3.2.1 第2课时双曲线及其标准方程的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

099 第2课时双曲线及其标准方程的应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.双曲线在实际生活中的应用. 数学建模、数学抽象 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题 直观想象、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 脱离地球引力场的航天器，比如探测火星的好奇号，探测木星的朱诺号，探访 冥王星的新视野号、飞出太阳系的旅行者号，它们在飞离地球的过程中，所飞 过的轨迹，在以地球为原点的坐标系中看，就是一个双曲线轨道.双曲线还可 用于导航定位、艺术设计，如马鞍面、高脚杯等 题型探究 提技能 题型一与双曲线有关的轨迹问题 [方法总结1] 例1如图所示已定圆：(x+5+=1,定圆 M 求解与双曲线有关的 F2:(x-5)2+y2=16,动圆M与定圆F,F2都外 点的轨迹问题，常见 的方法有两种 切，求动圆圆心M的轨迹方程 (1)列出等量关系， >[方法总结1] 化简得到方程 (2)寻找几何关系， 由双曲线的定义得出 对应的方程 注意，在轨迹方程中 把不合题意的部分 去掉 )》跟踪训训练1 设P为双曲线着-y-1上一动点，0为华标原点，M为线段0的中点，则 点M的轨迹方程为 题型二双曲线在实际生活中的应用 [方法总结2] 例2单叶双曲面是最受设计师青眯的结构之一，它 利用双曲线解决实际 可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能 问题的基本步骤 用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称 (1)建立适当的坐 小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就 标系。 是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的 (2)求出双曲线的标 地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如 图1 图2 准方程 图2，最细处的直径为100m,楼底的直径为50√22m,楼顶直径为 (3)根据双曲线的方 50√6m,最细处距楼底300m,则该地标建筑的高为 ( 程及定义解决实际应 用问题（注意实际意 A.350m B.375m C.400m D.450m 义) ●[方法总结2] 100 )跟踪训练2 如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北北 偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一 点D到A的距离比到B的距离远2km,现要在曲线PQ 上选一处M建一座码头，向B,C两地转运货物，那么这 两条公路MB,MC的路程之和最短是 km. 题型三与双曲线有关的最值问题 例3已知4(-4,0)，B是圆(x-1)2+(G-4)2=1上的点，点P在双曲线 [方法总结3] 了1的石支上则IPA+PB的最小值为 91 解决与双曲线有关的 线段长度之和问题 A.9 B.25+6 时，常常结合平面图 C.10 D.12 [方法总结3] 形的几何性质和双曲 线的定义来求解。 )跟踪训练3 已知定点43，).F是议线-石-1的有能点，P是双情线有支上的动 点，则IPAI+PFI的最小值为 A.2 B.52+4 C.52-4 D.2+4 随堂检测重反馈 1.相距4k千米的A,B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速为每秒k千米，则炮弹爆炸点P 的轨迹可能是 ( A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 2巴R是议线- =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，△PF,F2是等腰三角 形且底角的余弦值为，则a与6的关系为 ( A.b=a B.b=√2a C.b=3a D.b=2a 3E知R,R分别为双曲线C:号-号=1的左右焦点，点P在C上.PR=21P所，则 cos∠F1PF2= 4已知P是双面线-益=1的左焦点，41,4)，P是双曲线右支上的动点.