3.1.1 第1课时椭圆及其标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

●083 第三章 圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 第1课时椭圆及其标准方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解并掌握椭圆的定义及其标准方程的推导过程. 数学抽象、数学运算 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 直观想象、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 椭圆上的，点与两个定点 椭圆是一种曲线，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有 距离的和等于常数 广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特 征建立椭圆的方程呢？ F [知识点反思1] (1)椭圆上的点到两 焦，点距离之和为定 值.且定值必须大于 P[提示] 两定点间的距离. (2)当距离的和等于 台新知初探 FF2I时，点的轨迹 是线段F,F2 知识点一椭圆的定义 (3)当距离的和小于 平面内与两个定点F,F2的距离的和等于常数（大于IFF2)的点的轨迹 「FF,I时，点的轨迹 不存在. 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 [知识点反思2] ,焦距的一半称为 D[知识点反思1] (1)椭圆的标准方程 是指椭圆的中心在坐 标原点，对称轴为坐 知识点二 椭圆的标准方程 标轴时的方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 (2)两种椭圆 62 标准方程 22×2=1(a之b今O》 x2 a2 63 =1(a>b>0) 1, 京+存=1(a>6> 0),它们的形状、大小 都相同，都有a>b> 焦点（焦距2c,c>0) 0a2=b2+c2:只是在 坐标系中的位置不同， a,b,c的关系 c2= c2= 从而它们的焦点坐标也 不同. [知识点反思2] (3)x2项和y2项谁的 分母大，焦点就在谁 的轴上. 084 预习自测 1.已知点A(-1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足IPAI+1PB1=4,则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 2.焦点在x轴上，且a2=13,b2=1的椭圆的标准方程为 + =1 B. 325 1或25+÷) 13+少=1或+ 131 13+y2=1 3.如果x2+2=2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 题型探究提技能 题型一 椭圆的定义 例1.(1)平面内到4(0，-3)和B3,1)距离的和为6的动点轨迹为 ( A.椭圆 B.圆 C.线段 D.射线 [方法总结1] (2)到(0，-4)和(0,4)距离之和为8的点的轨迹为 判定动，点、的轨迹是否 P[方法总结1] 为椭圆，关键是看是 否符合椭圆的定义 )》跟踪训练1 知椭圆6+上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另- [方法总结2] 求椭圆标准方程的 焦点的距离为 方法 题型二椭圆的标准方程 1.定义法：根据椭圆 例2求适合下列条件的椭圆的标准方程： 定义，确定a2,b2的 (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 值，结合焦点位置写 (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0,2)，并且椭圆经过点 35 出椭圆方程， 2’2 2.待定系数法： (1）设椭圆的标准方 ●[方法总结2] a +1+ a x2 =1(a>b>0). 2)与椭国兰+上 + 1(a>b>0)有相同焦 点的椭圆的标准方程 可设为-入 B2元=1(1<b). (3)经过已知两点的 椭圆的标准方程可设 为mx2+y2=1(m> 0,n>0且m≠n) ●085 )》跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1)与椭圆+号-1有相同熊点，且过点3，万： (2)经过点P日号.00，-】 [方法总结3] 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够 题型三 椭圆定义的应用 对椭圆上的点到焦点 例31)如闲所示.已知过椭调写+6-1的有焦发R 的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与 的直线AB交椭圆于A,B两点，F,是椭圆的左 椭圆的两个焦点F, 焦点.若|FA|+1F,B=14,则弦AB的长为 F2构成的△PFF2称 为焦点、三角形，可以 利用椭圆的定义，结 (2)已知点P是椭圆写+4=1上的一点，F,F分别是椭圆的两个焦 合正弦定理、余弦定 理、三角形的面积公 点，且∠F,PF2=30°，则△FPF2的面积为 式等知识求解」 P[方法总结3] (3)若椭圆中焦点三 角形的顶角∠F,PF 〉跟踪训练3 =日，则焦点三角形 已知P为椭圆 3=1上一点，E,E2分别是椭圆的左、右焦点，∠力 的面积S=lam2 =60°，求△FPF2的面积 086 随堂检测重反馈 1.