或. 时，直线经过右顶点，此时交点中有一点与重合，不符合题意，∴直线方程为. （3）设，，将直线：代入双曲线方程， 得. 即 ,， . 因为直线与双曲线的右支交于，，所以，， 所以，. 因此，，因为， 所以的重心的坐标为，， 由，解得. 由，可得， 将代入， 得化简得， 所以的重心在双曲线上，曲线方程为（）. 2．(25-26高二下·陕西安康部分校·期末)已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． (1)证明：直线与的斜率之积为定值； (2)直线，与直线分别交于点，，求的最小值； (3)若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【答案】(1)由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． (2)6 (3)设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 【分析】（1）设，，可得，结合斜率公式分析证明； （2）设直线：，，结合（1）中结论可得，，再利用基本不等式求最小值； （3）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，设外接圆的方程为，代入点结合韦达定理分析证明. 【详解】（1）略 （2）设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． （3）略 3．(25-26高二下·河南信阳普通高中·期末)已知椭圆的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的标准方程． (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，点，过点的动直线与椭圆交于，两点（，均不同于，），直线与交于点，求证：点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2)法一：因为点，过点的动直线， 所以设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即． 设，，则，①． 因为，，所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得交点的横坐标②． 将，，代入②得③． 由①得，即④． 将④代入③中，得． 所以点的横坐标为4，即点在定直线上． 法二：设直线的方程为（当直线的斜率不存在时，即）， 将代入椭圆方程，得， 即．设，， 则，，可得①． 由，，得直线的方程为， 直线的方程为．联立②， 消去，并整理得． 将①代入等式左边，得． 比较，系数，得，解得． 所以点的横坐标为，即点在定直线上． 法三（仿射变换）：作变换，， 则椭圆变为圆． 点，，保持不变． 过的直线变为过的直线，与圆交于． 由圆的几何性质（相交弦定理或相似三角形）可知（同法二）， 直线与的交点的横坐标恒为． 变换回原坐标，横坐标不变，则点的横坐标为， 即点在定直线上． 【分析】（1）求出的值，利用求出，从而得到椭圆的标准方程. （2）法一：设直线的方程为，直线和椭圆联立方程组，利用韦达定理得到，，求出和直线的方程，联立解得交点的横坐标为定值，从而得到点在定直线上． 法二：设直线的方程为，利用韦达定理得到，，求出和直线的方程，通过消去，并整理得到，比较，系数解得，从而得到点在定直线上． 法三（仿射变换）：作变换，，点，，保持不变．过的直线变为过的直线，与圆交于．由圆的几何性质得到直线与的交点的横坐标恒为． 从而得到点在定直线上. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为，所以，即， 因为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，所以，解得， 所以， 则椭圆的标准方程为． （2）略. 4．(25-26高二下·广东广州大学附属中学·调研)在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）若直线斜率不为0，且直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）． （ⅱ）假设点在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与轴垂直．     由题可知的斜率不为，且直线：， 直线：，联立， 得 ， 所以点在定直线上． 【分析】（1）设，由题可得，化简可得曲线方程； （2）（i）由题得，当的斜率为时，由可得直线方程；当的斜率不为时，设：，，，将直线方程与曲线方程联立，然后由结合韦达定理可得，据此可得答案； （ii）假设N在定直线上，由椭圆对称性可得该直线与x轴垂直，然后将直线AM与BN方程联立，结合韦达定理可得定直线方程. 【详解】（1）设，由题得， 即， 整理得， 所以 的方程为． （2）（ⅰ）由题得，     当的斜率为 时，可取，或，. 则，符合题意，此时的方程为 ；     当的斜率不为 时，设：，，， 联立，得， 则，，．     ，， 所以，即，不成立．     综上，的方程为 ．     （ⅱ）略 5．(25-26高二上·广东中山第一中学·期末)已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． ◆题型22 解答题中的斜率 1．(25-26高二下·广东深圳龙岗区龙城高级中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 【答案】(1) (2)（i）设，则， 所以， 由，知 故， 故为定值． （ii） 【分析】（1）由及点在椭圆上进行求解； （2）（ⅰ）设，则由及平面向量的坐标运算进行求解； （ⅱ）由直线与椭圆方程联立，结合韦达定理得点的坐标，再求出，利用基本不等式求解． 【详解】（1）由椭圆上满足的点有且仅有2个知以为直径的圆与椭圆有2个公共点，故， 所以椭圆，代入，解得， 故椭圆的方程为 （2）（i）略 （ii）由（i）可知直线，直线； 联立，整理得：， . 故由韦达定理. 联立，整理得：， ， 故由韦达定理. 故， ， 故. 当且仅当时取等号； 此时，故在椭圆内成立； 综上所述：直线的斜率的最小值为． 2．(25-26高二下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立关于的关系式，联立求解即可； （2）根据直线与圆位置关系得出相应的关系式，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标表示，分式不等式的解法分析求解即可. 