3.1.2 第1课时椭圆的简单几何性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

089 3.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 新课程标准解读 学科核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义， 数学抽象 2.会利用椭圆的几何性质求标准方程 数学抽象、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 利用直线的方程可以知道它的倾斜状态和倾斜程度，通过圆的方程可以 知道它的位置和大小.我们利用椭圆的标准方程可以得到椭圆的范围、形 状、大小、对称性和特殊点等简单几何性质. e新知初探 知识点椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 [知识点反思] (1)椭圆的焦点一定 图形 在它的长轴上. FO F. (2)椭圆上到中心的 B 距离最小的点是短轴 的两个端点，到中心 标准方程 =1(a>b>0) 的距离最大的点是长 轴的两个端，点、. 范围 (3)离心奉e= 对称性 对称轴是 ,对称中心是 V,e格接 近于1，椭圆越扁 顶点 平；e越接近于0，椭 圆越接近于圆 长轴长等于 ,长半轴长等于 ,短轴长 轴长 等于 ,短半轴长等于 焦点 (±c,0) (0,±c) 焦距 IF F2I =2c 离心率 -E >[知识点反思] 090 目预习自测 知椭圆C+1的左右焦点分别为￡，E,则椭圆的焦距P,,的长 3 A.1 B.2 C.4 D.√3 =1的长轴长为 x2 3设椭圆C:等+y2=1(a>1),G:善+2=1的离心率分别为e心若6=5e,则a=( 23 A 3 B.2 C.3 D.√6 题型探究 提技能 题型一由方程研究椭圆的简单几何性质 例1.设椭圆方程m+4y=4m(m>0)的离心率为2，试求椭圆的长轴长、 >[方法总结1] [方法总结1] 短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 用标准方程研究椭圆 几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为 标准形式. (2)确定焦点位置 (焦点位置不确定的 要分类讨论)】 (3)求出a,b,c. (4)写出椭圆的几何 性质. )跟踪训练1 已知椭圆C:2x2+5y2=10,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相 等，且椭圆C2的焦点在y轴上 (1)求椭圆C,的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其简单几何性质. 091 题型二由几何性质求椭圆的标准方程 例2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程 (1)焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)； [方法总结2] 利用椭圆的几何性质 (2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且半焦 求标准方程的步骤 距为6. P[方法总结2] (1)确定焦点位置」 (2)设出相应椭圆的 标准方程 (3)根据已知条件构 造关于参数的关系 式，利用方程（组）求 参数 (4)写出椭圆的标准 方程. [方法总结3] 求椭圆的离心奉及离 心奉的取值范围的两 )跟踪训练2 种方法 已知椭圆过点(3,0)，离心率e=石求精圆的标准方程 (1)直接法：若已知 a,c可直接利用e= C求解.若已知a,b 或b,c可借助于a2= b2+c2求出c或a,再 代入公式e=C求解. (2)方程法或不等式 法：若a,c的值不可 求，则可根据条件建 立a,b,c的关系 题型三求椭圆的离心率 式，借助于a2=b2+ 例3设桶圆C学长-1(。6>0)的左，右燕点分别为6，P是链国C c2,转化为关于a,c 的齐次方程或不等 上的点，PF2⊥FF2,∠PF,F2=30°，则椭圆C的离心率为 式，再将方程或不等 式两边同除以a的最 ●[方法总结3] 高次幂，得到关于e 〉跟踪训练3 的方程或不等式，即 若椭圆上存在点P,使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2：1，称该椭圆 可求得e的值或取值 范围. 为“倍径椭圆”，则“倍径椭圆”的离心率e的取值范围是 ( no. 092 随堂检测重反馈 1.(多选)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是 A长轴长为) B焦距为 C焦点坐标为0，±5 D.离心率为月 2已知椭圆的离心率为)，焦点是(-3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为 ( 4+2 36+27 B.