已知F,F2为两定点，1F,F2I=4,动点M满足IMF,I+IMF2I=4,则动点M的轨迹是 ( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2已知E,上，是椭圆6+61的两焦点，过点F,的直线交椭圆于A,B两点，若1AB1=5,则1A +IBFI等于 A.9 B.10 C.11 D.12 ®若方程+51表示椭圆，则实数的取值范用为 椭圆。+〉=1的左石焦点分别为E,E,点P在椭圆上，若1PP,I=4,则∠上 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[24] 第2课时与椭圆有关的轨迹问题 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法。 数学抽象、数学建模 2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程. 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；到两定点的距 [提示] 离之和为定值（定值大于两定点间的距离）的点的轨迹 依据给定条件，求出 是椭圆.那么一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+ 动点的轨迹方程，可 y2-32=0内切，动圆圆心的轨迹是什么图形呢？ [提示] 以判定轨迹是一个椭 圆 曰新知初探 知识点一定义法求轨迹方程 观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲 线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点 知识点二相关点（代入法）求轨迹方程 如果出现“主动点”带动“被动点”运动，主动点在已知曲线上，则适用代入 法求轨迹方程.一般步骤为： (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标 为(x,yo) (2)找出(x,y)与(xo,yo)之间的等量关系，用x,y表示xo,yo (3)将xo,y。代入其所在的曲线方程. (4)化简方程得所求方程第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 第1课时椭圆及其标准方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点 焦点焦距半焦距 知识点二 (-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c）a2-b2a2-b 预习自测 1.A根据题目可以得到1PA1+1PB1=4>1AB1=2,此时就可 以根据椭圆的定义得到动点P的轨迹是椭圆.故选A. 2.D由于a2=13,b2=1,且焦点在x轴上，故椭圆的标准方程 为后+=1放选D 31,+0）+=2转化为椭圆的标准方程，得号+兰 2 1,因为+2-2表示焦点在七辅上的椭圆，所以0<2< 2,解得k>1.所以实数k的取值范围是(1，+∞). 题型探究提技能 例1：(1)A(2)线段(1)设动点为M,则IMAI+MBI=6, 1AB1=√32+4=5,6>5，.动点M的轨迹为椭圆. (2)因为动点到两定点距离的和为定值8，等于两定点间的距 离，故为线段 跟踪训练1：5椭圆后+号-1，则。-16，所以。=4，根据椭 圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a=8,因 为椭圆上点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦 点的距离为5. 例2：【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为若+京=1(a>6>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 4.0 ra2=4, 所以 解得 01 a2+6京=1， b2=1 所以所求横圆的标准方程为苦+2=1 (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设定约拆理方程为号+后=1a>b>0。 由椭圆的定义知 2a=√-)+(3+2+（-3)+(3-2 =2/10 即a=√0， 又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求椭圆的标准方程为6+无二】 —22 跟踪训练2：【解析】(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 5+g-10a>-90. 9 又椭圆过点(3，√5)，将x=3,y=√5代入方程得5+入+ 解得入=11或入=-21（舍去）. 故所泉指西的标准方程为写+品1 (2)解法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程 2 为+京=1(a>b>0》 a2 =1, a2=5 1 依题意，有 解得 Ct) 1 b2=4 0+ =1 由a>b>0知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为兰+号 a+ 1(a>b>0) )) =1, 62 a2= 4 依题意，有 解得 1 （-2 8= +0=1. a 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 1 1 45 解法二：设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 1 1 9m+ 9n=1, 则 1 解得m=5, 4n=1, ln=4. 