【详解】（1）由题意知双曲线的半焦距为：，① 又双曲线的渐近线方程为得：，② 由，③ 联立①②③解得：， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线的方程为：， 因为直线与圆相切，则有：， 又直线与双曲线交于两点， 联立直线与双曲线的方程得：， 消去整理得：， 由 ， 解得， 设，则， 由 ， 将代入上式得：， 化简得：，解得：， 即或， 所以的取值范围为：. 3．(25-26高二·贵州贵阳·)已知椭圆上顶点为，左焦点为，直线的斜率为2，且， (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆性质和斜率公式求解，可得椭圆方程； （2）设，直线 ，求得和，再设与椭圆方程联立，利用根与系数的关系根据求解. 【详解】（1）因为， ， 所以，， 故椭圆的方程为； （2）设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理， 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以， 又 ， 故即， 综上，或. 4．(25-26高二下·河南新乡·期末)已知抛物线的焦点为F，M是的准线与轴的交点，是上的一点，且． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点的直线与交于A，B两点，若为的重心，求直线OG的斜率的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）易知，则，     根据抛物线的定义，得，所以．     因此的方程为． （2）易得，设， 联立得消去得， ，     设的重心为， 则，     直线OG的斜率为，     要求直线OG的斜率的最大值，需使，则直线OG的斜率为， 当且仅当时，直线OG的斜率取得最大值1． 5．(25-26高二下·广东深圳某校·期末)已知椭圆过点，且离心率为． (1)求的标准方程； (2)设的左、右焦点分别为，，为直线上的动点，斜率为的直线与交于，两点，斜率为的直线与交于，两点. (i) 证明：为定值； (ii) 若，求的坐标． 【答案】(1) (2)(i) 由题可知直线，的斜率存在，设点， ，， ，，              ， ∴为定值. (ii) 和. 【分析】（1）根据椭圆离心率、关系式以及椭圆过定点建立三元方程组，联立求解出、即得椭圆标准方程； （2）（i）设直线上动点的参数坐标，写出两焦点与连线的斜率表达式，代入代数式通分化简后得证；（ii）分别联立两条焦点直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长乘积公式表示出、，结合关于的表达式代入等式化简求解参数，得到点坐标. 【详解】（1）由题意，可得， 解得， 故椭圆的标准方程为. （2）（i）略； （ii）由题可知直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立直线与椭圆方程得 ， ，， ，， ， 代入韦达定理，得， 将代入上式，得， 同理，联立直线与椭圆方程，得 ， ，， ， 将代入，得， 由，且，可得， 化简，得 ，解得或， ∴满足条件的点坐标为和.    ◆题型23 解答题中的共线 1．(25-26高二上·山东烟台·期末)平面直角坐标系xOy中，点到点的距离比它到直线的距离小1． (1)求点的轨迹的方程； (2)若E，F为直线上两点，且，过点E，F依次作轴的平行线分别交于M，N两点，判断：M，A，N三点是否共线？并说明理由． 【答案】(1) (2) M，A，N三点共线．理由如下： 设点，因为，所以， 即，所以． 由题意， 所以，显然， 因为      所以， 因为，有相同起点，所以三点共线． 【分析】（1）由题意可得点到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线的定义可求抛物线方程； （2）设点，由已知可得，，可得，进而证明两向量共线即可. 【详解】（1）由题意可知，点到点的距离与它到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为顶点、以为焦点的抛物线． 设该抛物线的方程为，则，即， 所以，抛物线的方程为． （2）略 2．(25-26高二上·浙江杭州杭州第二中学·期末)已知双曲线：过点，且离心率. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知动点，且.过双曲线的右焦点的直线交于，两点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，且. （i）取、分别为，的中点，为坐标原点.证明：、、、四点共线； （ii）记的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) （i），设方程：，， 联立得， 其中， 则由韦达定理得， ，， 则， 由于，则设方程，， 联立得， 其中， 则由韦达定理得， ，， 则， 则三点共线， 由于，交于， 则与相似， 则，， 由于、分别为，的中点， 则， 则与相似， 则， 由于三点共线，则三点共线， 则四点共线. （ii）. 【分析】（1）由双曲线所过点，离心率，以及双曲线中的关系，列方程求解即可； （2）（i）设方程与双曲线联立，由韦达定理表示出中点的坐标，表示出，由同理得，得三点共线，再由相似三角形证明三点共线，从而可证四点共线； （ii）由（i）得出四点共线，得出，结合韦达定理表示出，换元后求导可得最小值. 【详解】（1）由题意解得， 双曲线的标准方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）四点共线，则，可得， 点到直线的距离， ， 则， 则， 设，则， 则， 则， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， 则，此时 则.    3．(24-25高二下·重庆拔尖强基联盟（西南大学附属中学校等）·)已知在平面直角坐标系内，点到直线的距离是到点的距离的倍，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程， (2)已知上一动点，过且垂直于的直线交曲线于两点，线段的中点为. ①证明：共线： ②若曲线上存在点，使得，且.求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)； (2) ①证明：根据（1）可得曲线是椭圆，,右焦点为. 因为点在直线上，故可设，则. 又因为，故直线方程为：，代入整理得. 设，则，，. 