2.5.1 第2课时直线与圆的方程的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

1AB1=√1+(3)2√(y+2)2-45=2√32-4×2 =2. 跟踪训练3：D因为直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4 截得的弦长为25，所以圆心C(2,3)到直线的距离d= √4-5)=1，所以2-=3+3！=21=1，解得k= /2+1 √+1 随堂检测重反馈 1.B“圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=10-0+山 2 2<1,直线与圆2+y=1相交，又(0,0)不在y=+1 上，直线不过圆心 2.C(5)2+(-1)2=4,点P在圆上..P为切点.切 点与圆心连线的斜率为-切线的斜率为5切线方 程为y+1=5(x-3),即3x-y-4=0. 3.x-y+5=0由圆的方程可得，圆心为P(-1,2),所以kc= 子=-1，放直线1的斜率为=1，所以直线方程为y-3= x+2,即x-y+5=0. 4.2√2设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过点 A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，：1CAI= √(2-3)2+(2-1)=2，.半弦长为√P-1CA下= 4-2=√2..最短弦的长为22. 第2课时 直线与圆的方程的应用 教材梳理明要点 预习自测 C可画出示意图如图所示，通过勾股定理 解得0D=√0C-CD=√4.52-2.7= 3.6(米) 题型探究提技能 例1：【解析】(1)以圆弧的中点0为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， y 0 圆弧 o m A B 8m 故圆心在y轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为x2+y2+ Ey=0, 易知点(4，-2)在圆上，将(4，-2)的坐标代入圆的一般方程 得16+4-2E=0,E=10. 则该圆弧所在圆的一般方程为x2+y2+10y=0. (2)把x=3代入圆的方程得y2+10y+9=0,得y=-1或y= -9(舍)， 由于隧道的总高度为6米，且6-1-0.5=4.5（米）， 因此车辆通过隧道的限制高度为4.5米. 2 跟踪训练1：D建立如图所示的平面直角 坐标系，则A(-6,-2),B(6,-2),设圆 的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0),将A 点坐标代入圆的方程，则有m=10,故圆 的方程为x2+(y+10)2=100,令y=-4, 则x=±8，故1EF1=16(米). 例2：【解析】(1)由已知0(0,0)，A(2,0), B(4,4) 解法一：设圆C的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0,将O, A,B三点代入得 rF=0, rD=-2, 4+2D+F=0. 解得E=-6. l32+4D+4E+F=0,【F=0, .圆C的方程为x2+y2-2x-6y=0. 解法二：设圆C方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),将0， A,B三点代入得 ra2+b2=r2, xa=1, (2-a)2+(0-b)2=2,解得b=3, (4-a)2+(4-b)2=2,2=10, .圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. (2)该渔船没有触礁危险.理由如下： 由已知该船初始位置为点D(2,-2√3)，且该船航线所在直 线I的斜率为3. .渔船行驶路线l:y+25=√5(x-2),即3x-y-45=0, 圆心C(1,3)到1的距离d=5-3-41=3+3E 2 2 d=3+35>r=, 2 .没有触礁危险. 跟踪训练2：【解析】以海滨城市0的位置为坐标原点0，其正 东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角 坐标系Oy,如图所示， 则A(4002,0),B(0,4002). 可得14B:x+y=400√2，圆0：x2+y2 =250000. 记从N处开始被监测，到M处监测 结束， 因为0到la8的距离为100'1=400(km), 所以IMW1=2√M02-O02=600(km), 1A1=之(AB1-1MM)=10(km）), 100=2.5(小时) 40 故经过2.5小时后该城市开始受到台风侵袭，受台风侵袭时 长为贺-15（小时）》. 随堂检测重反馈 1.D圆的方程随圆在坐标系中位置的不同而不同. 2.B以半圆直径所在直线为x轴，过圆心 且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图 所示的平面直角坐标系.易知半圆所在 的圆的方程为x2+y2=3.62(y≥0)，由 图可知，当货车恰好在隧道中间行走时 0 车篷最高，此时x=0.8或x=-0.8,代人x2+y2=3.62,得y ≈3.5（负值舍去）.故选B. 3.不会如图，以台风中心为原点0 以东西方向为x轴，建立直角坐标 港口 系，其中取10km为单位长度.则台 风影响的圆形区域所对应的圆心为 轮船d 0,圆的方程为x2+y=9;轮船航线 所在的直线1的方程为4x+7y-28 =0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响. 2.5.2圆与圆的位置关系 教材梳理明要点 新知初探 知识点 1.相交内切或外切外离或内含210 2.