3.2.2 第2课时双曲线的标准方程及性质的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

所求双曲纹的行准疗程为号-号=引。 4 (2)解法一：·双曲线的渐近线方程为y=± 1 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为号 =1(a>0,b>0) 点A(2,-3)在双曲线上，∴. ①②联立，无解 点在抽上时，设所求双曲线的标准方程为 a 1(a>0,b>0), 则号宁③ 点12.-3)在双尚线上是-告=1.@ 联立③④，解得a2=8,b=32. 。所求双曲线的标准方程为g~2三1， 解法二：由双曲线的渐近线方程为y=士了，可设双曲线方 程为号-子-Aa≠0). A(2,-3)在双曲线上， 22 六2-(-3)2=A,即A=-8. ·所求双曲线的标准方程为。-号 832=1. 例3：(1)0(2)5+1 2 (1)已知双曲线C: a2-F=1(a>0,b ，所以、1 >0)的离心率为5故有少=子 a2 以片=解得 之放双曲线C的渐近线方程为y=±分 (2)设点F(c,0),点B(0,b),则直线FB:bx+cy-bc=0与渐 近线y=6x垂直，所以-么.么=-1，即6=c,所以c2 仑L 2=ac,即e2-e-1=0,所以e=5+l或e=15(舍去). 2 跟踪训练3：【解析】设F,(c,0),将x=c代入双曲线的方程得 号若1，那么y号 由IPF,I=IQF,I,∠PF,Q=90°， 知IPFI=IFF21, 所以号-2，所以广-2a 所以c2-2ac-a2=0, 所以（台月 -2×6-1=0, a 即e2-2e-1=0, 所以e=1+√2或e=1-√2（舍去）， 所以双曲线的离心率为1+2 23 随堂检测重反馈 1.B由已知得左焦点的坐标为(-5,0)，右顶点的坐标为(3， 0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 2A即双南线方程2-=卫化为标准方程为5员-云1， 可得a=42,b=2,c=6,所以双曲线的实轴长为82，虚轴长 为4，焦为12，离公率为3识 3.A令y=0,得x=-4,.等轴双曲线的一个焦点为(-4,0)， c=4,d2==7c=分×16=8，即双曲线方程为2-y =8. 3 5 4.y=± =3…合=÷又：双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程 4.a3 专茶三(a>0,b>0)双曲线的渐近线方程 ±只，心所求双曲线的渐近线方程为y=±子 3 第2课时双曲线的标准方程及性质的应用 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 (1)渐近线(2)两个一个没有 知识点二 1.(1+k)[(x1+x2)2-4x12] 预习自测 1.B由题意，由于渐近线与双曲线没有公共点，如图所示，若直 线1平行于双曲线的一条渐近线，故与双曲线的公共点个数 为1个.故选B. 2.1由得[=1直线y=+1与双南线2 1x2-y2=11=0, y2=1有且仅有1个交点. 3.23 由双曲线C:号-=1标准方程可知：a=5,6=1,所 以有c=√a+b=√3+I=2,因此焦点的坐标为（±2,0）， 由双曲线的对称性不妨设直线AB过右焦点(2,0)，所以直线 AB的方程为y-0=an牙·(x-2)→y=x-2,与双曲线联 立得学-=l22-12x+15=0,设A(),B3), Ly=x-2 因此有+=6，=5，所以1B1=21x-=巨· √西+)-4=2×√6-4×5=25 2 题型探究提技能 例1：【解析】(1)由题意作出花瓶 上半部分轴截面，并建立平面直 角坐标系，如图： 设双曲线的方程为： 2 0 =1, A a 6 (a>0,b>0). 由题意，瓶口直径为40cm,最小 瓶口直径为A1A2=20, 所以a=10,M(20,20) 故00_400=1，解得62=400， 100b2 3 所以双曲线这部分的方程为040=10≤1x1≤20) 3 (2)c2=100+400=3,所以c=1021 3 3 ,所以e=2红 31 跟踪训练1：B 22 4 =1,=4.6=2.A不符合题意：子 x2 4 1 3 3 =1,b=1,6=1,B符合题意：买- 4-4 =1,实轴在x轴上，C 3 不符合题意： -y2=1,实轴在x轴上，D不符合题意.故 3 选B. 例2：【解析】由=x-1:得(1-2)2+2-2=0. 1x2-y2=1 由题意知该方程有两个不同实根， 故-0， 14=(2k)2-4(1-2)×(-2)>0 k2≠1，. “公2”-5<<万且k≠±1，缘上，k的取值范国为 (-2,-1)U(-1,1)U(1,2). 跟踪训练2：D将y=+2代人x2-y2=6,得(1-2)x2-4hx (4=16k2+40(1-2)>0, 4k -10=0,则5+61二F>0, 解得至<- -10 5-R>0, 例3：【解析】（1)因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程 为号若=1a>0,6>0. 