+2 6+3=1 27+36 =1 9×-3 D+3 61 3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 B⑤ C D.1 4 4 4若椭图C片+兰，=1的-个焦点坐标为0，)，则C的长轴长为 22 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[26] 第2课时 椭圆简单几何性质的应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.了解椭圆在实际生活中的应用。 数学建模、逻辑推理 2.掌握直线与椭圆位置关系的判定方法， 数学运算、逻辑推理 3.会求椭圆中的弦长问题， 数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 椭圆是一种重要的几何形状，它的定义相对简单，但性质丰富.在数学、物 理学、工程学以及天文学等多个领域都有广泛的应用.在开普勒定律中， 行星围绕太阳的轨道是椭圆形的.根据开普勒第一定律，太阳位于椭圆的 一个焦点上 弓新知初探 知识点一点与椭圆的位置关系 设点P(a.椭圆 b2=1(a≥b≥0)，则点P在椭圆上→名+6 +尽=1：点P在椭圆内部台 1点P在椭圆外部台？+冷 知识点二直线与椭圆的位置关系 直线=征+m与椭周后+片=1(a>>0)的位受关系：联立星 y=hx +m, 61， 消去y得到一个关于x的一元二次方程.定直线：x=空的距离的比是常数号，所以-5平 25 x一4 号即25[(x-42+y]=16(-翠)，整理可得9听+25y =225,即芳+号=1. 3.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时椭圆的简单几何性质 教材梳理明要点 新知初探 知识点 -a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a坐标轴坐 标原点A(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0, -a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2aa2bb(0,1) 预习自测 1B能圆苦+兮=1的左，右焦点分别为R,5,可得a=2.6 =√5，则c=1,则1F,F21=2c=2.故选B. 2.6由椭圆的定义可知a2=9→a=3,所以长轴长为2a=6. 3A由=5e,得店=36，即4-3×，解得a=25 a 3 题型探究提技能 例1：【解析】箱圆方程可化为号+片=1。 ①当0<m<4时，a=2,b=m,c=√4-m,.e=&= 4m=分 2 解得m=3,.b=√3，c=1,椭圆的长轴长和短轴长分别是 4,23, 焦点坐标为F(-1,0),F2(1,0), 顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-5),B2(0,5) ②当m>4时，a=m,b=2,.c=m-4, a √m 小横圆药长轴长和短错长分别为品，4。 焦点鱼标为(0.2)(0,2） 顶点垒标为4(0.-45)4(0.)B(-2.0),R(2, 0) 跟踪训练1：【解析】(1)椭圆C1:2x2+5y2=10的方程可化为 亏+亏=1可得英长半轴长为5， 短半轴长为2，焦点坐标为(5,0)，(-3,0)， 离心率e=尽=5 55 2袋网C苦+号1 性质：①范围：-2≤x≤√2，-5≤y≤√5； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称： -22 ③顶点：长轴端点为(0,5)，(0，-5)，短轴端点为(-2， 0),(2,0) ④焦点：(0,3)，(0，-5)： ⑤离心率：e=及=5 55 欲：解折】)设指园方程为兰+卡=1(a>>0)。 r2b=a, ,解得a2=148,b2=37, 62 所以椭圆方程为48+37=1. (2)设椭圆的标准方程为号+号 y 9a+存=1 (a>b>0), 因为在x轴上的一个焦点与短轴两 端点的连线互相垂直，且半焦距 为6， 如图所示，c=b=6,所以a=6,2, 所以情国的方程为号+名=1 跟踪训练2：【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准 方程为+Y=1(a>b>0),由题意，得a=3, 因为e华所以c=6 从而=。-心=3，所以霜回的标准方程为号+号-1： 当瘤圆的焦点在抽上时汉霜园的标准方程为背 a =1(a>b>0), 由题意，得b=3, 图为停所以合。 3 把6=3代入，得。2=27，所以椭圆的标准方程为7+若三1， 综上可知，所求潮国的标准方程为号+号-1或号+号-山 ,解法一：由题意可设IPF,I=m,结合条件可知IPFI= 2m,1FB1=5m,故离心率e=S=2兰=1EEl a=2a=1PF,1+1Pp,= 3m-5 2m+m-3 解法二：由PF2⊥F,F2可知P点的横坐标为c,将x=c代人椭 圆方程可得y=±会，所以1P,1:会又由∠P听月=0可 得1FF,1=51PF,1,故2c=万.，变形可得5(02-2)= 2ac,等式两边同除以。