>= < 预习自测 1.C圆x2+y2-8x+12=0化成标准方程为(x-4)2+y2=4, 圆心0(4,0)，半径1=2，圆x2+y2-6x-7=0化成标准方 程为(x-3)2+y=16,圆心02(3,0)，半径r2=4,01021=1 <Ir2-T1I,以两圆的位置关系是内含.故选C. 2.3圆C2的标准方程为x2+(y-3)2=4,圆心坐标为(0,3)， 半径为2.圆C与圆C2的圆心距为3，等于两个圆的半径之 和，所以圆C与圆C2外切，故圆C1与圆C2的公切线有 3条 题型探究提技能 例1：【解析】圆C,C2的方程，经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, .圆心C(a,1),C2(2a,1),半径m1=4,2=1. .1C,C2l=√/(a-2a)2+(1-1)2=a. (1)当1C,C2l=r1+r2=5,即a=5时，两圆外切； 当1CC21=1-t2=3,即a=3时，两圆内切. (2)当3<ICC,I<5,即3<a<5时，两圆相交. (3)当1CC2I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当1C,C2<3,即0<a<3时，两圆内含 跟踪训练1：C圆C,的标准方程为(x-2)2+y2=1,:两圆有 三条公切线，.两圆外切，.√(2+1)2+(0-4)了=1+a, 解得a=16. 例2：【解析】(1)设两圆交点为A(xy1),B(x2,), 联立圆C1与圆C,的方程，得++6x-4=0,① 1x2+y2+6y-28=0.② 由①-②，得x-y+4=0. A,B两点的坐标都满足此方程， “.x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3,0)，r=13 ·G到直线AB的距离d=-3+4=2 2 =21 1 1ABI=2P-=2√/13-7=52， 即两圆的公共弦长为52 (2)解法-：解方程组++6x-4=0, 1x2+y2+6y-28=0, 得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因为圆心在直线x-y-4=0上，故 b=a-4. 则/(a+1)2+(a-4-3)2=√/(a+6)2+(a-4+2)2, 解得a=方，故所求圆的国心为（分子）， 半径为N2 89 故所求圆的方程为(x-）广+(+子）-婴。 即x2+y2-x+7y-32=0. 解法二：设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+A(x2+y2+6y- 28)=0,其中入≠-1， 整理得(1+A)x2+(1+A)y2+6x+6入y-4-28入=0， 6 6入 于是圆心为(21+)，-2(1+) 该圆心在直线x-y-4=0上， 6 6入 所以-21+)+21+) -4=0,解得入=-7， 所以所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0. 跟踪训练2：1由题意知，圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0 的公共弦所在的直线的方程为2ay-2=0, 而x2+y2=4的圆心(0,0)到2ay-2=0的距离为d= 1-211 v√(2a)示a u2=产+（信）月 结合a>0得a=1. 例3：【解析】设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r> 0), 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切， 则√(a-1)2+6=r+1.① 又所求圆过点M的切线为直线x+3y=0, 故5+5=万.② a-3 1a+5b1=r.③ 2 由①②③解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+45)2=36. 跟踪训练3：【解析】因为圆O2与圆O1交于A,B两点，且IAB1 =22, 所以圆心0，到直线AB的距离为d,=√22-(2)2=√2； 101021=25, 设圆心O2到直线AB的距离为d2, 则d=100,I-d1=2或d,=10102I+d1=3√2. 当圆心O2到直线AB的距离为√2时， 圆02的半径为√(2)2+(2)2=2. 此时，圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 当圆心O,到直线AB的距离为3√2时， 圆02的半径为√/(32)2+(2)2=√20. 此时，圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=20. 综上，圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y -1)2=20.075 第2课时直线与圆的方程的应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用 数学运算、数学建模 2.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 数学抽象、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 超强台风具有极大的破坏力，可以轻易损坏建筑物 摧毁林木和破坏农作物，对人们的生活和财产带来巨 大的危害.现代科学技术的发展极大提高了天气预报 [提示] 的及时性和准确率，对于经济建设、国防建设的趋利 建立数学模型，把实 避害，保障人民生命财产安全等方面有极大的社会和经济效益.当前台风 际问题转化为直线和 中心P在某海滨城市0向东400√2km处生成，并以40km/h的速度向北 圆的位置关系的数学 偏西45°方向移动.已知距离台风中心500km以内的地方都属于台风侵袭 问题来解决 的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概 持续多长时间？ P[提示] 白新知初探 [知识点反思] 知识点用坐标法解决平面几何问题的步骤 建立不同的平面直角 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元 坐标系，对解决问题 素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 有着直接的影响.因 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 此，建立直角坐标系 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. [知识点反思] 时，应使所给图形尽 量对称，所需的几何 自预习自测 元素的坐标或方程尽 一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道 量简单 (双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（ A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米 题型探究提技能 题型一圆的方程的实际应用 例1如图；一隧道内设双行线公路，其截面由一个长 圆弧 [方法总结1] 方形（长、宽分别为8m,4m)和圆弧构成，截面总 建立适当的平面直角 4 m 坐标系，用坐标和方 高度为6m,为保证安全，要求行驶车辆顶部（设 程表示问题中的几何 为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少 要素，通过代数运 要有0.5米，已知行车道总宽度1AB1=6m 8m 算，解决几何问题 (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ >[方法总结1] 076 )跟踪训练1 座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（) —12 A.13米 B.14米 C.15米 D.16米 题型二直线与圆的方程的实际应用 例2如图，某海面有0，A,A三个小岛（小岛可视为质点， [方法总结2] 解决直线与圆的实际 不计大小)，A岛在0岛正东方向距0岛20千米处， 应用题的步骤 B岛在0岛北偏东45°方向距0岛40√2千米处.以 (1)审题：从题目中 0为坐标原点，0的正东方向为x轴的正方向，10千 抽象出几何模型，明 米为一个单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过 确已知和未知】 0,A,B三点. (2)建系：建立适当 (1)求圆C的方程； 的平面直角坐标系， (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在0岛的南偏东30°方 用坐标和方程表示几 向距0岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向， 何模型中的基本 元素 试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由.>[方法总结2] (3)求解：利用直线 与圆的有关知识求出 未知. (4)还原：将运算结 果还原到实际问题 中去 〉跟踪训练2 当前台风中心P在某海滨城市0向东400√2km处生成，并以40km/h的 速度向北偏西45°方向移动.已知距离台风中心500km以内的地方都属于 台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风 侵袭大概持续多长时间？ 077 随堂检测重反馈 1.一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是 A.x2+y2=25 B.x2+y2=25(y≥0) C.(x+5)2+y2=25(y≤0) D.随建立直角坐标系的变化而变化 2.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶 距离地面高度最高约为 ( A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米 3.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮 船不改变航线，那么它 (填“会”或“不会”)受到台风的影响， 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[22] 2.5.2圆与圆的位置关系 新课程标准解读 学科核心素养 1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系. 数学运算、逻辑推理 2.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题 逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 从几何图形可以看出两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种 [提示] 情况.如何根据圆的方程来判定圆与圆的位置关系呢？ 可以从方程组求得两 ( 圆交点个数来判定， P[提示] 也可以从圆心距与两 圆半径的大小关系来 台新知初探 判定. 知识点两圆位置关系的判断 1.代数法： 4>0→ 圆C,方程 (消元) →一元二次方程→4=0台 圆C2方程 A<0→ 即方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 个 个 个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含