设中点，则， 直线，所以， 则在直线上，即共线； ② 【分析】（1）利用设点法，用距离公式表达已知条件，整理可得到曲线的方程，整理为椭圆的标准方程； （2）①设，可得直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示线段中点坐标，得到直线的方程，进而证明三点共线；②根据已知向量关系，得到点，代入椭圆方程，利用范围求得的范围，进而利用面积公式将表示四边形面积表示为的函数，求得面积的取值范围.. 【详解】（1）设，因为，所以，整理得 （2）①略 ②因为，则， 代入得, 即. 方法1：因为，所以四边形面积 . 方法2： . 4．(24-25高二上·河北沧州部分学校·月考)已知抛物线的焦点为F，点在C上． (1)判断直线与C的公共点个数； (2)若直线与C交于另外一点Q，直线与C的准线垂直，垂足为R，O为坐标原点，求证：点P，O，R共线． 【答案】(1)1个； (2) 抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设，则，即， 抛物线的准线方程为，由垂直于C的准线于，得， 直线斜率，直线的斜率，因此， 又直线与直线有公共点，则直线与直线重合， 所以点共线.    【分析】（1）联立直线与抛物线方程，确定方程组解的个数即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，用表示点的纵坐标，再利用斜率坐标公式计算推理得证. 【详解】（1）由点在抛物线上，得， 由消去并整理得：，即， 此方程有两个相等的实根，则有两个相同的实数解， 所以直线与抛物线C相切，有1个公共点. （2）略 5．(23-24高二下·广东深圳·期末)已知椭圆的焦距为，直线过点，且与椭圆相交于两点，是线段的中点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若梯形的顶点都在椭圆上，且，对角线和交于点，线段的中点分别为. (i)证明：四点共线； (ii)试探究直线与直线的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (i)不妨设的中点为，的中点为， 再设 由题可知直线斜率必存在，且， 以上两式相减得， 即，同理， 因为可得：，则，即三点共线； 又因为四边形是梯形，且与交于， 由平面几何知识可知三点共线， 即得证四点共线； (ii)由(i)可知，，而， 所以， 设直线的方程为：，设直线的方程为：， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得：，不妨设， 同理，， 因为，所以 化简得：， 即 上式两边平方化简得：， 由平面几何知识易知三点共线，故设， 由可得， ，， 所以，即或（舍去） 化简得：， 结合，可得， 故直线与直线的交点为定点. 【分析】（1）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式来求解椭圆方程； （2）(i)用点差法可得中点弦斜率与中点与原点的斜率之积为定值，利用斜率相等来证明三点共线； (ii)用坐标来研究斜率，再用三点共线得到斜率相等，来找到相等关系，最后求出定点. 【详解】（1）由直线过点，得， 联立，消得：，易知， 设，则，整理得：， 又因为，所以，解得， 即椭圆. （2）略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. ◆题型24 解答题中的角度 1．(25-26高二下·河北NT20名校联合体·期末)已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于，两点，且的中点为. (1)求双曲线的方程； (2)过向双曲线作两条切线，切点分别为，. （i）证明：直线的方程为； （ii）设为双曲线的左焦点，证明：. 【答案】(1) (2)（i）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，. 联立得， 则，化简得.             因为方程有两个相等实根， 所以，，则， 所以，即， 故直线的方程为，同理可得直线的方程为.             又直线，均过点， 所以，，故直线的方程为，即.          （ii）由题可得，则， ， .             不妨设点在第一象限，则，，所以，， 则， ， 故，故. 【分析】（1）设两点坐标并代入双曲线方程，通过题目条件建立相关等式进行求解； （2）（i）设的直线方程和两点坐标，并联立双曲线方程，再运用切线的相关性质求出的直线方程的表达式，同理可得的直线方程的表达式，最后经过同一点求出的直线方程； （ii）先将形成的夹角余弦求出，比较两个余弦值的关系进行验证. 【详解】（1）解：设，，则，， 两式作差可得，即. 又，，，所以.         又，所以，，所以双曲线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 2．(25-26高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，椭圆：的左、右焦点分别为、，点和点是椭圆的左顶点和上顶点．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为右焦点，且，．    (1)求椭圆的方程； (2)直线过椭圆的右焦点，且与相交于、两点， ①若，求直线的方程； ②在轴上是否存在点，使得无论如何变化，被轴平分，如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式求解；②假定存在并设出点的坐标，利用斜率和为0列式求解. 【详解】（1）依题意，点， 设椭圆的半焦距为，则， 由，得，则， 由，得∽， 因此，即，则， 由，得， 联立解得， 所以椭圆的方程是. （2）①由（1）知，显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 设， ，， 又， 则 ， 整理得，解得， 所以直线的方程为. ②假设在轴上存在点，使得被轴平分， 则直线斜率互为相反数， 设，由①得， 则，即，而不恒为0， 因此，解得， 所以在轴上存在点，使得被轴平分，点坐标为.    3．(25-26高二下·四川成都·)已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，点在上，且. ①求的外接圆的标准方程； ②设直线与交于另一点，求的大小. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解方程组求出即可得出答案； （2）①由求得点坐标，并结合圆的有关性质求得的外接圆的圆心坐标、半径，即可得出答案； ②设直线的斜率分别为，先求及直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立求出点的坐标，通过计算得到即可求出的大小. 