则件1+P11的及小 值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[29]眨双曲线的标准方程为-分=1(@>0,6>0) 910 则有a2+b2=c2=8 a262 =1, 解得a2=3,b2=5, 故所求双面线的标准方程为号号-1 例3：(1)D(2)C(1)设A(3,0),B(-3,0),则1AB1=6.则由 已知可得，0<IPAI-IPB1=4<IAB1,所以点P的轨迹是双 曲线的左支 (2)由题意，得 PE-IPE,2解得EI=8又由 31PFI=41PF21, IPF,I =6. 1 1FF,I=10,可得△PF,F是直角三角形，则SaP5=2 IPFI·1PF2I=24. 跟踪训练3：B由双曲线的定义知IAF,I-IAF2I=2a,IBF,I- IBF2I=2a.又IAF2I+IBFI=IABI.所以△ABF的周长为 IAF I IBF I IABI =4a +21ABI =4a +2m. 随堂检测重反馈 1.A当k>5时，方程表示双曲线：反之，当方程表示双曲线时， (k-5)(k-2)>0,即k>5或k<2.故选A. 2.B由题意得1IPF,I-IP2I1=6,.1PF2I=IPF,I±6， .1PF,I=9或-3（舍去）. 3-=1双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双 线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12.又2c=26,c= 13=2-。=25双自线的标准方程为茶5山 4.25不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF,⊥PF2,所以 IF F212=IPF 12+IPF212=(2)2=8,PF1-IPFI= 2,所以(1PFI-IPF,I)2=4,可得21PFI·IPF,I=4,则 (IPFI+IPF21)2=IPF12+IPF212+2IPFI.IPF,I=12, 所以IPFI+IPF,I=25. 第2课时双曲线及其标准方程的应用 题型探究提技能 例1：【解析】圆F:(x+5)2+y2=1,圆心F(-5,0),半径 =1; 圆F2:(x-5)2+y2=16,圆心F2(5,0),半径2=4. 设动圆M的半径为R, 则有IMF,I=R+1,1MF,I=R+4, .IMF2 I-IMF I =3<10=IF F2 I. 六点M的轨迹是以F,E,为焦点的双曲线的左支，且a=之， c=5, 于烧=-2- “动圆圆心M简轨选方程为号-或=1（≤一多）】 44 跟踪训练1：x2-4y2=1设M(x,y),P(x,yo),则 x2 即 =2x又6=1，则年-(2)2=1，整理得-4y =1,即点M的轨迹方程为x2-4y2=1. 25 例2：C建立平面直角坐标系如图所示.由题意 可得A(50,0),C(2522,-300),设B(256, %)(y。>0)双曲线的方程是产-京=1(a 502 =1 >0,b>0).则 (2522)2(-300)2」 =1, 解得∫50， x2 b=1002 所以双曲线的方程是250020000=1，将 点似5后%代人，得-i=1,解得万=10所 以该地标建筑的高为300+100=400(m). 跟踪训练2：(2√7-2)如图所示，以AB所在的直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则A(-2,0), B(2,0),IDAI-IDB1=2,根据双曲线定义知，点D的轨迹 (即曲线PQ)为双曲线的右支.故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2 =-。=4-1=3,放轨迹方程为2-兮-1（≥1）.根据题 意知C(3,3),IMB1+IMCI=IMAI+IMCI-2≥IACI-2= 2√7-2.当且仅当A,M,C三点共线时，等号成立，故两条公路 MB,MC的路程之和最短是(2√7-2)km 北 →东 A 0 例3：C设点C(1,4),点B在圆上，则IPB1≥IPC1-r=IPCI- 1,由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A'为双曲 线右焦点，所以由双曲线定义知IPAI=IPA'I+2a=IPA'I+ 6,所以IPAI+IPBI=IPA'I+IPBI+6≥IPA'I+IPCI+6-1 ≥IA'C1+5=5+5=10. 