3.2.1 第1课时双曲线及其标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

1√0-哥)+(-2号)-√停55 解法二：设点A(x1,y1),B(x2,y2)， 2x-y-2=0, 消去，得3-5x=0,解得=0，=弓 11=V1+21-1-5x号-5 解法三：设点A(x1,少1)，B(2,2), r2x-y-2=0, 由方程传+号山 消去x,得3y2+2y-8=0, 则由根与系数的关系得1+为=- 3=-8 , 所以1MB1=√+()V+-4 -5×10-55 2 3 3 限训练3+号-1宁子即 4 ∴公=心-2=子c.椭圆的方程可化为2+42=d,与方 程x+2y+8=0联立并消去y,得2x2+16x+64-a2=0,由方 程根的判别式△>0，得a2>32.设点P(x,少)，Q(x2,),则 由根与系敷的关系，得+与=8，=“产由弦长公 式得1PQ12=(1+品0）·1x1-312=(1+0)·[(x+2) -4],即10=子×[64-2〔64-)]，解得。=36椭 圆的方程为2+村=36，即需+号-1 随堂检测重反馈 1.C把y=-x+3代人椭圆方程，得5x2-24x+32=0,4= (-24)2-4×5×32=-64<0,故直线与椭圆相离。 2C设椭圆的方程为号+茶=1(8>6>0由 r6x2+a2y2-a2b2=0, 得(a2+362)y2+856y+1662-a2b x+3y+4=0, =0,由4=0及c=2可得a2=7,∴.2a=2万. 33 2 已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线5x-y=0的距离 为小5-0-5 /3+1 Γ2 42设稀圆方程为号+云-1，当点（4万，45)在特圆上时， 2 /91 16×7（2 a 36 -=1,解得a=16,:车辆高度不超过4.5米， ∴.a≥16，d=2a≥32，故拱宽至少为32米. 2 3.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 第1课时双曲线及其标准方程 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 定点差的绝对值非零常数小于定点距离 知识点二 21 x y 年京=1(0，-c)(0,c）a2+6 预习自测 1.C在双曲线的标准方程中，a=6,b=8,当双曲线的焦点在x 轴上时，它的标准方程是花-存=1.放选© 2.4由双曲线方程号-号三1，可得=2,6=2…c2=。2+ 62=4,.c=2,故焦距为4. 题型探究提技能 例1：(1)B(2(-0,8)（1)原方程可化为号+y=1.因为 b a b<0,所以名<0，所以曲线是焦点在)轴上的双曲线 《2)方程二+8=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得 17-k>0且k-8<0,解得k<8. 跟踪训练1：(-0,4心10，+o)因为方程-40人=1 表示双曲线，所以(k-4)(10-k)<0,解得k>10或k<4,则 实数k的取值范围为(-∞，4)U(10,+0). 例2：【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲 线的标准方程为。-1(a>0,6>0): 由题设知，a=25,且点A(2,-5)在双曲线上， ra=25, 2fa2-20, 162=16. 故所泉双由镜的指煌方程为品后山 (2)由已知得c=6,且焦点在y轴上. 因为点A(-5,6)在双曲线上， 所以2a=1√(-5-0)2+(6+6)2-√/(-5-0)2+(6-6)21 =113-51=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20. 所以所求双曲线的标准方程是6)=1， (3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. 【A=一16 因为点P,Q在双曲线上，所以解得 B=9 所以双曲线的标准方程为；-石1 跟踪训练2：【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上， 且c=22. 8 眨双曲线的标准方程为-分=1(@>0,6>0) 910 则有a2+b2=c2=8 a262 =1, 解得a2=3,b2=5, 故所求双面线的标准方程为号号-1 例3：(1)D(2)C(1)设A(3,0),B(-3,0),则1AB1=6.则由 已知可得，0<IPAI-IPB1=4<IAB1,所以点P的轨迹是双 曲线的左支 (2)由题意，得 PE-IPE,2解得EI=8又由 31PFI=41PF21, IPF,I =6. 1 1FF,I=10,可得△PF,F是直角三角形，则SaP5=2 IPFI·1PF2I=24. 跟踪训练3：B由双曲线的定义知IAF,I-IAF2I=2a,IBF,I- IBF2I=2a.又IAF2I+IBFI=IABI.所以△ABF的周长为 IAF I IBF I IABI =4a +21ABI =4a +2m. 