【详解】（1）由已知，得，解得， 故的方程为. （2）①由已知，. 由知，点在线段的中垂线上. 又点在：上，联立,解得，所以.     易知的外接圆圆心也在线段的中垂线上. 设，连接并延长交的外接圆于，连接. 在中，，且. 由射影定理有. 即. 解得，故.     所以的外接圆的标准方程为.     ②设直线的斜率分别为，则，故其方程为.     联立，得，解得（舍去）.     故，所以. 故.     因为，所以.    4．(25-26高二下·广西梧州·期末)已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，直线过点且与相交于，两点，若最小值为3． (1)求的方程； (2)若的面积为，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆离心率公式推出关系，结合椭圆参数恒等式得到关系，再依据椭圆通径最小值公式求出参数，进而确定椭圆标准方程； （2）根据椭圆焦点三角形面积公式求出点的纵坐标，代入椭圆方程得到横坐标平方，再利用向量点积公式结合椭圆坐标性质化简计算得出结果； （3）借助椭圆定义表示出三角形三边长度，联立直线与椭圆方程结合线段比例关系求出参数，通过弦长公式确定边长数值，最后利用余弦定理求出对应角的余弦值. 【详解】（1）已知离心率，故，由椭圆关系得， 过焦点的弦中，通径最短，通径长为，代入得：，即， 解得，因此，，椭圆的方程为：. （2）由（1）得，，，设， 则的面积，故， 代入椭圆方程得， 又，， 所以. （3）设，，由椭圆定义，，， 设直线，代入椭圆得， 设，则 由得，所以， 解得， 所以 ， 即，解得，所以，， 由余弦定理.    5．(25-26高二下·云南文山州马关县第一中学校·月考)已知椭圆C： （）的离心率为，且点在 上， 为坐标原点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若点 的坐标为，证明：； （ⅱ）若，当时，求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）如图，当直线 与 轴重合时，显然成立； 当直线 与 轴不重合时，设直线 为，，， 联立那么可得， 根据韦达定理可得，， 那么根的判别式． ， 由于， 因此， 因此， 的倾斜角互补，因此． （ⅱ） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与 轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）根据已知条件可得，解得， 所以椭圆C为 ． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由，那么． 那么可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以． 又由于， 因此，， ． 令，那么， 所以． ◆题型25 解答题中的切线 1．(25-26高二下·甘肃临洮中学、临洮县第二中学等校·期末)已知椭圆： 的离心率为，抛物线： 的焦点为，椭圆与抛物线交于点，且． (1)求椭圆及抛物线的标准方程； (2)若直线与椭圆、抛物线都相切，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为. (2)直线的方程为或. 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求抛物线方程；根据点在抛物线上及椭圆离心率得到，，代入椭圆方程求解即可. （2）设出直线方程，与抛物线方程、椭圆方程联立，结合相切时求解即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点为，点在抛物线上， 由抛物线定义得，代入得，解得， 故抛物线方程为. 点在抛物线上，则有. 由椭圆离心率，得，即. 椭圆方程可化为. 将点代入椭圆方程得，解得. 则. 故椭圆方程为. （2）设直线：， 当不存在时，若与抛物线相切，则，但与椭圆相切要求，矛盾，故斜率存在. 当直线与抛物线相切时， 联立，整理得， 由，得，化简得，即. 当直线与椭圆相切时， 联立，整理得， 由，得， 代入，化简得， 整理得，即，解得（负值舍去）， 所以，此时. 故直线的方程为或，即或. 2．(25-26高二·广东广雅中学·期中)已知椭圆的离心率为，椭圆的焦距为， (1)求椭圆的方程； (2)已知点为椭圆上一点，直线， （i）证明直线与椭圆相切； （ii）设为原点，直线与直线分别交于．设和的面积为，比较与的大小． 【答案】(1) (2) （i）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 所以直线与椭圆相切； （ii）. 【分析】（1）根据椭圆焦距以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）（i）联立化简可得，解得切点为，即可证明直线与椭圆相切. （ii）联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 【详解】（1）由题意可知：，所以，又因为，所以， ， 故椭圆E的方程为； （2）（i）略 （ii）设，易知，当时，由对称性可知，； 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 3．(25-26高二下·湖南长沙第一中学·开学考)双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P. (1)求双曲线C的方程； (2)证明：点P在定直线h上； (3)连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切. 【答案】(1) (2) 证明：，所以，，， 设：， 联立得， 因为直线与右支交于两点，故. 设，，所以，， 故， 且， 所以， 因为，所以， 代入得， 故，所以点在定直线上. (3) 证明：由（2）知，故， 而，所以， ， 所以的中点， 又 ， 所以，即， 所以点在以为直径的圆上， 另一方面，故直线的方向向量为, 而的方程为，故其方向向量为, 因，所以两个方向向量垂直，故， 所以以为直径的圆与直线相切于F点. 【分析】（1）根据实轴长求出，根据所过的点求出，故可求双曲线的方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程后化简后可求，故可证点在定直线上； （3）结合（2）中的结果及韦达定理可证，再由斜率公式可得，故可证以为直径的圆与直线相切于F点. 