43-2-1,012$45 -2 -3 -4 97N 跟踪训练3：C设F,是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义及P是双曲线右支 上的动点可得IPFI-IPFI=2a,所以 IPFI=IPFI-2a,所以IPAI+IPFI= IPAI +IPF I-2a=IPAI IPF I-4. 结合图形可得IPAI+IPF,I≥IAF,I= √[3-(-4)]2+(1-0)2=52，当且 仅当P,A,F,三点共线时取得等号，即图形中点P在P处取 得最小值，所以IPAI+IPF,I-4≥52-4，所以1PAI+IPFI 的最小值为52-4. 随堂检测重反馈 1.B由已知可得IIPAI-IPB1I=2k<4k=IAB1,根据双曲线 的定义可知，点P在以A,B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点 P的轨迹可能是双曲线. 9 2 2CE,5是双曲线号方=1(a >0,b>0)的左、右焦点，点P在双 曲线上，不妨设点P在第一象限，由 F △PFF,是等腰三角形，可得IPF,I =2c,1PF,1=2c+2a,又该三角形底角的余弦值为子，则有 2c+2a+(2o-（2o上=即c=2a,又2=d+f,0 2(2c+2a)·2c =3a. ·由题意可得， PF,1-PF,I=25解得1PF,1=4万， IPF I =21PF21, 1PF2I=22,因为1F,F2I=2√2+2=4，所以cos∠F,PF2= 1PF,2+1PE,2-1EE=32+8-16=3 2IPF,I·IPF,I 2×42×22 4 49对打双简袋苦-方=1，则“=2,6 =2√5，c=4,如图所示，设双曲线的右 焦点为M,则M(4,0),由双曲线的定义 可得1PFI-IPM1=4,则1PFI=4+ IPMI,所以IPFI+IPAI=IPMI+ 1PA1+4≥IAM1+4=√(1-4)2+(4-0)7+4=9，当且仅 当A,P,M三点共线时，等号成立.因此，IPFI+IPAI的最小 值为9. 3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a坐标轴原点A1(-a, 0)A,(a,0)A(0,-a)A,(0,a）ab±名x±分x ￡(1，+0) 知识点二 等长等轴双曲线 预习自测 1.BCD因为a2=9,b2=7,所以a=3,b=√7，c=√a+b=4, 因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，顶点为(0， ±3)，离心率为号，虚轴长为2万.故选BCD, 2.A设双曲线的方程为x2-y2=A(A≠0)，代人点(2,1)，得入 =3,故所求双曲线的方程为-少=3，其标准方程为号 号=1放适儿 3.y=± 2. 2 工由号-y=1,得a=2,6=1,故渐近线方程为 1、 2 =士=x=± 2 2t. 23 题型探究提技能 1:【解折】将4松-=4变形为-千=1，即号-分 12221. 所以a=1,b=2,c=√5. 因此顶点坐标为A1(-1,0),A2(1,0), 焦点坐标为F(-5,0),F2(5,0), 实半轴长是a=1,虚半轴长是b=2, A1不 离心率e=￡-5-5， a I 渐近线方程为y=±2x,草图如图所示。 跟踪训练1：AC双曲线花-云=1，YkER且k≠0，G= 2k,b=2,c2=3k2,焦距为2c=251k1,离心率e=C= a√2 =,顶点坐标（±厅11,0），商近线方程为y=±合，即) “因k改变而变化的是焦距和顶点坐标 二21 例2：【解析】(1)设双曲线的标准方程为号-号 a-6=1(a>0,b =1(a>0,b>0) 由题每26=2，后=子且2=+分， 所以b=6,c=10,a=8, 所以双重线的标准方程为后-需-1或后-元-山 9 解法一当焦点在x猪上时，由名=之且ā=3，得6 所以所求双白线的标准方程为行-行1 当条点在y装上时，由行名且a=3,得6=2 所以所家汉曲线的标准方程为号一聋引 解法二：设以y=±号为渐近我的风曲线的方程为号-号 =λ（入≠0）.当入>0时，a2=4入， 所以2u=2√4=6，解得入=4 0 当A<0时，a2=-9入， 所以2a=2-9入=6，解得入=-1. 所以双准线的标准方程为号萄1成号苦-1 4 跟踪训练2：【解析】)设所求双曲线方程为。-=（α> 0,b>0). e=3e2=g=+ 5 .6225 -=1+ a a2 :6 4 =3 .64 a=3 9 由题意得 2=4 912- 解得 a261, b2=4. 0