随堂检测重反馈 1.A当k>5时，方程表示双曲线：反之，当方程表示双曲线时， (k-5)(k-2)>0,即k>5或k<2.故选A. 2.B由题意得1IPF,I-IP2I1=6,.1PF2I=IPF,I±6， .1PF,I=9或-3（舍去）. 3-=1双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双 线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12.又2c=26,c= 13=2-。=25双自线的标准方程为茶5山 4.25不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF,⊥PF2,所以 IF F212=IPF 12+IPF212=(2)2=8,PF1-IPFI= 2,所以(1PFI-IPF,I)2=4,可得21PFI·IPF,I=4,则 (IPFI+IPF21)2=IPF12+IPF212+2IPFI.IPF,I=12, 所以IPFI+IPF,I=25. 第2课时双曲线及其标准方程的应用 题型探究提技能 例1：【解析】圆F:(x+5)2+y2=1,圆心F(-5,0),半径 =1; 圆F2:(x-5)2+y2=16,圆心F2(5,0),半径2=4. 设动圆M的半径为R, 则有IMF,I=R+1,1MF,I=R+4, .IMF2 I-IMF I =3<10=IF F2 I. 六点M的轨迹是以F,E,为焦点的双曲线的左支，且a=之， c=5, 于烧=-2- “动圆圆心M简轨选方程为号-或=1（≤一多）】 44 跟踪训练1：x2-4y2=1设M(x,y),P(x,yo),则 x2 即 =2x又6=1，则年-(2)2=1，整理得-4y =1,即点M的轨迹方程为x2-4y2=1. 25 例2：C建立平面直角坐标系如图所示.由题意 可得A(50,0),C(2522,-300),设B(256, %)(y。>0)双曲线的方程是产-京=1(a 502 =1 >0,b>0).则 (2522)2(-300)2」 =1, 解得∫50， x2 b=1002 所以双曲线的方程是250020000=1，将 点似5后%代人，得-i=1,解得万=10所 以该地标建筑的高为300+100=400(m). 跟踪训练2：(2√7-2)如图所示，以AB所在的直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则A(-2,0), B(2,0),IDAI-IDB1=2,根据双曲线定义知，点D的轨迹 (即曲线PQ)为双曲线的右支.故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2 =-。=4-1=3,放轨迹方程为2-兮-1（≥1）.根据题 意知C(3,3),IMB1+IMCI=IMAI+IMCI-2≥IACI-2= 2√7-2.当且仅当A,M,C三点共线时，等号成立，故两条公路 MB,MC的路程之和最短是(2√7-2)km 北 →东 A 0 例3：C设点C(1,4),点B在圆上，则IPB1≥IPC1-r=IPCI- 1,由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A'为双曲 线右焦点，所以由双曲线定义知IPAI=IPA'I+2a=IPA'I+ 6,所以IPAI+IPBI=IPA'I+IPBI+6≥IPA'I+IPCI+6-1 ≥IA'C1+5=5+5=10. 43-2-1,012$45 -2 -3 -4 97N 跟踪训练3：C设F,是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义及P是双曲线右支 上的动点可得IPFI-IPFI=2a,所以 IPFI=IPFI-2a,所以IPAI+IPFI= IPAI +IPF I-2a=IPAI IPF I-4. 结合图形可得IPAI+IPF,I≥IAF,I= √[3-(-4)]2+(1-0)2=52，当且 仅当P,A,F,三点共线时取得等号，即图形中点P在P处取 得最小值，所以IPAI+IPF,I-4≥52-4，所以1PAI+IPFI 的最小值为52-4. 随堂检测重反馈 1.B由已知可得IIPAI-IPB1I=2k<4k=IAB1,根据双曲线 的定义可知，点P在以A,B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点 P的轨迹可能是双曲线. 9096 3.2双曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 第1课时双曲线及其标准方程 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程 数学抽象、数学运算 2.掌握双曲线的标准方程及其求法 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 平面内与两个定点F,F2的距离的和等于常数（大于 是双曲线. |FF2)的点的轨迹是椭圆.