【详解】（1）由题意得，所以，， 又因为双曲线过点，代入解得， 所以双曲线C的方程为. （2）略 （3）略 4．(25-26高二·广东南澳县南澳中学·期中)已知椭圆，它的一个焦点为，且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆的方程是，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线与，求证. 【答案】(1) (2)设，若过点P的切线斜率都存在，设其方程为 ， 由得， ， 因为直线与椭圆相切，， ， 整理得， 椭圆C的两条切线的斜率分别为，， 点P在圆上，，即， . 若过点的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为， 则的方程为，的方程为， 所以 .综上，对任意满足题设的点，都有 . 【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标得到，结合与椭圆的定义可得椭圆的标准方程. （2）设圆上一点，利用直线与椭圆方程联立，令判别式为零，得到椭圆切点坐标满足的关系，结合点在圆上得到，进而证明 . 【详解】（1）由椭圆的一个焦点为可知，故椭圆的另一个焦点为, 则， ，. 椭圆的标准方程是. （2）略 5．(25-26高二下·云南开远第一中学·期中)已知抛物线的标准方程为：，且点在抛物线上. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，求直线的斜率； (3)过点作圆的两条切线，，切线与抛物线的另外一个交点分别为，.且直线与圆也相切，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线的方程中求出的值，从而得到抛物线的标准方程； （2）由过点作两条倾斜角互补的直线，，两直线与抛物线的另外一个交点分别为，，得到直线，都存在斜率，且，斜率存在且，利用斜率公式求出，同理得到，，由，得到，从而得到； （3）由过点作圆的两条切线，，则直线和的倾斜角互补，则，则由（2）可知，设，，.通过联立抛物线和直线，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到.由和在抛物线上得到和.利用点斜式求出直线的方程，通过计算得到直线的方程，同理得到直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到的距离，利用直线和圆相切得到，通过计算得到，从而得到圆的方程. 【详解】（1）抛物线的标准方程为：，且点在抛物线上， 则，所以，所以抛物线的标准方程为：； （2）因为过点作两条倾斜角互补的直线，， 两直线与抛物线的另外一个交点分别为，， 则直线，都存在斜率，且，斜率存在且， ，同理，， 所以， 得到， 所以； （3）因为过点作圆的两条切线，， 所以直线和的倾斜角互补，则，则由（2）可知， 设，，. 联立，得，所以. 因为，在抛物线上，所以，. 直线的方程为：， 两边去分母得：， 即.所以， 同理可得， 圆心到的距离， 化简得①， 同理得②； 由①②发现，为方程的两根， 所以，又因为， 所以③， 圆与直线相切，所以得到， 将③代入上式得到：， 等式两边平方，并令，化简得，又因为， 所以，所以圆的方程为：. ◆题型26 解答题中的内切圆 1．(25-26高二上·广东广州三校·期末)平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，点在上，且轴，的内切圆半径为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆，直线与圆相切，且与相交于两点，求证：； (3)过点作斜率之积为1的两直线，若交于两点，交于两点，分别为的中点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 当直线斜率不存在时，或， 当时，将代入椭圆方程的方程得，可得， 不妨取，则， 所以，此时， 同理可证，当时，； 当直线斜率存在时，设，因为直线与圆相切， 所以，即， 联立方程，整理得， 方程的判别式 设，则， 因为， 所以， 即 , 因为，所以，所以； (3) 【分析】（1）由题意，由面积公式列式求得，即可求解. （2）讨论切线斜率是否存在，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理及向量的数量积证明两直线垂直. （3）先联立方程韦达定理求得直线恒过定点，然后代入三角形的面积公式，换元，由基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）易知椭圆的焦点在x轴上，因为轴，所以将代入椭圆的方程得， 可得，则， 又的周长为， 的内切圆半径为， 因为， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）． 所以，所以椭圆的标准方程为； （2）略 （3）由题意直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 设，联立， 整理可得， 可得，， 所以的中点， 同理可得的坐标，即， 当，的横坐标不相等时，，所以， 则， 所以的方程为， 整理可得，所以直线恒过定点. 当，的横坐标相等时，，即，， 此时两直线重合，不合题意； 综上，直线恒过定点. 可得 ， 设，则， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立. 所以面积的最大值为.    2．已知椭圆C：，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆交于A，B两点． （ⅰ）若，记线段AB的中点为，求的坐标； （ⅱ）若点在第一象限，直线交椭圆于另一点，设分别是的内切圆半径，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是. （ⅱ）． 【分析】（1）根据椭圆的定义求出，进而可求出椭圆的标准方程. （2）（i）分两种情况讨论，当线斜率不存在时和当线斜率存在时，分别求出，根据其值为0求出点的坐标；（ii）设直线的方程可化为，联立该直线与椭圆方程组，结合韦达定理，化简的表达式，然后利用基本不等式的性质求出最大值即可. 【详解】（1）由，得． 由离心率，得． 则．所以椭圆的标准方程为． （2）（ⅰ）由（1）得点坐标，易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 因为，所以. ①直线斜率不存在时，在椭圆方程中令，得， 不妨设，所以； ②直线斜率存在时，设直线的斜率为，则其方程为. 