由题意得2c=4,所以c=2,① 又双曲线C的一条渐近线为y= 3, 又a2+b2=c2,③ 联立上接式子解得a=5,6=1,故所求方程为号-2=1 (2)设A(1y1),B(22), [=2x-1, 联立 参理得子+3x-6=0, 3-=1, 由4=3-4××(-6)=15>0，所以+5=-12,5=-24， 2 即AB1=+R·属+-4西=√+（兮）· (-12)2-4×(-24)=105. 跟踪训练3：【解析】(1)因为双曲线C与双曲线：-之=1有 相同的渐近线， 所以可设英方程为2-号=AA0), 将，点(2,0)的坐标代入得入=4，则所求 双准线的不准方系为号-古 =1. (2)设A(x1,y1),B(x2),因为AB的 中点为M(3,3),则x1+x2=6,y1+y2 =6. 48 48 所以g（0+)0-)=子4+)x- 即gx6×(-⅓)=子×6x(西-)，测g(-) 子(-)，所以二空=2， x1-x2 所以直线AB的方程为y-3=2(x-3),即2x-y-3=0 当直线为2x-y-3=0时，联立491与 [2x-y-3=0, 得2x2-12x+17=0,4=122-4×2×17>0,符合题意， 故直线AB的方程为2x-y-3=0. 随堂检测重反馈 1.B直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切 （直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直 线与双曲线一定有唯一交点 2.C将y=x-1代人2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦 的中点的横坐标为产=号。-1，纵4坐标为-1-1=-2 3.2由通径公式得 6_2×3=2. 3 4.43由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y= ±√3x,把x=2代入渐近线方程，得y=±25，故1AB1=45. 3.3 抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 相等焦点准线 知识点二 y2=2px(p>0）y2=-2px(p>0）x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 预习自测 1.B动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相 等，而点(3,0)不在直线x=-3上，所以动点P的轨迹是以点 (3,0)到直线x=-3的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物 线.故选B.105 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解双曲线简单几何性质的实际应用 数学建模 2.理解并判断直线与双曲线的位置关系，会求解有关弦长问题 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 双曲线在建筑设计、生活用品等艺术设计中应用广 [提示] 直线与双曲线有相 泛.正是由于双曲线的对称性和开口的无限延展性， 交、相切、相离三种 线条的流畅性等赋予了它丰富的美学特征.在平面 位置关系，而且与双 中，直线与曲线同时存在着.直线与椭圆有相交、相 曲线的两个交点可以 在两支上，也可以在 切、相离三种位置关系，直线与双曲线有怎样的位置关系呢？ [提示] 一支上 台新知初探 [知识点反思1] 知识点一直线与双曲线位置关系的判断 (1)相交时可能有一 设直线l:y=kx+m(m≠0)，① 个或两个公共点有 一个公共点时，直线 应曲线c号-1(0>0.b>0.@ 与双曲线可能相切或 将①代入②，整理得Ax2+Bx+C=0. 相交. (2)消元后注意二次 (1)当A=0时，直线1与双曲线的 平行，直线与双曲线C相交于 项的系数，二次项系 一点 数可能为0，此时， (2)当A≠0时. 直线与双曲线的渐近 ①A>0→直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相交： 线平行. ②4=0→直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相切； [知识点反思2] ③4<0→直线与双曲线 公共点，此时直线与双曲线相离 (1)过双曲线的一个 ●[知识点反思1] 焦点且与实轴垂直的 知识点二双曲线的弦长及中点弦问题 弦的长为2 1.弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2), (2)过双曲线焦点F 的弦AB与双曲线交 则IABI= 在同支上，则AB与 2足知弦B的中点为P(x.若双曲线方程为子1(0>0,6>0.侧 另一个焦点2构成的 △ABF2的周长为4a 直线B的率为k长·若双曲线方程为、￥ 7。