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1, v2 故横圆的标准方程为士+兰=1 1 45 例3：(1)6(2)8-45(1)由椭圆方程 6=1可得a =5, 故由椭圆定义有IAF,I+IAF2I=2a=10,IBFI+IBF2I=2a =10, 又IAF,I+IBF,I=IABI, 所以IABI=(IAFI+IAF,I+IBF,I+IBF,I)-(IFAI+ 1FB1)=20-14=6. (2)由树圆方程苦+号=1可得a=5。 b=2,c=√a2-b=1. 在△PFF,中，由余弦定理，得 IFF2I2=IPF,I2+IPF212-21PFI·IPF2I·cos∠FPF, =(IPFI+IPF,I)2-2IPFI·IPF,I-2IPFI·IPF,I· c0s30°， .4=(25)2-(2+5)1PFI·IPF21, .IPFI·IPF2I=16(2-5). Sam=7PFPF,1·im30°=8-45. 跟踪训练3：【解析】由已知得a=25,b=3, 所以c=√a2-B=√2-3=3， 从而1F,F,I=2c=6, 在△EPF,中，IFF,I2=IPF2+IPF,2-2IPFI·IPF,Icos60° 即36=IPFI2+IPF,I2-IPFI·IPF,L.① 由椭圆的定义得IPF,I+IPF2I=45, 即48=1PF1I2+1PF212+21PF,I·IPF2I.② 由①②得IPFI·IPF,I=4. 所以San=之PF,1·IPE,I·sin60=5 随堂检测重反馈 1.D2a=2c,则M为线段FF2上的点. 2.C根据椭圆定义，IAF,I+IAF,I=2a=8,IBFI+IBF,I= 2a=8,所以△AFB的周长为IAFI+IBFI+IABI=16,所以 IAF I+IBF I=16-1ABI =11. r7-k>0, 3.(5.6)U(6,7)由k-5>0,解得5<k<7且k≠6 7-k≠k-5, 4.120°由题意，得a2=9,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,∴.c= 7,..IF FI=2/7..IPFI=4,..IPF2I =2a-IPF I=2. cos LF PF3 1PF,2+IPE2-1F,12_4+2-(2)2 21PF IIPF,I 2×4×2 -2,又0°≤EPp,<180°，.∠PE,=120 第2课时 与椭圆有关的轨迹问题 题型探究提技能 例1：【解析】由已知得，两定圆的圆心 和半径分别为 Q1（-3,0),R1=1;Q2(3,0),R2=9. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 如图. 由题设有IMQI=1+R,1MQ2I=9 -R, 所以IMQI+IMQ2I=10>1QQ2I=6 由椭圆的定义知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上，且a=5,c =3. 所以b2=a2-c2=25-9=16, 故对区国心的轨奇方程为会+名-1 跟踪训练1：【解析】将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+ y2=62, 这时，已知圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6，如图， 设动圆圆心M的坐标为(x,y), 由于动圆与已知圆相内切，设切点为C .'IBMI+ICMI =6, B米 又ICMI=IAM1,∴.IBMI+IAMI=6, -3OA3 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点 B(-2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB 的中点0(0,0)为中心的椭圆. a=3,c=2,b=√a-c=5, 心所京西心尚载连方程为号+写= 2 例2：【解析】依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(xo)(yo ≠0)，G(x,y), x=-1+1 3 则由三角形重心坐标公式可得， 即∫3x, y=3 【yo=3y, 因为点P车菊两C号+号1上， 所以学+管-1，代入与==。 得至心G的航速方程为学+3r=1y*0). 跟踪训练2：紧+学=1设0(，.P(）期0成=(， ).0亦=(6)，又由00=号0亦有(x,)=写()，则 [又6在程圆E上，所以导，号-1.即8g [yo =3y, 4 ,放点0的载迹的方程为学-1 2 例3：【解析】设动点P(x,y),则M=(x-4,y),M=（-3, 0),PW=(1-x,-y) 由已知，得-3(x-4)=6√(1-x)2+（-y)7, 化简得32+42=12，即号+号=1， 即动左P尚数连C的方程是号+亏1 跟踪训练3：2方5+5=1(y≠0)设点C(x,y)(y≠0)，则kc y 0,化简得密+云=1（≠0 随堂检测重反馈 1.A在△ABC中，B(-2,0),C(2,0),1AB1+IAC1=6>IBCI =4,则顶点A的轨迹满足椭圆的定义，a=3,c=2,b=5,所 以顶点A的轨迹方程是号+亏=1(：≠士3)。 2.B:√x+(y+2)2+√x+(y-2)2=5表示点P(x,y)到 定点F(0,-2),F(0,2)的距离之和为5，即1PF+1PF2 =5>1FF,I=4,∴.P点的轨迹为椭圆. 3. 4+?=设点M的坐标为(xy),点P的坐标为(xoyo),则 二X0 [xo =x, 点D的坐标为(6,0)，Di=成. 2 2 .3 20 =5 点P在圆x2+y2=4上，.x后+哈=4，.x2+ ()=4， “点址的机迹方程是号+亏=1 4.25+9=1因为动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到 25