设，联立，消去得， 则有，所以 解得. 当时，， 所以点的坐标是； 同理当时，点的坐标是. （ii）设直线的方程可化为，联立， 消去得，则有， 所以，又，所以，则． 同理设，则． 所以 ． 当且仅当，即，时取等号． 故的最大值为． 3．(24-25高二下·云南保山·期中)法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆 的蒙日圆方程为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据椭圆的离心率及蒙日圆方程列出的方程，即可求解； （2）（i）求得，可知轴，由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，利用等面积法求出，得内切圆的圆心坐标，进而可得内切圆的方程； （ii）设，，，点在椭圆上，得，利用等面积法可求得，，从而，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可求得，，从而，结合基本不等式可求得答案. 【详解】（1）由题意得，，且， 因为椭圆的蒙日圆方程为，所以， 解得，，.     故椭圆的标准方程为. （2）（i）点的横坐标为2，， 又，轴， 由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，     ， 且的周长为，     又， ，内切圆的圆心为， 内切圆的方程为.     （ii）设，，，， 因为点在椭圆上，所以，即 由， 即，解得， 同理可得，，，     ，直线的方程为， 由，化简得，     ，得， 同理可得，， ，     由， ，     当且仅当，时，等号成立， 所以的最大值为. 4．(24-25高二下·安徽临泉田家炳实验中学·开学考)抛物线，直线交抛物线C于P，Q两点，且，已知点，且☉M与l相切. (1)求☉M及抛物线C的方程. (2)已知，A，B为抛物线C上不同的三点，且，证明：无论点N的位置怎么变化，一定存在A，B两点，使得☉M为的内切圆. 【答案】(1) (2) 题设证明可以转化为过点N作☉M的两条切线，分别与抛物线C交于异于点N的A，B两点，且直线AB与☉M相切. 设， 由（1）知，点，且， 所以直线的方程为， 即. 因为直线与☉M相切，所以， 整理得， 同理可得， 所以是关于x的方程的两根， 所以， 又因为直线的方程为， 所以☉M的圆心到直线的距离为， 与☉M的半径相等，直线AB与☉M相切，故无论点N的位置怎么变化，一定存在A，B两点使得☉M为的内切圆. 【分析】（1）首先求得圆的半径即可得到圆的方程，进一步根据得到点在抛物线上，由此求得即得抛物线方程； （2）设，则可得直线的方程为，根据与圆相切可得，由同理思想可得是关于x的方程的两根，由韦达定理可得，写成的方程，只需证明点到直线的距离等于半径2即可得证. 【详解】（1）点，且☉M与相切，所以半径为2， 所以☉M的方程为. 依题意设抛物线， 由可得， 则点在抛物线上， 代入抛物线方程，得， 所以抛物线C的方程为. （2）略 5．(24-25高二上·广东广州·期末)已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，已知平行四边形存在内切圆. （i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程； （ii）求平行四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）该内切圆是定圆，其方程为：. （ii） 【分析】（1）根据条件，确定，可得椭圆方程. （2）（i）分析平行四边形的形状，求内切圆的方程即可. （ii）表示出平行四边形的面积，借助二次函数的性质求范围，注意分情况讨论. 【详解】（1）易知，即，又点在椭圆上， 所以 . 所以椭圆标准方程为：. （2）（i）如图： 因为点，，为椭圆上不同三点，且，关于原点对称，以，为邻边作平行四边形，所以点也在椭圆上. 又存在内切圆，所以圆心必为，设圆的半径为. 所以点到直线，，，的距离相等，均为， 又，，，的面积相等， 所以，故为菱形. 所以. 当直线存在斜率，且斜率不为0时，设直线：， 由 ，不妨取. 用代替，可得. 由 ， 即. 当直线斜率为0时，可取,，则，所以. 当直线不存在斜率时，类似可得：. 所以该内切圆为定圆，其方程为：. （ii）当直线斜率为0或不存在时，. 当直线斜率存在且不为0时， 令（），则 ， 因为，所以，所以 所以 . 综上可知： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线求最值问题，常用的方法有： （1）转化成二次函数的值域问题求范围； （2）利用基本（均值）不等式求最值； （3）利用三角换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）利用导数，分析函数的单调性，求函数的最值. ◆题型27 解答题中的共圆 1．(25-26高二上·浙江温州浙南名校联盟·期中)如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． (1)写出的坐标； (2)证明：直线过定点； (3)、、、四点能否共圆？请说明理由． 【答案】(1) (2) 若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾， 故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、， 由，得， ， 由韦达定理可得，． 由，得， 又，故， 即， 则， 化简整理得，于是直线的方程为， 因此直线过点. (3) 、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为 ，即． 同理，线段的垂直平分线方程为． 联立上述两个方程，得的外心的横坐标为 ． 因，故， 所以，于是， 所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 【分析】（1）求出、、的值，即可得出点的坐标； （2）由题可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，设点、，将该直线的方程与椭圆方程联立，由已知条件得出，结合韦达定理得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可求出直线所过定点的坐标； （3）求出线段、的中垂线的方程，将这两直线的方程联立，求出外心的横坐标，根据可得出结论. 【详解】（1）在椭圆中，，， 则，故. （2）略 （3）略 2．