=1,则直线AB的斜率 +21AB1. 为 ●[知识点反思2] Yo 106 目预习自测 1.若一直线1平行于双曲线的一条渐近线，则1与双曲线的公共点个数为 A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2 2.直线y=x+1与双曲线x2-y2=1的交点个数为 3.倾斜角为的直线过双曲线C:写-了=1的焦点，且与双曲线C交于A,B两点，则AB1= 题型探究提技能 题型一双曲线方程的实际应用 [方法总结1] 例1青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷 关于双曲线的实际 应用 器的主流品种之一.如图，是一青花粉彩镂空花 (1)建立坐标系时，应 瓶，其外形上面部分是双曲线的一部分绕其虚轴 以双曲线的对称轴为 旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径为瓶身 x,y轴，对称中心为坐 最小直径的2倍，瓶口直径为40cm.瓶身最小直 标原点建系，使求出 径处横截面与瓶口所在平面距离20cm. 的方程为标准方程. (1)求双曲线这部分的方程； (2)将题目中的条件 (2)求双曲线的离心率. >[方法总结1] 转化为双曲线的几何 性质，进而转化为a,b 的值，写出双曲线的 标准方程，并注明变 量的范围. (3)利用求出的双曲 线的标准方程解决实 际问题.其中双曲线 的标准方程中的变量 要根据方程和实际问 题确定 )跟踪训练1 该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将 如图所示的建筑外形弧线的一段近似看成双曲线 云存=1(a>0,b>0)下支的一部分，且此双曲线的 y x 虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为 A3Y=1 B.3y2-x2=1 44 C.3x2y ”44=1 D.3x2-y2=1 107 题型二直线与双曲线的位置关系 [方法总结2] 例2若直线y=c-1与双曲线E:2-y=1相交于两点，求实数k的取值 解决直线与双曲线的 公共点问题，在考虑 范围。 P[方法总结2] 方程思想的同时，可 结合数形结合思想来 思考. (1）直线过定点时， 根据定点的位置和双 曲线的渐近线的斜奉 与直线的斜奉的大小 关系确定其位置 关系。 (2)直线斜奉一定 时，通过平移直线，比 较直线斜奉与渐近线 斜奉的大小关系来确 定其位置关系 )》跟踪训训练2 [方法总结3] 求弦长的两种方法 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，那么k的取 (1)距离公式法：当弦 值范围是 ( 的两端点坐标易求 B.[o.5 时，可直接求出交点 坐标，再利用两点间 3,1 D.- 距离公式求弦长 (2)弦长公式法：当弦 题型三直线与双曲线相交的弦长及中点弦问题 的两端点、坐标不易求 例3已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为 时，可利用弦长公式 求解，即若直线1：y= 3 kx+b(k≠0)与双曲 (1)求C的标准方程； (2)若直线1：y=分-1与双曲线C交于A,B两点，求1B1 0,b>0)交于A(x1, y1),B(x2,y2)两点，则 P[方法总结3] 1AB1=√1+k1x-x2 1+招 需要设直线方程时要 考虑斜奉不存在的 情况. 108 〉跟踪训练3 已知双曲线C的中心在原点，过点(2,0)，且与双曲线2-号=1有相同的渐近线 (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知A,B是双曲线C上的两，点，且线段AB的中点为M(3,3),求直线AB的方程. 随堂检测重反馈 1.“直线与双曲线有唯一交，点”是“直线与双曲线相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 A.(1,2) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(2,1)》 3双曲线号-苦=1的通径长为 4过双曲线父-菁=1的右焦点且与x销垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A,B两点，则 IABI= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[31] 力高考山选 限时免费领 意身边的志愿填服专 免费预 新高考选科方案 最新海量院校数据 高者声填报卡 近年院校招录视频 志愿填报视频课程 权威研发回队：华中师范大学两个国宗级研究中心 联合铝位教育专家共同研发。 ▣球▣ 添 扫 智能模拟填报：摸拟真实填报环境，提前熟悉慎 报流程，规避填报失误。 老师 码领 权威官方数据：数据含全国25日所高校、日15个 本科专业及1日1种职业方向