那么平面内与两个定点 [知识点反思1] F,F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F,F2)的 (1)如果没有绝对 值，点、的轨迹表示双 点的轨迹是什么图形呢？ >[提示] 曲线的一支 e新知初探 (2)双曲线定义中的 知识点一双曲线的概念 常数必须要大于0且 小于1FF21. 平面内与两个 F,F2的距离的 等于 定义 ①若定义中的常数等 IF,F2)的点的轨迹叫做双曲线 于|FF2|,此时动点 焦点 两个 叫做双曲线的焦点 轨迹是分别以F,和 F2为端点的两条方向 焦距 两焦点间的 叫做双曲线的焦距 相反的射线（包括端 点) D[知识点反思1] @若定义中的常数大 知识点二双曲线的标准方程 于IFF2I,此时动，点 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轨迹不存在 ③若定义中的常数为 0,此时动点轨迹为线 段F,F2的垂直平分线. 图形 [知识点反思2] (1)若x2项的系数为 正，则焦点在x轴 标准方程 上若y2项的系数为 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 正，则焦点在y轴上. 焦点 (2)a与b没有确定的 F1(-c,0),F2(c,0) F ,F2 大小关系，也可以 焦距 IF F,I=2c 相等. (3)a,b,c的关系满 a,b,c的关系 c2= 足c2=a2+62 [知识点反思2] 097 ⑨预习自测 1.焦点在x轴上，且a=6,b=8的双曲线的标准方程是 “3664=1 B. 6436 =1 c6al D “36641或 641 2已知双曲线C)-，1,则双曲线C的焦距☑ 题型探究提技能 题型一双曲线标准方程的特征 [方法总结1] 例1.(1)若a+b2=6(a6<0),则该曲线是 方程表示双曲线的 ( 条件 A.双曲线，焦点在x轴上 B.双曲线，焦点在y轴上 (1)如果方程为 C.椭圆，焦点在x轴上 D.椭圆，焦点在y轴上 m r =1,则当mn<0 ②已知方程二+81表示焦点在x销上的双曲线，则的取 n 时，方程表示双曲线； 值范围是 ●[方法总结1] 对于方程上：1， m n 】跟踪训练1 当mn>0时表示双 曲线 2 已知方程4+心一=1表示双曲线，则实数k的取值范围为 (2)利用双曲线的方 程求参数的值时，首 题型二求双曲线的标准方程 先要将方程化为标准 例2根据下列条件，求双曲线的标准方程， 形式，再利用a,b,c的 关系计算，如果双曲 (1)a=2√5，经过点A(2,-5),焦点在y轴上； 线的焦点不能确定， 则分情况化为标准 (2)焦点为(0，-6)，(0,6)，经过点A(-5,6); 形式. (3)过点P3,),Q-5且焦点在坐标轴上 [方法总结2] 双曲线标准方程的两 >[方法总结2] 种求法 (1)定义法：根据双曲 线的定义得到相应的 a,b,c,再写出双曲线 的标准方程 (2)待定系数法：先设 出双曲线的标准方程 =1(a,b均为正数)， 然后根据条件求出待 定的系数代入方程 即可. (3)若焦点的位置不 明确，可分类讨论设 方程，也可以设双曲 线方程为m2+y2= 1的形式，注意标明条 件mn<0. 098 )跟踪训练2 求以椭圆 3十，长轴的端点为焦点，经对点(3,10的双曲线的标 准方程. 题型三双曲线的定义及应用 [方法总结3] 例3.(1)若动点P(x,)满足关系式Vx-3)+y-(x+3)+y=4, 双曲线的定义的应用 则点P的轨迹是 （) (1)已知双曲线上一 A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线一支 点到一焦点的距离， (2)设R,人分别是双曲线2-云=1的左，右焦点，P是双曲线上的 可根据定义求出到另 一焦点的距离. 一点，且31PFI=41PF21,则△PFF2的面积等于 (2)在双曲线上一点 与焦点构成的三角形 A.42 B.83 C.24 D.48 中，可以根据定义结 [方法总结3] 合三角形的有关知识 进行边角的运算 )跟踪训练3 肉图，已双硅线的方程为号-云=1(a>0,b>0.点4,8 均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2, IAB|=m,F为双曲线的左焦点，则△ABF,的周长为( A.2a +2m B.4a+2m C.a +m D.2a +4m 随堂检测 重反馈 1若6EK则“>5产是方程5云广21表示双删线的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2若双曲线c:。61的左石焦点分别为F,E,点P在双曲线E上，且IP,=3,则PE,等 于 A.11 B.9 C.5 D.3 3.焦距为26，且经过点M(0,12)的双曲线的标准方程是 4.已知双曲线x2-y2=1,点F,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF,⊥PF2,则1PF,I+ IPF,I的值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[28]