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据斜率的计算公式代入求解即可. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合圆的性质、韦达定理及向量垂直的坐标表示化简求解即可. 【详解】（1）由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得 . 故动点的轨迹方程为 . （2）易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 3．(25-26高二上·四川成都石室天府中学·期末)设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 4．(25-26高二下·海南部分校·期末)已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，且． (1)求C的方程． (2)设C的上顶点为P，过点的动直线与C交于A，B两点． （ⅰ）若B与C的下顶点重合，求的面积； （ⅱ）过点B作y轴的垂线，与直线交于点Q，证明：直线AQ被圆E：截得的弦长为定值． 【答案】(1) (2) （ⅰ）； （ⅱ）当直线AB的斜率为0时，其与x轴重合，直线AQ也与x轴重合，此时直线AQ被圆E截得的弦长即为圆E的直径. 当直线AB与x轴不重合时，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，即证明即可． 设AB的方程为， 由得， 设，，则①，②． 由题意知，所以，． 要证， 即证， 即， 将①②式代入，可得左边＝右边，等式成立． 因此原命题得证． 【分析】(1)利用半焦距与离心率得到，再求出； (2)（ⅰ）求出A的横坐标，求解； （ⅱ）分直线AB的斜率为0和直线AB与x轴不重合两种情况，要证明直线AQ被圆E截得的弦长为定值，只需证明直线AQ恒过圆心，证明即可． 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意知，所以， 因为离心率为，所以，， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，， 当B与C的下顶点重合时，，此时直线AB的方程为， 由得，解得或0， 因为点B的横坐标为0，所以点A的横坐标为， 所以． （ⅱ）略 5．(25-26高二下·广东广州华南师范大学附属中学·期末)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，横坐标 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义，列出方程，求得，即可求解； （2）设直线的方程为，且，联立方程组求得， 法一：由，代入整理得到，转化为不等式对恒成立，列出不等式组，即可求解； 法二：设直线的方程为，且，求得以为直径的圆的方程，根据点在圆内，得到对恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线的定义知：， 因为，可得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）解：设直线的方程为，且 联立方程组，整理得， 判别式恒成立，且， 法一：由，可得， 将代入，可得 ， 再将代入得， 整理得， 由恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 法二：设直线的方程为，且， 可得，所以圆心为， 由， 圆的方程为， 因为点在圆内，可得， 整理得， 因为恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．(25-26高二·河南信阳淮滨县·期末)已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 2．(25-26高二·安徽合肥庐江县·期末)我们知道，对勾函数的图象实际上是双曲线，它是由标准双曲线经过变换得到，它满足双曲线的基本性质．则函数的图象对应的双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数有两条渐近线，，设渐近线的夹角为，可得，，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：函数有两条渐近线，， 设渐近线的夹角为，，直线的倾斜角为， 则，，可得， 则，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以所求双曲线的离心率为. 3．已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以 ， 所以. 又 . 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 4．(25-26高二下·河南许昌禹州十一校联考·期末)过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设直线方程联立得韦达关系式，用向量垂直列方程求参，再用抛物线焦半径性质得比值. 【详解】由题意知，设，，，其中． 由消去x，得，则，． 所以，． 因为，所以，因， 则得， 即， 将韦达定理代入，得， 整理得，即，解得， 所以，解得，，则．    二、多选题 5．(25-26高二·广东潮州·期末)抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 【答案】ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 6．(25-26高二下·四川凉山州·期末)已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【答案】BCD 【分析】先由双曲线的定义及圆的切线长定理得，从而可得，进而可判断A错误；对B由向量的坐标运算可得，从而可判断渐近线方程；对C在焦点三角形中用余弦定理可得离心率；对D由勾股定理及双曲线的定义可得. 【详解】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以 ， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 7．(25-26高二·河南驻马店部分校·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则（     ） A．若，则 B．与圆有四个交点 C．的重心的轨迹方程为（） D．