2，得5(1-e)=2c,解得e= 3或e= -5(舍去) 跟踪训练3：C假设1PF,I=21PF2I,在椭圆中，1PF,I+IPF2I =2PF,1+PF,1=31PR,1=2,所以1PE,-号，1PF,1= 号：叉1P1-1P,I≤IE,,所以号≤2，即了≤行所以 6 。=台≥分又椭圆离心市：<1，所以~倍径福圆的离心幸。 的取值范围是[分， 随堂检测 重反馈 2 1.CD由椭圆方程16：+4y=1化为标准方程可得千+ 1 164 1,所以a=分6=子c=,所以长轴长2=1,焦距2c 复能点坐标为(0±）离心率：=台号 2A由题意知c=3,后=方，则a=68=d2-2=27,椭 圆的方程为忘+号- 3.A如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别 为F:,F2,B为椭圆的上顶点.依题意可 知，△BFF2是正三角形.在 Rt△OBF2中，IOF2I=c,IBF2I=a, ∠0B=60,60=合=，即稀 圆的离心率e=2 1 4.25:椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，∴交点在y轴上，m2 -1>m>0且m2-1-m=1,即m2-m-2=0,解得m=2(舍 去=-1).则椭圆方程为5+号-1,0=5,2-2店 第2课时椭圆简单几何性质的应用 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 <> 知识点二 >两 一<无 知识点三 +E1x1-l√/1+F√(x1+)2-4x2 √+F+P-4 预习自测 ry=x+1. L.C联立 消去y,得3x2+2x-1=0,4=22+12= 16>0,.直线与椭圆相交.故选C 232 rx-y+1=0 2 +y=1.得0，.(-是.)则1481= 由{x √(o+)+(1+) 1 题型探究提技能 例1：ABC①静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直 线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过 的路程是2(a-c);②静放在点A的小球（小球的半径不计） 从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a+c);③静放在点A的小球（小球 的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁非左、右顶点反弹 —22 后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.故选ABC. 跟踪训练1：BD由题图可知，a1>a2,c1>c2,所以a1+c1>a2+ c2,所以A不正确；在椭圆轨道I中可得，a1-c1=IPF1,在椭 圆轨道Ⅱ中可得，IPF1=a2-c2,所以a1-c1=a2-c2,所以B 正确；a1+c2=a2+G,两边同时平方，得a+c号+2a1c2=+ c+2a2c1,所以a-c斤+2a192=a-c号+2a2c1,即b斤+2a12 =6+2a,c1,由题图可得>号，所以2a19<2a61<a, 2<9 所以C错误，D正确. 例2：【解析】将直线（的方程与椭圆C的方程联立，得方程 [y=2x+m, 整理得9x2+8mx+2m2-4=0,① 4=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)由△>0，得-32<m<32. 所以当-32<m<3√2时， 方程①有两个不同的实数根， 可知原方程组有两组不同的实数解， 这时直线1与椭圆C有两个不同的公共点。 (2)由4=0，得m=±3万.也就是当m=±32时，方程①有 两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解. 这时直线！与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线！与椭 圆C有且只有一个公共点. (3)由4<0，得m<-32或m>32. 从而当m<-32或m>32时， 方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解。 这时直线1与椭圆C没有公共点. 跟踪训练2：【解析】(1)把直线方程y=x+m与精风方程号 +y2=1联立，消去y, 得到关于x的一元二次方程5x2+8mx+4m2-4=0,(*) 由△>0，得(8m)2-4×5×(4m2-4)>0, 解得-5<m<√5. 故m的取值范围为(-5，W5). (2)由(1)中，4=0，解得m=-5或m=√5. 当m=-5时，(*)化为5x2-85x+16=0, -45 解得x=5 当m=5时，(*)化为5x2+85x+16=0, 解得x=-45 5 郎，【解析】(1)：直线A6过横图号+千=1的右焦点 F2(1,0),且斜率为2， ∴.直线AB的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 2x-y-2=0, [x=3 (2)解法一：由方程组{x22 5+41 4 =3 则交点A(0,-2,B(号，专)或(A(3,专)，B(0, -2)