的内心的轨迹方程为（） 【答案】ABD 【分析】对于A，根据椭圆的定义及三角形面积公式求解即可；对于B，根据圆与椭圆的位置关系判断即可；对于C，根据重心坐标公式代入求解即可；对于D，根据内心坐标公式及焦半径公式求解即可. 【详解】由，知，，，，，. 对于A，已知，为中点，，则为直角三角形，且. 由椭圆的定义得，，则， 又，所以. 所以，A正确. 对于B，圆的圆心为，半径为. 圆心在原点附近，圆的右边界，左边界； 上边界，下边界， 所以圆会与椭圆的上下左右均相交，共有四个交点，B正确. 对于C，设， ， 则，，所以，， 代入椭圆方程，即 ，C错误. 对于D，任意中，对边分别为，设，，，内心为， 因为平分，则，所以分的分比. 所以，. 在中，平分，则，由，，解得， 所以，即分的分比， 所以， 同理，即. 所以的内心坐标为， 三角形周长， 即，也即. 由焦半径公式得，， 则， 所以，即. 设的内心为 ，则，，即，， 代入椭圆方程得，整理得（），D正确. 三、填空题 8．(25-26高二·福建厦门第六中学·月考)过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于，两点．若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】设，，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，，由，得. 设直线方程为. 联立，整理得， 由题意可知不等于零，， 所以，，所以，， 所以，整理得， 所以，即，所以， 又，所以. 9．(25-26高二·广东广州艺术中学·期末)已知抛物线的顶点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，直线与直线相交于点，则点到直线的距离的最小值是______． 【答案】 【分析】分析可知，直线不与轴垂直，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，可知轴，再利用基本不等式可求得到直线的距离的最小值. 【详解】如下图所示： 设点、， 若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 将代入得，即点，故轴， 所以直线的方程为， 故点到直线的距离为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故点到直线的距离的最小值是. 故答案为：. 10．(25-26高二·安徽宣城·期末)已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，左右顶点分别为，，右焦点为F，且M，N是双曲线C位于第一象限的两点，，若，则______． 【答案】 【分析】由题意，，余弦定理得，得，由，求，最后由求值即可. 【详解】依题意，，则， 设双曲线的左焦点为，连接，则，因，则， 在中，由余弦定理，，则，， 又，故. 设点，则易得，即， 由，可得， 则， 故. 故答案为：. 11．(25-26高二上·安徽宿州第二中学·期末)已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解． 【详解】设，，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，， 则，，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故答案为：. 四、解答题 12．(26-27高二上·浙江Z20名校联盟·)已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值； (3)已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明：设，，，， 设直线：， 联立， 得，， ， 即，同理，，． 设直线：，令 则 ． 所以，直线的斜率为定值． 【分析】（1）根据及离心率得出，再根据即可求解； （2）分类讨论，当时，即可得出，当时，设：，结合韦达定理即可得出； （3）设，，，，设直线：，与椭圆方程联立结合韦达定理得出和，由斜率公式化简计算即可证明． 【详解】（1）由题知，，则，， 所以椭圆方程为． （2）①当过左焦点的直线斜率为时，设，，， 即，，故． ②当过左焦点的直线斜率不为时，设直线方程为：， 联立，得，， ，． 由得，， 即，同理， 即， 综上所述，． （3）略 13．(25-26高二下·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线恒过定点  的取值范围为 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据，求的值； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据，结合根与系数的关系确定直线恒过定点；求出点的轨迹方程，利用几何意义确定的取值范围． 【详解】（1）联立直线与抛物线方程： ，消去得， 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，即， 因为，所以， 所以抛物线的标准方程为. （2）设直线，，，. 联立，得， 根据根与系数的关系得，. 由 ，得，即， 其中，故， 所以得，，因为，所以， 因此直线，恒过定点. 因为点在直线上，所以， 又，，故，即. 将及代入， 得，整理得，，即， 又直线不过原点，所以点的轨迹方程为.其轨迹为圆心，半径为2的圆，去除点. 令，得， 由，解得， 因此的取值范围为. 14．(25-26高二下·广东韶关·期末)已知双曲线：的焦距为4，它的一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，的外接圆交轴于另一点. （i）证明：； （ii）若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）， ， 所以，即， 在与中， 又，所以， 所以，即； （ii）或 【分析】（1）根据已知列方程求双曲线参数，即可得； （2）设，，联立双曲线并应用韦达定理得，，且，（i）应用斜率的两点式整理化简得，从而有，再应用正弦定理且，即可证；（ii）设，利用四点共圆及韦达公式得，再由向量数量积的坐标表示列方程求，即可得. 【详解】（1）由题可知， 解得，所以双曲线的方程为； （2）由题知，设，， 联立， ，且，， 因为都在双曲线的右支上，所以有，解得， （i）略； （ii）设，由四点共圆得且， 即， 所以， ， 解得或，因为，所以，， 即所求直线的方程为或. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $